指数函数与对数函数(基础巩固卷)(人教A版2019必修第一册)(解析版)

专题4.5 指数函数与对数函数（基础巩固卷）
考试时间：120分钟；满分：150分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共22题，单选8题，多选4题，填空4题，解答6题，满分150分，限时150分钟，试卷紧扣教材，细分题组，精选一年好题，两年真题，练基础，提能力！
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（2021秋•河南月考）函数f(x)=ln(x+2)+22−x的定义域为（）
A．（2，+∞）B．（﹣2，2）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，2）
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：由题意可知x+2＞02−x＞0，
解得﹣2＜x＜2，
∴函数f（x）的定义域为（﹣2，2），
故选：B．
2．（2021秋•亭湖区校级月考）设a＞0，b＞0，化简(a23b13)⋅(−a12b12)÷(13a16b56)的结果是（）
A．−13a23B．−3a23C．−13a D．﹣3a
【分析】利用有理数指数幂的性质进行运算即可．
【解答】解：(a23b13)⋅(−a12b12)÷(13a16b56)=−a( 23+12)b(13+12)÷13a16b56=−3a．
故选：D．
3．（2021秋•10月份月考）方程log2x＝log4（2x+3）的解为（）
A．﹣1B．1C．3D．﹣1或3
【分析】根据对数的运算性质解方程即可．
【解答】解：log2x＝log4（2x+3），即为log2x=12log2（2x+3），即log2x2＝log2（2x+3），
则x＞0x2=2x+3，解得x＝3，
故选：C．
4．（2021秋•洛阳期中）已知a＝log32，b＝log23，c＝20.3，则（）
A．a＜c＜b B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜b＜c
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵0＝log31＜log32＜log33＝1，∴0＜a＜1，
∵3＞8=232＞22，
∴log23＞lo g222=2，又∵1＝20＜20.3＜20.5=2，
∴b＞c＞a，
故选：A．
5．（2021秋•河南月考）设(12)a=3b=m，且1a−1b=2，则m＝（）
A．6B．16C．6D．66
【分析】推导出a=lo g12m，b＝log3m，从而1a−1b=lo g m12−lo g m3=lo g m16=2，由此能求出m的值．
【解答】解：设(12)a=3b=m，则a=lo g12m，b＝log3m，
∵1a−1b=2，
∴1a−1b=lo g m12−lo g m3=lo g m16=2，
∴m2=16，解得m=66．
故选：D．
6．（2021秋•10月份月考）已知a，b，c是不等于1的正实数，且ab≠1，若log ab c＝log a c•log b c，则log a c+log b c＝（）
A．0B．1C．﹣1D．log ab c
【分析】利用对数的运算性质和换底公式求解．
【解答】解：log a c+log b c=1lo g c a+1lo g c b=lo g c b+lo g c a lo g c a⋅lo g c b =lo g c(ab)lo g c a⋅lo g c b=1lo g ab c1lo g a c⋅1lo g b
c=lo g a c⋅lo g b c lo g ab c=1，
故选：B．
7．（2021秋•潍坊月考）某投资机构从事一项投资，先投入本金a（a＞0）元，得到的利润是b（b＞0）元，收益率为b a（%），假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投资x（x＞0）元，得到的利润也增加了x元，若使得该项投资的总收益率是增加的，则（）
A．a≥b B．a≤b C．a＞b D．a＜b
【分析】设此人第n次投资后的总收益为f（n），求出第n+1次投资后的总收益f（n+1），作差，通过该项投资的总收益率是增加的，即可确定答案．
【解答】解：设此人第n次投资后的总收益为f（n），
则f(n)=b+(n−1)x a+(n−1)x（n∈N*），
所以第n+1次投资后的总收益为f（n+1）=b+nx a+nx（n∈N*），
故f（n+1）﹣f（n）=b+nx a+nx−b+(n−1)x a+(n−1)x=(a−b)x(a+nx)[a+(n−1)x]，因为该项投资的总收益率是增加的，
