深圳市必修第一册第二单元《一元一次函数,方程和不等式》检测卷(答案解析)

一、选择题
1．已知,,(0,)x y t ∈+∞，且
11t
x y
+=， A ．当2t =时，当且仅当2x y ==时，2x y +有最小值 B ．当8t =时，当且仅当25
3
x y ==
时，2x y +的最小值为25 C ．若2x y +的最小值为9，则t 的值为2 D ．若2x y +的最小值为25，则t 的值为6 2．已知0a >，0b >，且1a b +=，则14
a b
+的最小值为（ ） A ．9 B ．8
C ．7
D ．6
3．当1
04x <<时，不等式11014m x x
+
-≥-恒成立，则实数m 的最大值为（ ） A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
4．若正数a ，b 满足21a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．ab 有最大值1
2
B ．224a b +有最小值12
C ．ab 有最小值
18 D ．224a b +有最大值
14
5．已知函数()24x x a
f x x
++=，若对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，则实数a
的取值范围为（ ）
A ．[)5,+∞
B ．()5,-+∞
C ．()5,5-
D ．[]5,5-
6．对于任意实数x ，不等式210ax ax -+>恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(]0,4
B ．[)0,4
C ．(]
[),04,-∞+∞ D ．()(),04,-∞+∞
7．若不等式210x ax -+≥对一切[2,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．0
B ．2
C ．
52
D ．3
8．若正实数,x y 满足x y 1+=，则41
x 1y
++的最小值为( ) A ．
447
B ．
275 C ．
143
D ．
92
9．若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是（ ） A ．
B ．5
C ．
D ．6
10．若直线20(,1)ax by a b +-=>始终把圆222220x y x y +---=的周长分为
1:2．则
11
a b
+的最大值为（ ）
A ．4-
B ．2-
C 1
D
11．已知,a b R +∈，2229ab b a b +++=，则+a b 的最小值（ ） A ．1
B ．2
C ．
52
D ．3
12．在ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知6
B π
=
且1ABC S =△，则
2
a c ac a c
+-+的最小值（ ） A ．
1
2
B ．2
C ．
14
D ．4
二、填空题
13．已知正实数,x y 满足48x y +=，则xy 的最大值为_______________. 14．已知a 、b 都是正数，且0a b ab +-=，则1911
b a b +--的最小值是__________． 15．设函数4
()f x x x
=-对任意[2,)x ∈+∞，()()0f ax af x +<恒成立，则实数a 的取值范围是____________.
16．已知0x >，0y >，22x y +=，则223524x y x y
xy
+++的最小值为______.
17．已知函数()()2
,f x x ax b a b R =++∈的值域为[)0,+∞，若关于x 的不等式
()f x c <的解集为(),6m m +，则实数c 的值为________．
18．设0b >，2
1a b -=，则2
42a a b
+的最小值为_________.
19．若0x >，则函数()16
4f x x x
=+
的最小值是______. 20．已知a ，b 均为正实数，且1a b +=，则231
a ab
+的最小值为__________，此时a 的值
为__________.
三、解答题
21．设2()(1)2f x x a x a =--+-.
（1）若不等式()2f x ≥-对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； （2）解关于x 的不等式()0f x <(a R ∈). 22．已知函数2(),(,)f x x ax b a b R =-+∈． （Ⅰ）不等式()0f x ≤的解集为[1,2]-，求a ，b 的值；
（Ⅱ）令函数()()2
x
g x f =，对于任意的实数1
2
,[1,2]x x
∈，不等式()()125
g x g x -≤恒成立，求a 的取值范围．
23．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠， （1）若不等式()0f x >的解集(1,3)-．求a ，b 的值； （2）若()12f =，0a >，0b >，求
14
a b
+的最小值．
24．已知不等式2(1)(2)60a x b x ---+≥的解集为{}
31x x -≤≤ （1）求,a b 的值.
（2）求不等式2
(2)40amx bm x -++<的解集
25．已知函数()()2
21f x ax a x b =-++-.
