2020年江西省吉安市桂江中学高二数学理下学期期末试卷含解析

2020年江西省吉安市桂江中学高二数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如果执行右边的框图，输入N=5，则输出的数等于（）
A． B. C. D.
参考答案：
D
略
2. 由首项，公比确定的等比数列中，当时，序号等于（）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
参考答案：
D 3. 已知命题；对任意；命题：存在，则下列判断：①且是真命题；②或是真命题；③是假命题；④是真命题，其中正确的是
A．①④ B．②③ C．③④
D．②④
参考答案：
D
4. 已知，则a，b，c的大小关系为()
A．c<b<a B．c<a<b C．b<a<c D．b<c<a
参考答案：
A
5. 从20名男同学，10名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为
．. .
参考答案：
D
6. 已知△ABC的周长为9，且，则cosC的值为（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
略
7. 下列命题
①命题“若，则”的逆否命题是“若，则”.
②命题
③若为真命题，则p,q均为真命题.
④“”是“”的充分不必要条件。

其中真命题的个数有（）
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
参考答案：
B
略
8. 随机变量，且，则等于（）
A．B． C. D．
参考答案：
A
9. 如图，过函数y＝x sin x＋cos x图象上点(x，y)的切线的斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为( )
参考答案：
A
略
10. 如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1D与D1C所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°
参考答案：
C
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由D1C∥A1B，知∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，由此能求出结果．
【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵D1C∥A1B，
∴∠DA1B是异面直线A1D与D1C所成的角，
∵A1D=A1B=BD，
∴△A1BD是等边三角形，
∴∠DA1B=60°，
∴异面直线A1D与D1C所成的角是60°．
故选：C．
【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知向量=（1，），=（，1），则与
夹角的大小为．
参考答案：
【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角．
【分析】根据已知中向量的坐标，代入向量夹角公式，可得答案．
【解答】解：∵向量=（1，），=（，1），
∴与夹角θ满足：
cosθ===，
又∵θ∈[0，π]，
∴θ=，
故答案为：．
12. 直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成的角的余弦值为．
参考答案：
【考点】异面直线及其所成的角．
【专题】空间角．
【分析】画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，
M，N分别是A1B1，A1C1的中点，
如图：BC的中点为O，连结ON，MN，OB，
∴MN OB，∴MN0B是平行四边形，∴BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC=CA=CC1，
设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，
MB==，
在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO=
==．
故答案为：．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．13. 已知为偶函数，且，当时，；若
，则
________________
参考答案：
1
14. 在正方体ABCD—A1B1C1D1各个表面的对角线中，与直线异面的有_________条。

参考答案：
略
15. 不等式＜0
的解集是
参考答案：
16. 若函数的图像不经过第一象限，则m的取值范围是________．
参考答案：
m≤－2
17. 中，若，，，则_______
参考答案：
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分15分）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y =－1相切.
（1）求动圆圆心C的轨迹方程；
（2）若（1）中的轨迹上两动点记为，且．
①求证：直线过一定点，并求该定点坐标；
②（文科生做）求的取值范围．
②（理科生做）求的取值范围．
参考答案：
19. 已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2e x＜0的解集为（）
A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）
参考答案：
B
【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．
【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．
【解答】解：构造函数g（x）=，则函数的导数为
g′（x）=，
∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，
即g（x）在R上单调递减；
又∵f（0）=2，∴g（0）==2，则不等式f（x）﹣2e x＜0化为＜2，
它等价于g（x）＜2，
即g（x）＜g（0），
∴x＞0，
即所求不等式的解集为（0，+∞）．
故选：B．
20. 已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于
（）两点，且．
（1）求该抛物线的方程；
（2）为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．
参考答案：
解：（1）直线AB的方程
所以：，
由抛物线定义得：，
所以p=4，抛物线方程为：
由p=4，化简得，
从而,从而A:(1,),B(4,)
设=，又，
即8（4），即，解得.
略
21. 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（α为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+1=0．
（1）写出圆C的普通方程；
（2）将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（3）过直线l的任意一点P作直线与圆C交于A，B两点，求|PA|?|PB|的最小值．
参考答案：
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）消去参数可得圆C的普通方程；
（2）利用极坐标与直角坐标的互化方法，将直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；
（3）设过P，圆的切线长为d，则d2=|PA|?|PB|，求|PA|?|PB|的最小值，即求圆的切线长的最小值．
【解答】解：（1）圆C的参数方程为（α为参数）．普通方程为（x﹣3）2+y2=4；（2）直线l的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ+1=0，直角坐标方程x+y+1=0；
（3）设过P，圆的切线长为d，则d2=|PA|?|PB|，
求|PA|?|PB|的最小值，即求圆的切线长的最小值．
圆心到直线的距离为=2，∴圆的切线长的最小值==2，
∴|PA|?|PB|的最小值为12．
22. 设函数.
（1）讨论f(x)的单调性；
（2）若对恒成立，求a的取值范围.
参考答案：
（1）当时，在R上单调递增；当时，在上单调递增，在
上单调递减；（2）.
【分析】
（1）分别在和两种情况下，根据的正负可确定的单调性；
（2）根据（1）的结论可确定不合题意；当时，根据指数函数值域可知满足题意；当时，令，由此构造不等式求得结果.
【详解】（1）由题意得：，
当时，，在上单调递增；当时，令得：.
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可知：当时，在上单调递增，
当时，，，此时，不合题意；
当时，恒成立，满足题意.
当时，在处取最小值，且，
令，解得：，此时恒成立.
综上所述：的取值范围为.
【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数讨论含参数函数的单调性、恒成立问题的求解；求解恒成立问题的关键是能够通过分类讨论，将问题转化为函数最小值大于零的问题，由此构造不等式求得结果.。