又a＞0，b＞0，
所以a＞b．
故选：C．
8．（2021秋•顺义区校级月考）为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为y=0.1t，0≤t≤10(12)t10−a，t＞10（a为常数），函数图象如图所示．如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）
A．9：00B．8：40C．8：30D．8：00
【分析】利用函数的图象，求出函数的解析式，然后令y≤0.25，求出t的范围，即可得到答案．【解答】解：根据函数的图象可知，函数图象过点（10，1），
则有(12)1−a=1，解得a＝1，
所以y=0.1t，0≤t≤10(12)t10−1，t＞10，
令y≤0.25，则0.1t≤0.25或(12)t10−1≤0.25，
解得0＜t≤2.5或t≥30，
所以如果商场规定9：30顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是9：00．
故选：A．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9．（2021秋•滨湖区校级月考）下列各式比较大小，正确的是（）
A．1.72.5＞1.73B．(12)23＞2−43 C．1.70.3＞0.93.1D．(23)34＞(34)23【分析】利用指数函数的单调性和幂函数的单调性求解．
【解答】解：对于选项A：∵函数y＝1.7x在R上单调递增，且2.5＜3，
∴1.72.5＜1.73，故选项A错误，
对于选项B：(12)23=2−23，
∵函数y＝2x在R上单调递增，且−23＞−43，
∴(12)23=2−23＞2−43，故选项B正确，
对于选项C：∵1.70.3＞1.70＝1，0＜0.93.1＜0.90＝1，
∴1.70.3＞0.93.1，故选项C正确，
对于选项D：∵函数y=(23)x在R上单调递减，且34＞23，
∴(23)34＜(23)23，
又∵函数y=x23在（0，+∞）上单调递增，且23＜34，
∴(23)23＜(34)23，
∴(23)34＜(23)23＜(34)23，故选项D错误，
故选：BC．
10．（2021秋•凌河区校级月考）已知函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A，则下列函数图象也过点A的是（）
A．y=1−x+2B．y＝|x﹣2|+1
C．y＝log2（2x）+1D．y＝2x﹣1
【分析】先求出函数f（x）恒过定点A，依次判断四个选项即可．
【解答】解：函数f（x）＝a x﹣1+1（a＞0，a≠1）的图象恒过点A（1，2），
当x＝1时，y＝2，故选项A正确；
当x＝1时，y＝|1﹣2|+1＝2，故选项B正确；
当x＝1时，y＝log2（2×1）+1＝2，故选项C正确；
当x＝1时，y＝2×2﹣1＝3，故选项D错误．
故选：ABC．
11．（2021春•浙江期中）已知函数f（x）＝|lgx|，则（）
A．f（x）是偶函数B．f（x）值域为[0，+∞）
C．f（x）在[0，+∞）上递增D．f（x）有一个零点
【分析】可画出函数f（x）的图象，然后根据图象即可判断每个选项的正误．
【解答】解：可画出f（x）＝|lgx|的图象如下图所示：
根据图象可看出f（x）的值域为[0，+∞），f（x）有一个零点．
故选：BD．
12．（2021春•亭湖区校级月考）已知函数f(x)=lo g2x，(x＞0)3x，(x≤0)，且关于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值是（）
A．﹣1B．0C．2D．3
【分析】本题可采用数形结合的方法解答，在同一坐标系内分别作出y1＝f（x），y2＝﹣x+a的图象，其中a表示直线在y轴的截距，结合图形可知当a＞1时，直线y2＝﹣x+a与y1＝log2x只有一个交点．即关于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一个实根
【解答】解：关于x的方程f（x）+x﹣a＝0有且只有一个实根，即函数f（x）的图象与函数y＝﹣x+a 的图象有且只有一个交点，
如图，在同一坐标系内分别作出y1＝f（x），y2＝﹣x+a的图象，
数形结合可知，当a＞1时，直线y2＝﹣x+a与y1＝log2x只有一个交点．
即a∈（1，+∞）．
故选：CD．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（2021秋•三元区校级月考）2﹣2×（214）﹣0.5+（0.01）0.5﹣log32•log433=．【分析】由幂运算及对数运算化简即可．
【解答】解：2﹣2×（214）﹣0.5+（0.01）0.5﹣log32•log433