（1）若2a =-，9b =，求函数()
()0f x y x x
=
<的最小值； （2）若1b =-，解关于x 的不等式()0f x ≥.
26．设函数2()4f x ax x b =++．
（1）当0a >且4a b +=时，解关于x 的不等式()0f x ；
（2）已知a b >，若()f x 的值域为[0，)+∞，求22a b
a b
+-的最小值．
参考答案
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一、选择题 1．C 解析：C 【分析】 当2t =时，
121x y +=，()1222x y x y x y ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
展开后利用基本不等式即可判断A ；
当当8t =时，181x y +=，()2812x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
展开后利用基本不等式即可判断B ；
(
)1221212122x y x y t t t x y x t y tx y ⎛⎫+=++=+++≥++=++ ⎪⎝⎭
分别令129t ++=
和1225t ++=即可求出t 的值，可判断选项C 、D ，进而可得正确选项. 【详解】
对于选项A ：当2t =时，12
1x y
+=，
(
)122225259x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当12
122x y y x x
y ⎧+=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以3x y ==时，2x y +有最小值，
故选项A 不正确； 对于选项B ：当8t =时，
18
1x y
+=， (
)188222171725x x y x y x y x y y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
，
当且仅当18
128x y y x x
y ⎧+=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以510x y =⎧⎨=⎩时，2x y +有最小值，
故选项B 不正确；
对于选项C ：(
)12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++
⎪⎝⎭
12t =++
129t ++=
即
0=
=
即2t =，当且仅当12
122x y y x x
y ⎧+=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩即3x y ==时等号成立，所以2t =，故选项C 正确；
对于选项D ：(
)12212221x y x t y tx y t t x y x y ⎛⎫+=++=+++≥++
⎪⎝⎭
12t =++
1225t ++=
即
0=
=，
即8t =，当且仅当12
128x y y x
x
y ⎧+=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩即510x y =⎧⎨=⎩时等号成立，所以8t =，故选项D 不正确；
故选：C 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．A
解析：A 【分析】
利用“1”的代换，转化()1414a b a b a b ⎛⎫
+=++ ⎪⎝⎭
，结合基本不等式即可得解. 【详解】
1a b +=，0a >，0b > (
)1414455549b a a b a b a b a b ⎛⎫+++=++≥+=+= ⎪⎝⎭
∴
=， 当且仅当
4b a a b =，即13
a =，2
3b =时，等号成立. 14
a b ∴+的最小值为9 故选：A. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
3．C
解析：C 【分析】
分离参数化为41414m x x
≤+-恒成立，再利用基本不等式求出不等式右边的最小值即可得解. 【详解】
不等式11014m x x
+-≥-恒成立化为41
414m x x ≤+-恒成立， 因为1
04
x <<，所以140x ->，
所以
()4141414414414x x x x x x ⎛⎫+=+-+ ⎪--⎝⎭
44(14)5144x x x x -=++-
5≥+549=+=，当且仅当44(14)144x x x x -=-，即16x =时，等号成立.
所以9m ≤，所以m 的最大值为9. 故选：C 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
4．B
解析：B 【分析】
利用基本不等式分析22
,4ab a b +的最值，注意取等条件的分析，由此得到结果.
【详解】
因为21a b +=，所以12a b =+≥18ab ≤，取等号时11,24
a b ==， 所以ab 有最大值
1
8
，所以A ，C 错误； 又因为()2
2
2
11241414824a b ab b a ab =+-=-≥-⨯=+，取等号时11,24
a b ==， 所以224a b +有最小值1
2
，所以B 正确，D 错误， 故选：B. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5．B
解析：B 【分析】
根据条件将问题转化为“24a x x >--在[)1,+∞上恒成立”，再根据()
2
max
4a x x
>--求解
出a 的范围. 【详解】
因为对于任意[)1,x ∈+∞，()0f x >恒成立，所以240x x a ++>对[)1,x ∈+∞恒成立， 所以(
)
2
max
4a x x
>--，[)1,x ∈+∞，
又因为2
4y x x =--的对称轴为2x =-，所以2
4y x x =--在[)1,+∞上单调递减， 所以()
()2
max
4145x x --=--=-，所以5a >-，
故选：B. 【点睛】
方法点睛：一元二次不等式在指定区间上恒成立求解参数范围问题的处理方法： （1）分类讨论法：根据参数的临界值作分类讨论；
（2）分离参数法：将自变量和参数分离开来，自变量部分构造新函数，分析新函数的最值与参数的大小关系.
