司法考试：第2节 索洛增长模型

第二节 索洛增长模型
变量定义：
Y ：总产出；K ：总资本，L:劳动力总量，A ：技术进步参数，C ：总消费，S:总储蓄， s ：储蓄率， I:总投资，d ：折旧率。

增长的解释框架
索洛（R.Solow,1957）从生产函数入手分析决定经济增长的决定因素。

建立总量生产函数：产量（Q ）是资本存量(K)、劳动投入(L)和技术状态(T)的函数： Q=Q(K,L,T)
假定：技术变化引起K 和L 边际产量的同等增加，因此，上式可以改写为
Q=TF(K,L)
产量变化：(,)K L Q TF K L TF K TF L ∆=∆+∆+∆
在生产函数为规模报酬不变和完全竞争条件下，
一、假设
1. 生产一种产品
2. 简单比例的储蓄函数：,01S sY s =<<（储蓄率s ：外生不变）
3. 资本存量的变化：K I dK ∆=-,（折旧率d ：外生不变）
假设储蓄全部转化为投资，则资本存量的变化：K sY dK ∆=-
4. 劳动力按一个外生的不变比率n 增长：L n L
∆= 5. 生产函数的技术进步是劳动增进型技术进步（Harrod Neutral ）：技术进步参数A 与L 结合，AL 称为有效劳动（effective labors ），技术进步使劳动者工作效率的提高可视为技术进步使得劳动者的数量增加。

(,)Y F K AL =，技术的增长率为g ：
A g A
∆=，因此，有效劳动的增长速度为（n+g ）。

6. 假设生产函数规模报酬不变，因此，生产函数的集约形式为： ()/,/y f k y Y AL k K AL = ==
y :单位有效劳动产出；k ：单位有效劳动资本
生产函数满足下列条件：
（1） 资本的边际产量记为：()f k ' ，()f k ' >0，()f k '' <0 (0)0f =，()f ∞=∞
（2） 稻田条件（Inada Conditions ）: 0lim ()k f k →'=∞，lim ()0k f k →∞
'= 二、新古典经济增长模型
该模型描绘出在整个时期中资本-有效劳动比的轨迹。

在以上假设条件下，推导增长模型分为四步：
1．单位有效劳动产出的构成
Y C I
Y C I AL AL AL
≡+=+
2.考虑/k K AL =
对该等式两边取对数求导，得到：
(ln )(ln )K d k d AL
k K L A k K L A
k K n g k K
=∆∆∆∆=--∆∆=-- 上式两边同乘/k K AL =，得：
()()K k n g k AL
K k n g k AL
∆∆=-+∆=∆++ 3. 由于K I dK ∆=-，所以，
()K I dK k n g k AL AL ∆-==∆++ ()()()I dK k n g k k n g k dk k n g d k AL AL
=∆+++=∆+++=∆+++ ()()C I C f k k n g d k AL AL AL
=+=+∆+++ 上式说明每个有效劳动产出()f k 被配置于三种用途：
（1） 每个有效劳动的消费/C AL
（2） 面临增长的劳动力和折旧保持资本有效劳动比不变的投资部分()n g d k ++，称
为持平投资（break-even investment ），即使得k 保持在现有水平上所必须的投资。

（3） 实际提高资本-有效劳动比率的投资部分k ∆
4. 新古典经济增长方程的基本形式
()()()()()()()()()C f k k n g d k AL C k
f k n
g d k AL Y C k
n g d k AL AL S k
n g d k AL sY k
n g d k AL k sf k n g d k
=
+∆+++∆=--++∆=--++∆=-++∆=-++∆=-++ 上式表明：每个工人占有资本的增长（k ∆）等于人均储蓄()sf k 减去()n g d k ++。

因此，人均储蓄()sf k 要分解为两个部分：
（1）有效劳动增长率为(n+g)，一定量的人均储蓄必须用于装备新工人，每个工人占有的资本为k ，这一用途的储蓄为(n+g)k ，一定量的人均储蓄必须用于替换折旧资本，即dk 。