=14×23+110−log32•16log23=16+110−16=110，
故答案为：110．
14．（2021秋•朝阳区校级月考）若mln2＝1，则2﹣m＝．
【分析】由对数的运算性质可知m＝log2e，代入所求式子即可求出结果．
【解答】解：∵mln2＝1，
∴m=1ln2=log2e，
∴2﹣m＝2−lo g2e=(2lo g2e)−1=e﹣1=1e，
故答案为：1e．
15．（2021秋•浙江月考）某口罩批发商在疻情期间销售口罩，口罩规格为每包100只，每包成本价10元．经过一段时间，批发商发现当以每包12元出售，每天销量800包，若每包口罩的批发价每涨1元，销售量就减少40包．当定价每包元时，批发商可获得利润最大．
【分析】设每包口罩的批发价涨x元，批发商获得的利润为y元，由题意写出y关于x的函数值，再由二次函数求最值．
【解答】解：设每包口罩的批发价涨x元，批发商获得的利润为y元，
则y＝（12+x﹣10）（800﹣40x）＝﹣40x2+720x+1600．
当x＝9时，y取得最大值．
即当定价每包21元时，批发商可获得利润最大．
故答案为：21．
16．（2021秋•运城月考）若关于x的方程|x2﹣1|＝a有两个不相等的实数解，则实数a的取值范围是．
【分析】转化为y＝|x2﹣1|的图象和直线y＝a有2个交点，借助于图像求解结论．
【解答】解：∵关于x的方程|x2﹣1|＝a有两个不相等的实数解，
∴y＝|x2﹣1|的图象和直线y＝a有2个交点，
如图所示：
故有a＞1或a＝0，
故实数a的取值范围是：{a|a＞1或a＝0}，
故答案为：：{a|a＞1或a＝0}．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（2021秋•坊子区校级月考）计算：
（1）(279)0.5+(0.1)−2+(21027)−23−3π0+3748；
（2）（log32+log92）•（log43+log83）．
【分析】（1）利用指数的运算性质即可求解．
（2）利用对数的运算性质即可求解．
【解答】解：（1）原式=259+1(0.1)2+(2764)23−3+3748=53+100+[(3 4)3]23−3+3748=100；
（2）原式=(log32+12log32)⋅(12lo g23+13lo g23)=32lo g32⋅56lo g23=54．
18．（2021•金寨县校级开学）已知函数f（x）＝（a2+a﹣5）a x是指数函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）判断F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）的奇偶性，并加证明．
【分析】（1）由指数函数的定义知a2+a﹣5＝1且a＞0，可解得a＝2，则f（x）＝2x；
（2）可判断F（x）为奇函数，利用奇偶性的定义证明即可．
【解答】解：（1）∵函数f（x）＝（a2+a﹣5）a x是指数函数，
∴a2+a﹣5＝1且a＞0，解得，a＝2，
故f（x）＝2x；
（2）F（x）为奇函数，证明如下：
F（x）＝f（x）﹣f（﹣x）＝2x﹣2﹣x的定义域为R，
且对∀x∈R，﹣x∈R，
F（﹣x）＝2﹣x﹣2x＝﹣（2x﹣2﹣x）＝﹣F（x），
故F（x）为奇函数．
19．（2021秋•江州区校级月考）为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在
该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米．
（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；
（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由题意得到y=400x≥x+9，求出x的取值范围，即可得到答案；
（2）由题意，表示出整个绿化面积，然后利用基本不等式求解最值即可．
【解答】解：（1）设草坪的宽为x米，长为y米，
因为块绿草坪的面积均为400平方米，
所以y=400x，
因为矩形草坪的长比宽至少多9米，
则y=400x≥x+9，即x2+9x﹣400≤0，
解得0＜x≤16，
所以草坪宽的最大值为16米；
（2）设整个绿化面积为S平方米，
由题意可得，S=(2x+6)(y+4)=(2x+6)(400x+4)=8(x+300x)+824≥8×2x⋅300x+824=160 3+824，
当且仅当x=103时取等号，
所以整个绿化面积的最小值为1603+824平方米．
20．（2021•涪城区校级开学）已知函数f(x)=lo g a x−1x+1(a＞0，a≠1)．（1）求函数y＝f（x）的定义域；