6．B
解析：B 【分析】
讨论0a =和0a ≠情况，再根据一元二次不等式与二次函数的关系，解不等式得解. 【详解】 关于x 的不等式2
10ax ax -+>恒成立，
当0a =时，10>恒成立，满足题意
当0a ≠时，即函数()2
1f x ax ax =-+恒在x 轴上方即可，
所以0
0a >⎧⎨∆<⎩
，即2040a a a >⎧⎨-<⎩，解得04a <<，
所以实数a 的取值范围是[0,4).
故选：B 【点睛】
本题考查了一元二次不等式恒成立求参数的取值范围，考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.
7．C
解析：C 【分析】
采用参变分离法对不等式变形，然后求解变形后的函数的值域，根据参数与新函数的关系求解参数最值. 【详解】
因为不等式210x ax -+≥对一切[)2,x ∈+∞恒成立，
所以对一切[)2,x ∈+∞，2
1ax x ≤+，即21
x a x
+≤恒成立．
令()[)()211
2,x g x x x x x
+==+∈+∞．
易知()1
g x x x
=+
在[)2,+∞内为增函数． 所以当2x =时，()min 52g x =，所以a 的最大值是5
2
．故选C ． 【点睛】
常见的求解参数范围的方法：
（1）分类讨论法（从临界值、特殊值出发）； （2）参变分离法（考虑新函数与参数的关系）.
8．D
解析：D 【分析】
将1x y +=变成12x y ++=，可得41141121x y x y x y ⎛⎫
+++=⋅+ ⎪++⎝⎭
，展开后利用基本不等式求解即可． 【详解】
0x ，0y >，1x y +=，12x y ∴++=，
(4114114119
1451212122x y y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++++=⋅+=+++≥+= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
(当且仅当1
3x =
，23
y =取等号)，故选D ． 【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于中档题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用≥或≤时等号能否同时成立）.
9．B
解析：B 【解析】
试题分析：已知两边同时除以
，得到
，
那么
等号成立的条件是，即
，所以
的最小值是5，故选B ．
考点：基本不等式
10．B
解析：B 【分析】
由圆的方程得圆心和半径，根据圆的周长被分为1:2，可推出圆心到直线的距离为1，即
22
21a b a b +-=+，化简整理后，再结合基本不等式的性质可得ab 的最小值，再求出
11a b
+的最大值．
【详解】
把圆2
2
2220x y x y +---=化成标准形式为2
2
(1)(1)4x y -+-=，其中圆心为(1,1)，半径为2．
设直线与圆交于A 、B 两点，圆心为C ， 因为直线把圆的周长分为1:2，所以1
3601203
ACB ∠=
⨯︒=︒， 所以圆心(1,1)C 到直线20ax by +-=的距离为12
2
21a b a b
+-=+，
因为a ，1b >，所以202()a ab b -++=，
由基本不等式的性质可知，22()4ab a b ab +=+， 当且仅当a b =时，等号成立，此时有2(22)ab +，
所以1
(2)
111112222(2ab a b a b ab ab ab
+
++===+
+=+． 所以
11
a b +的最大值为2- 故选：B ． 【点评】
本题主要考查直线与圆的综合问题，除圆的标准方程、点到直线的距离公式等基础知识外，还涉及利用基本不等式的性质求最值，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11．C
解析：C 【分析】
令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=，化简后利用判别式列不等式，解不等式求得+a b 的最小值. 【详解】
令z a b =+，得a z b =-，代入2229ab b a b +++=并化简得
()212290b z b z +--+=，关于b 的一元二次方程有正解，
所以首先()()2
124290z z ∆=---+≥， 即()()27250z z +-≥，
由于,a b 是正实数，所以250z -≥，即52z ≥，也即+a b 的最小值为52
. 此时对称轴12211
20222
z z z ---
==-≥>，所以关于b 的一元二次方程()212290b z b z +--+=有正解，符合题意.