这些装备新工人的储蓄称为资本扩张。

（扩张：劳动人口数量的增加）
（2）超过(n+g+d)k 的储蓄可以提高资本-劳动比率，即k ∆>0。

提高资本-劳动比的储蓄称为资本的深化。

（深化：每个工人占有资本数量的增加）。

因此，上式可表示为：资本深化=人均储蓄—资本扩张
5、稳态
稳态（steady-state, stationary state ）
0k ∆= 则()()sf k n g d k **=++
0k ∆=，即当每一个工人的储蓄恰好满足增长的劳动力所需要的装备量及替换折旧的资本要求时，资本-劳动比的变化量k ∆将为0，即资本-劳动比维持在不变的水平*k 上，经济处于长期均衡状态，各种变量都以不变的速度增长（可能为0），这种状态称为稳态。

()()sf k n g d k **=++为稳态条件（图）
[证明]：稳态的稳定性
（1）当资本-劳动比为k -时，()()sf k n g d k >++→资本劳动比的变化k ∆>0，→资本劳动比提高，即资本深化的发生，因此，k 会继续增加。

（2）当资本-劳动比为*k 时，()()sf k n g d k
=++→资本劳动比的变化k ∆=0，→资本劳动比不变。

（3）当资本-劳动比为k +时，()()sf k n g d k
<++→资本劳动比的变化k ∆<0，→资本劳动比减少，因此，k 具有减少的趋势。

由上分析可知，不管k 从何处开始，它都向*k 收敛。

稳定状态意味着k 和()f k 都是固定值，但不是说K 和Y 的增长为0。

在稳定状态条件下，劳动人口的增长率为（n+g ），所以，)Y K AL n g Y K AL
∆∆∆(===+，即产出、资本和有效劳动均以（n+g ）的比率增长，而每个工人平均产出（Y/L ）和平均资本（K/L ）的增长率为g 。

小结：
（1） Y 和K 的长期增长率等于劳动力和技术的增长率，即n+g 。

（2） 无论K/AL 初始值的大小，经济恒定地趋向于平衡增长轨迹。

（3） K/AL 在长期中是不变的。

（4） 一旦经济处于稳定状态，人均产出的增长率就只取决于技术进步的速度，根据索洛模型，只有技术进步才能解释经济的长期增长。

三、资本的黄金律水平
定义：使每个有效工人在稳态中消费达到最高水平的储蓄率相对应的资本存量。

稳定状态下每个有效工人的人均消费为：
***()()c f k n g d k =-++
使消费最大化：一阶求导为0，得到：
MPK n g d =++
或者MPK d n g -=+
这一条件下，稳态的消费实现最大化。

在黄金资本水平，资本的净边际产量（MPK d -）等于总产出增长率（n g +）。

四、储蓄率对收入和增长的影响
提高储蓄率经常作为国家促进经济增长的措施，高储蓄率能够实现更快的经济增长速度么？
[证明]假设s 永久性的提高，使实际投资线向上移动
*****()()()()()()()(),0.()(),0k sf k n g d k
s s sf k s f k s f k n g d k B A s f k n g d k k k k k B s f k n g d k k k ∆=-++'''↑→→++' →>++∆>→↑'''' →↑→=++∆=→上移至，与交与点。

点处，时，即点处，不变。

*()()Y Y f k Af k AL L
Y if k g L Y if k L
Y k k g L =→= → →'=→
不变将以速度增长.递增将以A 和K 的速度增长，增速超过g.当时，又以速度增长.
此时，较高的储蓄全部被用于维持较高的k的水平。

回答：
++储蓄率对索洛模型中的稳态增长率没有影响，无论s为何值，长期中经济都按n g d 的速度增长，但储蓄率会影响短期增长率和长期稳定状态中的人均资本及人均收入水平，但不影响其稳态的增长率。

结论：储蓄率的变化有水平效应，没有增长效应，它改变经济的平衡增长路径，即改变每个工人的平均产量水平，但不影响处于平衡路径时每个工人产量的增长率，在索洛模型中，只有技术进步率的变化有增长效应，所以其他变化都只是水平效应。

s
k
Y/L
的增
长
率
c。