（2）若方程f（x）＝1+log a x有两个不等实根，求实数a的取值范围．
【分析】（1）函数f（x）有意义，则x−1x+1＞0，解不等式得到x的范围，即可得到f（x）的定义域．
（2）方程f（x）＝1+log a x有两个不等实根转化为函数g（x）＝ax2+（a﹣1）x+1有两个零点，然后求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）要使函数f（x）有意义，则x−1x+1＞0，解得x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
所以f（x）的定义域为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
（2）方程f（x）＝1+log a x，即为log a x−1x+1=log a x+1，得ax2+（a﹣1）x+1＝0，
设g（x）＝ax2+（a﹣1）x+1，
因为方程ax2+（a﹣1）x+1＝0在区间（1，+∞）上有两个不等实根，
则1−a2a＞1△=(a−1)2−4a＞0g(1)=2a＞0，解得a∈（0，3﹣22）．
所以实数a的取值范围是（0，3﹣22）．
21．（2021秋•黄浦区校级月考）某跨国公司决定将某种智能产品大量投放中国市场，已知该产品年固定研发成本30万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该产品x万台且全部售完，每万台的销售收入为G（x）万元，G（x）=250−3x，0＜x≤2580+3000x−9000x2，x ＞25．
（1）写出年利润S（万元）关于年产量x（万台）的函数解析式（利润＝销售收入﹣成本）；
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的利润最大？并求出最大利润．
【分析】（1）根据利润＝销售收入﹣成本，即可得解；
（2）分0＜x≤25和x＞25两种情况，分别根据二次函数的性质和基本不等式，求出对应的S的最大值，再比较大小，即可得解．
【解答】解：（1）年利润S＝x•G（x）﹣30﹣90x=−3x2+160x−30，0＜x≤25−10x−9000x+2970，x＞25．
（2）当0＜x≤25时，S＝﹣3x2+160x﹣30＝﹣3（x−803）2+63103，
所以S在（0，25]上单调递增，
所以S max＝﹣3×252+160×25﹣30＝2095；
当x＞25时，S＝﹣10x−9000x+2970＝2970﹣（10x+9000x）≤2970﹣
210x⋅9000x=2370，
当且仅当10x=9000x，即x＝30时，等号成立，此时S max＝2370，
因为2370＞2095，所以x＝30，S max＝2370，
故当年产量为30万台时，该公司获得的利润最大，最大利润为2370万元．
22．（2021秋•红花岗区校级月考）已知函数f（x）＝x2+2ax+1（a∈R）．
（1）若函数f（x）在范围[﹣2，0]上存在零点，求a的取值范围；
（2）当x∈[﹣1，1]时，求函数f（x）的最小值g（a）．
【分析】（1）根据题意，存在x∈[﹣2，0），使得﹣2a＝x+1x成立，利用对勾函数y＝x+1x 的图像和性质求出函数y＝x+1x在[﹣2，0）上的值域，从而得到a的取值范围．
（2）f（x）＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2，对称轴为x＝﹣a，对对称轴的位置分三种情况讨论，分别利用函数f（x）在[﹣1，1]上的单调性，得到g（a）的解析式，最后再写成分段函数的形式即可．【解答】解：（1）根据题意，存在x∈[﹣2，0），使得x2+2ax+1＝0成立，
即存在x∈[﹣2，0），使得﹣2a＝x+1x成立，
由对勾函数y＝x+1x的性质可知，函数y＝x+1x在[﹣2，﹣1]上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减，
∴当x＝﹣1时，y max＝﹣2，
即当x∈[﹣2，0）时，x+1x≤−2，
∴﹣2a≤﹣2，即a≥1，
∴a的取值范围为[1，+∞）．
（2）f（x）＝x2+2ax+1＝（x+a）2+1﹣a2，
①当﹣a≤﹣1，即a≥1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递增，∴g（a）＝f（﹣1）＝2﹣2a，
②当﹣1＜﹣a＜1，即﹣1＜a＜1时，g（a）＝f（﹣a）＝1﹣a2，
③当﹣a≥1，即a≤﹣1时，f（x）在[﹣1，1]上单调递减，∴g（a）＝f（1）＝2+2a，
综上所述，g（a）=2−2a，a≥11−a2，−1＜a＜12+2a，a≤−1．。