故选：C 【点睛】
本小题主要考查判别式法求最值，考查一元二次不等式的解法，属于中档题.
12．A
解析：A 【分析】
由已知条件和三角形的面积公式得4ac =，再根据基本不等式可得+4a c ≥，令
24a c y a c +=
-+，+a c t =，24t y t =-（4t ≥），由此函数的单调性可得选项. 【详解】 由已知6
B π
=
且1ABC S =△，得
1sin 126
ac π
=，解得4ac =，
所以2
+42a c ac ⎛⎫=≤ ⎪
⎝⎭
，即
+4a c ≥，当且仅当a c =时取等号， 所以
224a c a c ac a c a c ++-=-++，令24a c y a c +=-+，+a c t =，则2
4t y t
=-（4t ≥）， 而24t y t =-在[)4+∞，单调递增，所以2421
4442t y t =-≥-=，所以2a c ac a c
+-+的最
小值为
12
. 故选：A. 【点睛】
本题考查三角形的面积公式，基本不等式的应用，以及运用函数的单调性求最值的问题，属于中档题.
二、填空题
13．4【分析】由基本不等式求解【详解】因为所以所以当且仅当即时等号成立故答案为：4【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（1）一正二定三相等一正就是各项必须为正数；（2）二
解析：4 【分析】
由基本不等式求解． 【详解】
因为0,0x y >>，所以48x y +=≥=， 所以4xy ≤，当且仅当4x y =，即1,4x y ==时等号成立． 故答案为：4． 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方
14．【分析】由可得出根据已知条件得出将代入所求代数式可得出利用基本不等式可求得的最小值【详解】所以由解得则所以当且仅当时等号成立因此的最小值为故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必 解析：15
【分析】
由0a b ab +-=可得出1b a b =-，根据已知条件得出1b >，将1
b a b =-代入所求代数式可得出
()19919111
b b a b b +=-++---，利用基本不等式可求得1911b
a b +--的最小值. 【详解】
0a b ab +-=，所以，()1a b b -=-，1
b a b ∴=
-， 由010
b a b b ⎧=>⎪-⎨⎪>⎩，解得1b >，则10b ->， 所以，
()()
919191919915
111111
b b b b a b b b b -++=+=-++≥=------， 当且仅当4b =时，等号成立， 因此，
1911
b
a b +--的最小值为15. 故答案为：15. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
15．【分析】由题意可得在恒成立运用参数分离和讨论结合恒成立思想和不等式的解法即可得到所求范围【详解】函数对任意恒成立即有即有在恒成立当时由于不满足题意；当时由于可得解得或即有成立则的取值范围是故答案为： 解析：(,1)-∞-
【分析】
由题意可得2
1
2ax a a
<+
在[2，)+∞恒成立，运用参数分离和讨论0a >，0a <，结合恒成立思想和不等式的解法，即可得到所求范围． 【详解】 函数4
()f x x x
=-，对任意[2x ∈，)+∞，()()0f ax af x +<恒成立， 即有440a ax ax ax x
-
+-<，
即有2
12ax a a ⎛⎫<+ ⎪⎝
⎭在[2，)+∞恒成立，
当0a >时，2
2121x a ⎛⎫<+ ⎪⎝⎭
，由于2[4x ∈，)+∞，不满足题意；
当0a <时，2
2121x a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭，由于2[4x ∈，)+∞，可得21214a ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，
解得1a >或1a <-，即有1a <-成立． 则a 的取值范围是(,1)-∞-． 故答案为：(,1)-∞-． 【点睛】
本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和单调性，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题．
16．16【分析】由条件可知则原式变形为展开后利用基本不等式求最小值【详解】原式；当且仅当即时取等所以的最小值为16故答案为：16【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合1的妙用利用基本不等式求最值
解析：16 【分析】 由条件可知
()1
212
x y +=，则原式变形为()1243522x y x y y x y x ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭，展开后，利
用基本不等式求最小值. 【详解】 原式()124493
524162x y x y
x y y x y x y x
⎛⎫=++++=++≥ ⎪⎝⎭； 当且仅当23x y =即67x =
，4
7
y =时取等. 所以223524x y x y
xy
+++的最小值为16.
