3.1导数的定义

导数的定义
0()设函数在点的某导数的定义邻域内有定义，如果
y f x x =00()()
0()当时，增量之比极限存在，就称在
f x x f x x f x x +∆−∆→∆00()点处可导，并称该极限值为在点处的导数，记作
x f x x 000
0()(),|.
，
或x x x x x x dy
df x f x y dx
dx
===''
此外，还记为
0000()()
()=lim .
h f x h f x f x h
→+−',其中可以是也可以是h x ∆3,2,(),1,.
等等内涵更加丰富x
x x x e
∆−∆∆∆−0()由定义知，如果在点处可导，则
f x x 0000()()
()=lim .
x f x x f x f x x
∆→+∆−'∆
()0(0)10f x x f ==已知函数在点处可导，且例，则
23
30()2()
lim ().x x f x f x x
→−=2
3
300()2()()(0)lim lim[2x x x f x f x f x f x x →→−−=−解 (B)(0)(C)(0)
f f ''(0)2(0)(0)f f f '''=−=−，
(B)答案选.
(A)2(0)f −'−
0()()
()0lim 2x f x f x f x x x
→−−=若在点处可导，问是例⑴否存在？
0()()
lim ()0x f x f x f x x x →−−=若存在，问在点处⑵是否可导？
解 ⑴极限存在.0()(0)
lim[x f x f x →−=+原式2(0).
f '=.⑵未必可导()=,f x x 反例：取()0f x x =则在点处不可导.000()()
lim =lim =lim 00x x x x x f x f x x x
→→→−−−−=但存在.
总结
本讲主要介绍了导数的定义
.。