导数在求极值和最值中的应用

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学生姓名 填写时间 2014.
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第（ ）次课 共（ ）次课
教学 目标
教学
难点
教 学 过 程
一、 函数的极值
函数()f x 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有点都有0()(),f x f x 则称0()
f x 知识要点
导数在求极值和最值中的应用
是函数的一个极大值，记作0=()y f x 极大值；如果对0x 附近的所有点都有0()(),f x f x >则称0()f x 是函数的一个极小值，记作0=().y f x 极小值极大值与极小值统称为极值，称0x 为极值点．
二、 求函数的极值的三个基本步骤
1) 求导数'()f x ；
2) 求方程'()0f x =的所有实数根；
3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()
f x 在这个根处取得极大（小）值．
三、 求函数最值
1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值；
2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的
一个就是最小值．
【例1】 若函数f (x )＝x 3－6bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则实数b 的取值范围是（ ）
A ．(0,1)
B ．(－∞，1)
C ．(0，＋∞)
D ．(0，1
2
)
【例2】 直线y ＝a 与函数()33f x x x =-的图象有相异的三个公共点，则a 的取值范围是
________．
例题精讲
【例3】 函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有()0f x ≥成立，则a 的取值为( )
A ．[2，＋∞)
B ．[4，＋∞)
C ．{4}
D ．[2,4]
【例4】 函数()()1
sin cos 2
x f x e x x =+在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A ．21122e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．211
22e π⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．21e π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．2
1e π
⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
【例5】 设函数1
()21(0)f x x x x
=+
-<，则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值
C ．是增函数
D ．是减函数
【例6】 设函数()y f x =在()-∞+∞，
内有定义．对于给定的正数K ，定义函数()()()()K f x f x K
f x K f x K ⎧=⎨>⎩
≤，
取函数()2x f x x e -=--，若对任意的()x ∈-∞+∞，
，恒有()()K f x f x =，则（ ） A ．K 的最大值为2 B ．K 的最小值为2 C ．K 的最大值为1 D ．K 的最小值为1
【例7】 下列说法正确的是（ ）
A ．函数在闭区间上的极大值一定比极小值大
B ．函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C ．满足()0f x '=的点可能不是函数的极值点
D ．函数()f x 在区间()a b ，
上一定存在最值
【例8】 已知函数()e ln x f x a x =+的定义域是D ，关于函数()f x 给出下列命题：
① 对于任意()0,a ∈+∞，函数()f x 是D 上的减函数；
② 对于任意(),0a ∈-∞，函数()f x 存在最小值；
③ 存在()0,a ∈+∞，使得对于任意的x D ∈，都有()0f x >成立； ④ 存在(),0a ∈-∞，使得函数()f x 有两个零点．
其中正确命题的序号是_____．（写出所有正确命题的序号）．
【例9】 若函数()21
x a
f x x +=+在x ＝1处取极值，则a ＝________．
【例10】 已知函数()=ln f x x x ．
(1)求()f x 的最小值；
(2)讨论关于x 的方程()0f x m -=(m ∈R)的解的个数．
【例11】 已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-，当x 为何值时，()f x 取得最小值？
【例12】 设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．
（1）若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值；
（2）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围． （3）若函数()()()g x f x f x '=+在[02]x ∈，
时的最大值为1，求a 的值．
【例13】 已知()ln()[0)f x ax x x e =--∈-，
，． （1）当1a =-时，讨论()f x 的单调性、极值；
（2）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，如果存在，求出a 的值；若不存在，
请说明理由．