故答案为：16 【点睛】
关键点点睛：本题的关键是结合 “1”的妙用，利用基本不等式求最值.
17．【分析】由题意可得然后求出不等式的解结合已知条件可得出关于的方程进而可求得的值【详解】由题意知因为函数的值域为所以可得由可知且有解得所以所以解得故答案为：【点睛】利用一元二次不等式的解集求参数一般转 解析：9
【分析】
由题意可得2
4
a b =，然后求出不等式()f x c <的解，结合已知条件可得出关于c 的方
程，进而可求得c 的值. 【详解】
由题意知()2
22
24a a f x x ax b x b ⎛⎫=++=++- ⎪⎝
⎭， 因为函数()f x 的值域为[)0,+∞，所以，204a b -=，可得2
4a b =
， 由()f x c <可知0c >，且有2
2a x c ⎛⎫+< ⎪⎝
⎭
，解得22a a x -<<-+，
所以，2a m =-
，62
a
m +=- 所以，(
)66m m =+-=9c =. 故答案为：9. 【点睛】
利用一元二次不等式的解集求参数，一般转化为解集的端点值为对应的一元二次方程的根，可以利用韦达定理或者利用代入法求解.
18．4【分析】两次应用基本不等式验证等号能同时成立即得【详解】由题意当且仅当即时上述不等式中等号同时成立故答案为：4【点睛】本题考查了基本不等式求最值考查了运算求解能力逻辑推理能力在连续运用基本不等式求
解析：4 【分析】
两次应用基本不等式，242a a b +≥12
b b +≥，验证等号能同时成立即得． 【详解】
由题意211a b =+≥，
2442a a b +≥===≥， 当且仅当2
142b b
a a b
⎧
=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，即21a b =⎧⎨=⎩时上述不等式中等号同时成立． 故答案为：4． 【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，考查了运算求解能力，逻辑推理能力，在连续运用基本不等式求最值时，要注意等号能否同时成立．
19．16【分析】本题先判断再求函数的最小值即可【详解】解：∵∴∴当且仅当即时取等号∴函数的最小值是16故答案为：16【点睛】本题考查基本不等式
求最值是基础题
解析：16 【分析】
本题先判断40x >，16
0x
>，再求函数()164f x x x =+的最小值即可.
【详解】
解：∵ 0x >，∴ 40x >，16
0x
>， ∴ ()
16416f x x x
=+≥=， 当且仅当16
4x x
=
即2x =时，取等号， ∴ 函数()16
4f x x x
=+的最小值是16.
故答案为：16. 【点睛】
本题考查基本不等式求最值，是基础题.
20．6【分析】首先由条件变形为化简后利用基本不等式求最小值【详解】所以当时等号成立即解得：所以即的最小值为6此时故答案为：6；【点睛】本题考查基本不等式求最值重点考查转化思想计算能力属于基础题型本题的关
解析：6 13
【分析】
首先由条件变形为()2
22
331a a b a ab ab
+++=，化简后利用基本不等式求最小值. 【详解】
1a b +=，()2
1a b ∴+=
所以()2
2222
3314242a a b a a b ab a b ab ab ab b a
+++++===++，
44a b b a +≥=， 当4a b b a =时，等号成立，即1
20,0
a b b a a b +=⎧⎪=⎨⎪>>⎩
，解得：12
,33a b ==， 所以231426a ab
+≥+=，
即231
a ab
+的最小值为6，此时13a =.
