四川省眉山市正兴中学2018-2019学年高三数学文下学期期末试题含解析

四川省眉山市正兴中学2018-2019学年高三数学文下学
期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 设实数x,y满足约束条件：，则目标函数z=2x+3y的最小值为
（）
A 6
B 7
C 8
D 23
参考答案：
B
2. 在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知二面角A1﹣BD﹣A的大小为，若空间一条直线l与
直线CC1所成的角为
，则直线l与平面A1BD所成的角的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
A
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则∠AOA1为
二面角A1﹣BD﹣A的平面角．把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=．过点A作
AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．利用线面角的定义可得：AM（即直线l）与平面A1BD所成的
最大角为∠AMA1．假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）与平面A1BD所成的最小角为∠AN P．
【解答】解：如图所示，过点A作AO⊥BD，连接A1O，由三垂线定理可得BD⊥A1O，则
∠AOA1为二面角A1﹣BD﹣A的平面角，∴∠AOA1=．
把直线l平移到AM，则∠A1AM=∠MAO=．
过点A作AP⊥A1O，则AP⊥平面A1BD．
∴AM（即直线l）与平面A1BD所成的最大角为∠AMA1=∠MAO+∠MOA=．
假设，AN与直线OP相交于点N，则AN（即直线l）
与平面A1BD所成的最小角为∠ANP=∠PA1A﹣∠A1AN=．
∴直线l与平面A1BD所成角的取值范围是[，]．
故选：A．
3. 执行如图所求的程序框图，输出的值是（）
A．4 B．5 C. 6 D．7
参考答案：
B
4. 已知函数，且，则（）A．B．
C．D．
参考答案：
A
5. 下列说法正确的
是
（）
命题“若，则”的否命题为真命题
“直线与直线互相垂直”的充分条件是“”
命题“”的否定是“”
命题：若，则或的逆否命题为：若或，则
参考答案：
B
6. 已知，且ab>0，则下列不等式不正确的是（）
A． B．
C． D．
参考答案：
答案：B
7. 下列命题中真命题是
A．命题“存在”的否定是：“不存在”.
B．线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.
C．存在，使.
D．函数的零点在区间内.
参考答案：
D
略
8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各棱中，最长的棱的长度为( )
A. B. 6 C. D. 4
参考答案：
B
【分析】
将三视图还原即可求解
【详解】三视图还原成如图所示的几何体:三棱锥S-ABC，则
故选：B
【点睛】本题考查三视图，考查椎体的有关计算，是基础题
9. 已知且，，则的最小值是A．B．8 C．D．
参考答案：
D
10. 宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．下图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5，2，则输出的n=（）
A．2 B．3 C．4 D．5
参考答案：
C
【考点】EF：程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当n=1时，a=，b=4，满足进行循环的条件，
当n=2时，a=，b=8满足进行循环的条件，
当n=3时，a=，b=16满足进行循环的条件，
当n=4时，a=，b=32不满足进行循环的条件，
故输出的n值为4，
故选C．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 从中任意取出两个不同的数，其和为的概率是_______。

参考答案：
从5个正整中任意取出两个不同的数，有种，若取出的两数之和等于5，则有
，共有2个，所以取出的两数之和等于5的概率为。

12. 如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，则EB=．
参考答案：
考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．
专题：立体几何．
分析：连接OC，证明△AOD≌△COD，设EB=x，通过，列出方程求出x即可．
解答：解：连接OC则∠DOA=∠CBO=∠BCO=∠COD则△AOD≌△COD，
则OC⊥CD，则CD是半圆O的切，
设EB=x，由BC∥OD得，△EBC∽△EDO
∴，
则EC=2x，则（2x）2=x?（x+2），
则．
故答案为：．
点评：本题考查三角形的全等与相似，考查逻辑推理能力．
13. 已知△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，那么BC=，=．参考答案：
2，﹣6
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用余弦定理求出BC的值，根据平面向量数量积的定义求出的值．【解答】解：△ABC中，∠A=120°，且AB=AC=2，
由余弦定理得
BC2=AB2+AC2﹣2AB?AC?cos∠A
=22+22﹣2×2×2×cos120°
=12，
∴BC=2，
∴=（﹣）?（﹣）
=﹣+?
=﹣22+2×2×cos120°
=﹣6．
故答案为：2，﹣6．
14. 函数f（x）=2sin（3x﹣）的最小正周期是．
参考答案：
考点：三角函数的周期性及其求法．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：根据三角函数的周期性及其求法即可得解．
解答：解：∵f（x）=2sin（3x﹣），
∴最小正周期T=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，属于基本知识的考查．15. 函数则k的取值范围是（） A． B． C． D．
参考答案：
C
略
16. 甲盒子里装有分别标有数字1、2、4、7的4张卡片，乙盒子里装有分别标有数字1、4的2张卡片，若从两个盒子中各随机地取出1张卡片，则2张卡片上的数字之和为奇数的概率是。