【例14】 设3x =是函数23()()e ()x f x x ax b x -=++∈R 的一个极值点．
（1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；
（2）设0a >，225()e 4x g x a ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
．若存在12[04]ξξ∈，，使得12()()1f g ξξ-<成立，
求a 的取值范围．
【例15】 已知函数()ln f x ax x =+，(1)x e ∈，
，且()f x 有极值． （1）求实数a 的取值范围； （2）求函数()f x 的值域；
（3）函数3()2g x x x =--，证明：1(1)x e ∀∈，
，0(1)x e ∃∈，，使得01()()g x f x =成立．
【例16】 已知函数()()1ln 1a
f x x ax a x
-=-+
-∈R ． （1） 当1
2a ≤时，讨论()f x 的单调性；
（2） 设()224g x x bx =-+．当1
4
a =
时，若对任意()102x ∈，，存在[]212x ∈，，使()()12f x g x ≥，求实数b 取值范围．
【例17】 设函数()()()ln ln 20f x x x ax a =+-+>
（1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在(]01，上的最大值为
1
2
，求a 的值．
【例18】 设曲线e (0)x y x -=≥在点(e )t M t -，处的切线l 与x 轴，y 轴所围成的三角形的面积
为()S t ，
（1）求切线l 的方程；（2）求()S t 的最大值．
【例19】 已知函数323
()2
f x x mx n =-+，12m <<，
（1）若()f x 在区间[11]-，上的最大值为1，最小值为2-，求m n 、的值；
（2）在（1）的条件下，求经过点(2, 1)P 且与曲线()f x 相切的直线l 的方程； （3）设函数()f x 的导函数为()g x ，函数2()31()6
x
g x x F x e ++=
⋅，试判断函数()
F x 的极值点个数，并求出相应实数m 的范围．
【例20】 已知函数3221
()(1)(,)3
f x x ax a x b a b =-+-+∈R
（1）若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；
（2）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，
①求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；
②求函数()[()(2)]()x G x f x m x m e m -'=+++∈R 的单调区间．
【例21】 已知函数()1e x a f x x ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭，其中0a >．
（1）求函数()f x 的零点；
（2）讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；
（3）在区间,2a ⎛
⎤-∞- ⎥⎝⎦
上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，
请说明理由．
【例22】 已知函数2()()e x f x x mx m =-+，其中m ∈R ．
（1）若函数()f x 存在零点，求实数m 的取值范围；
（2）当0m <时，求函数()f x 的单调区间，并确定此时()f x 是否存在最小值，如果
存在，求出最小值；如果不存在，请说明理由．
【例23】 函数2()1(00)f x ax a x =->>，，该函数图象在点P 2
00(1)x ax -，处的切线为l ，设
切线l 分别交x 轴和y 轴于两点M 和N ．
（1）将MON ∆（O 为坐标原点）的面积S 表示为0x 的函数0()S x ；
（2）若1(0)M x ，
，函数()y f x =的图象与x 轴交于点(0)T t ，，则1x 与t 的大小关系如何？证明你的结论；
（3）若在01x =处，0()S x 取得最小值，求此时a 的值及0()S x 的最小值．
课后巩固计划：
【习题1】 对于函数()f x ，在使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 中的最大值称
为函数()f x 的“下确界”，则函数22
1
()(1)x f x x +=+的下确界为 ．
【习题2】 已知函数()ln f x x =-，(0)x e ∈，．曲线()y f x =在点(())t f t ，处的切线与x 轴和
y 轴分别交于A 、B 两点，设O 为坐标原点，求AOB ∆面积的最大值．
【习题3】 已知函数()21
42
f x x =
-． （1）写出函数()f x 的定义域，并求函数()f x 的单调区间；
（2）设过曲线()y f x =上的点P 的切线l 与x 轴、y 轴所围成的三角形的面积为S ，求S 的最小值，并求此时点P 的坐标．
【习题4】 设0a >，函数2()|ln 1|f x x a x =+-．
（1） 当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2） 当3a =时，求函数()f x 的单调性；
（3） 当4a =，[1)x ∈+∞，
时，求函数()f x 的最小值．
学生对于本次课的评价：
○特别满意○满意○一般○差
学生签字：_______
教师评定：
1、学生上次作业评价：○特别满意○满意○一般○差
2、学生本次上课情况评价：○特别满意○满意○一般○差
教师签字：________ 教师评语：
教学主管审核批复：
教学主管签字：________
星火教育教务处。