故答案为：6；1
3
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，重点考查转化思想，计算能力，属于基础题型，本题的关键是利用()2
1a b =+变形，化简.
三、解答题
21．（1）33a -≤≤+2）答案见解析. 【分析】
（1）一元二次不等式恒成立问题，由判别式可得参数范围．
（2）不等式变形为[(2)](1)0x a x ---<，根据2a -和1的大小分类讨论得解集． 【详解】
解：（1）由题意，不等式()2f x ≥-对于一切实数x 恒成立，等价于2
(1)0x a x a --+≥
对于一切实数x 恒成立.所以2
0(1)40a a ∆≤⇔--≤⇔33a -≤≤+
（2）不等式()0f x <等价于2
(1)20[(2)](1)0x a x a x a x --+-<⇔---<.
当21a ->即3a >时，不等式可化为12x a <<-，不等式的解集为{}
12x x a <<-； 当21a -=即3a =时，不等式可化为2
(10)x -<，不等式的解集为∅； 当21a -<即3a <时，不等式可化为21a x -<<，此时{}
21x a x -<<. 综上所述：当3a <时，不等式的解集为{}
21x a x -<<； 当3a =时，不等式的解集为∅；
当3a >时，不等式的解集为{}
12x x a <<-. 【点睛】
本题考查解一元二次不等式．掌握三个二次伯关系是解题关键．对含参数的一元二次不等式求解时需分类讨论，分类讨论一般有三个层次：一是二次项系数是否为0，不为0时二次项系数的正负，二是一元二次方程的判别式，三是在判别式大于0时，方程两根的大小．注意灵活分类．
22．无 23．无 24．无
25．无
26．（1）(,2]-∞；（2）(,1](2,)-∞+∞．
【分析】
（1）求出
1242
x
x +-在(2,)+∞上的最小值后可得m 的范围； （2）求出命题q 为真时m 的范围，由p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，知,p q 一真一
假，由此可求得m 的范围． 【详解】 （1）若p 为真，则
1242
x
m x +-， 而
1121121224224224x x x x x -+=++=---， 当且仅当
12
242
x x -=-，即3x =时等号成立； 故2m ，即实数m 的取值范围为(,2]-∞；
（2）若q 为真，则213m +>，故1m ；
若p 真q 假，则21m m ⎧⎨⎩，
，则1m ，
若p 假q 真，则21m m >⎧⎨>⎩
，
，则2m >，
综上所述，实数m 的取值范围为(,1](2,)-∞+∞．
【点睛】
方法点睛：本题考查由命题的真假求参数，考查复合命题的真假判断．掌握复合命题的真值表是解题关键．复合命题的真值表：
（1）()()2
4043
t t f t t -+=<<（2）3厘米（3）
【分析】
（1）先求出点D 的坐标，再求出AB 的长，从而得出函数f t 的解析式；
（2）由二次函数的性质求解即可；
（3）先得出窗户的高与BC 长的比值为121
()(04)62
g t t t t =+-<<，再结合基本不等式得出答案. 【详解】
（1）因为抛物线方程为2
3x y =-，所以2,3D t t ⎛⎫- ⎪⎝
⎭
又因为8242t AB DC t -===-，所以点O 到AD 的距离为2
3
t 所以点O 到BC 的距离为2
43
t t +-，即()()24043t t f t t -+=<<
（2）因为
()13
1
2
23
04t t -=
⨯
<=
<-，所以当32
t =时有最小值 2
min
333
33132()44232424f t f ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭==-+=-+=
⎪⎝⎭ 此时3
2t =
，32232
BC t ==⨯=，故BC 应设计为3厘米 （3）窗户的高与BC 长的比值为2
4
1213()(04)
262
t t g t t t t t -+==+-<<
因为1
211211
26
26232
t
t t t +
-⋅=-，当且仅当2