参考答案：
17. 已知ABC的顶点A（-5，0）， B（5，0）顶点C在双曲线=1上，则
的值为
参考答案：
解析：，＝2a=8,AB=2c=10 ,
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系如图所示.
（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系：
若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？
附：相关系数公式，
参考数据：，.
参考答案：
（1），可用线性回归模型拟合与的关系；（2）2台.
【分析】
(1)根据公式得到相关系数的值，通过比较得到判断；（2）分别求出安装一台，两台，三台时的利润均值，得到结果.
【详解】（1）由已知数据可得，.
∵，
，
.
∴相关系数.
∵，∴可用线性回归模型拟合与的关系.
（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.
①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.
②安装2台光照控制仪的情形：
当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），
，
当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润（元），
，
故的分布列为
∴（元）.
③安装3台光照控制仪的情形：
当时，只有1台光照控制仪运行，
此时周总利润（元），
，
当时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润
（元），
，
当时，3台光照控制仪都运行，
周总利润（元），
，
故的分布列为
∴（元）.
综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.
【点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.
19. （本小题满分12分）
为了影响学校“学科文化节”活动，数学组举办了一场数学知识竞赛，共分为甲乙两组，其中甲组得满分的有1个女生和3个男生，乙组得满分的有2个女生和4个男生，现从得满分的学生中，每组个任选2个学生，作为数学组的活动代言人。

（1）求选出的4个学生中恰有1个女生的概率；
（2）设X的选出的4人学生中女生的人数，求X的分布列和数学期望。

参考答案：
（1）；（2）见解析
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．K6
解析：（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A，
“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，
1个为女同学”为事件B，由于事件A?B互斥，
且P（A）==，P（B）==，
∴选出的4个同学中恰有1个女生的概率为 P（A+B）=P（A）+P（B）=；
（2）X可能的取值为0，1，2，3，
P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，P（X=3）=，
∴X的分布列为
∴X的数学期望EX=．
【思路点拨】（1）设“从甲组内选出的2个同学均为男同学；从乙组内选出的2个同学中，1个是男同学，1个为女同学”为事件A，“从乙组内选出的2个同学均为男同学；从甲组内选出的2个同学中1个是男同学，1个为女同学”为事件B，则所求概率为P
（A+B），根据互斥事件的概率加法公式可求；（2）X可能的取值为0，1，2，3，利用古典概型的概率加法公式可求X取相应值时的概率，从而可得分布列，利用数学期望公式可求得期望值。

20. （本小题满分5分）选修4-2：矩阵与变换
已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为，并且矩阵对应的变换将点变成点，求出矩阵。

参考答案：
解：设，有条件有，
，且， --------------------5分
，----------------7分；解得，． --------------10分21. 已知曲线C：，直线l：（t为参数）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．
参考答案：
【考点】直线的参数方程；三角函数的最值．
【专题】坐标系和参数方程．
【分析】（1）由平方关系和曲线C方程写出曲线C的参数方程，消去参数t即可得直线l 的普通方程；
（2）由曲线C的参数方程设曲线C上任意一点P的坐标，利用点到直线的距离公式求出点P直线l的距离，利用正弦函数求出|PA|，利用辅助角公式进行化简，再由正弦函数的性质求出|PA|的最大值与最小值．
【解答】解：（1）由题意得，曲线C：，
所以曲线C的参数方程为（θ为参数），
因为直线l：（t为参数），
所以直线l的普通方程为2x+y﹣6=0 …
（2）曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ），
则点P直线l的距离为d==，
则|PA|==|4cosθ+3sinθ﹣6|=|5sin（θ+α）﹣6|（其中α为锐角且tanα=），
当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为，
当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为…
【点评】本题考查参数方程与普通方程互化，点到直线的距离公式，以及辅助角公式、正弦函数的性质等，比较综合，熟练掌握公式是解题的关键．
22. 已知P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，点M满足=，当P 在圆C上运动时，点M的轨迹为曲线E．
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）经过点A（0，2）的直线l与曲线E相交于点C，D，并且=，求直线l的方程．
参考答案：
【考点】KL：直线与椭圆的位置关系．
【分析】（I）设M（x，y），则P（x，2y）在圆C：x2+y2=4上，由此能求出曲线E的方程．
（II）设直线l：y=kx+2，联立，得（1+4k2）x2+16kx+12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量，结合已知条件能求出直线l的方程．
【解答】解：（I）设M（x，y），
∵P是圆C：x2+y2=4上的动点，P在x轴上的射影为P′，
点M满足=，当P在圆C上运动时，点M的轨迹为曲线E．
∴P（x，2y）在圆C：x2+y2=4上，
∴x2+4y2=4，
即曲线E的方程为： =1，…（4分）
（II）经检验，当直线l⊥x轴时，题目条件不成立，
∴直线l存在斜率．设直线l：y=kx+2．
设C（x1，y1），D（x2，y2），则，
∴（1+4k2）x2+16kx+12=0．…（6分）
由△=（16k）2﹣4（1+4k2）﹣12＞0，得k2＞．
，…．①，，…②．…（8分）
又由=，得，
将它代入①，②得k2=1，k=±1（满足k2＞）．
所以直线l的斜率为k=±1．
所以直线l的方程为y=±x+2．…（12分）
【点评】本题考查曲线方程、直线方程的求法，考查椭圆、射影、圆、直线方程、根的判别式、韦达定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．。