6t t =，即t =
所以要使得窗户的高与BC 长的比值达到最小，2BC t == 【点睛】
关键点睛：在解决第二问时，关键是利用二次函数的单调性求出该函数的最小值。

在解决第三问时，主要是利用基本不等式求和的最小值，在求解时注意等号是否取得到. （1）1；（2）19
7
a ≥- 【分析】
（1）求出对称轴，即可得出a 的范围，求出最小值；
（2）构造函数()2
23g x x ax a =-+-，讨论3a ≤-和3a >-两种情况令函数最大值大
于等于0，即可求出. 【详解】
（1）()2
23f x x ax =-+的对称轴为x a =，开口向上，
若()f x 在(],1-∞上单调递减，则1a ≥，
故a 的最小值为1；
（2）()f x a ≥，即2230x ax a -+-≥在[]
4,2x ∈--有解，
令()2
23g x x ax a =-+-，对称轴为x a =，开口向上，
当3a ≤-时，()()max 2370g x g a =-=+≥，解得7
3
a ≥-
，此时无解； 当3a >-时，()()max 47190g x g a =-=+≥，解得197
a ≥-， 综上，197
a ≥-. 【点睛】
本题考查一元二次不等式在闭区间的有解问题，解题的关键是讨论对称轴的位置求最值. （1）答案见解析；（2）2a =时，b 的最小值为4. 【分析】
（1）把b 用a 表示,根据a 、b 都是正实数可证明a >1;
（2）由b b a a =-可得2
1
a b a =
-,利用基本不等式可出b 的最小值 【详解】
（1）
1
(1)b
b a b a a a
=-∴-=
又a 、b 都是正实数, ∴11>0a
-
11>
01a a a ∴>∴>.
即证.
（2）
1
1
(1)(
)b
a b a b a
b a a a
a
-=-∴-=∴= 1a >
2
1
a b a ∴=
- 令1(0)t a t =->,则22(1)12241a t b t t a t t t
+∴===++≥+=-
当且仅当11t a =-=,即2a =时取最小值. 所以2a =时，b 的最小值为4. 【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
（1）()311，
（2）.a a c c
b b d d
+<<+ 【分析】
(1) 根据新定义，代入计算判断即可；
(2）根据新定义得到ad < bc ，再利用不等式的性质，即可判断. 【详解】 （1）
37112⨯<⨯，
()27∴，的“下位序对”是()311，.
（2）
()a b ，
是()c d ，的“下位序对”, ad bc ∴<,
a b c d ，，，均为正数,
0()a c a bc ad b d b b d b +-∴
-=>++,即0a c a
b d b
+->+， a c a
b d b
+∴
>+， 同理可得，.a c c
b d d +<+ 综上所述，.a a
c c b b
d d
+<<+ 【点睛】
关键点点睛：对于本题关键理解，如果xw yz <，那么称()x y ，
是()z w ，的“下位序对”这一新定义，理解此定义后，利用不等式性质求解即可. （1）见解析；（2
）34k --≤<-
或13k -<≤-+ 【分析】
（1）就0k =、0k <、02k <<、2k =、2k >分类讨论后可得不等式的解集.
（2）根据（1）可得0k <，结合解集中整数解的个数可得24
650k k
k ⎧+-≤
<-⎪⎨⎪<⎩
，从而可得k 的解.
【详解】
（1）若0k =，则原不等式等价于40x -<，故{}4|=<A x x .
若0k <，则原不等式等价于24(4)0k x x k +⎛⎫
--< ⎪⎝⎭
，
因为24
4k k +<，故24|4k A x x k ⎧⎫+=<<⎨⎬⎩⎭
. 若02k <<或2k >，则原不等式等价于24(4)0k x x k +⎛⎫
--> ⎪⎝⎭
，
因为244k k +>，故{|4A x x =<或24
}k x k
+>，
若2k =，则原不等式等价于2
(4)0x ->，故{}|4A x x =≠.
（2）由（1）可得0k <且24|4k A x x k ⎧⎫
+=<<⎨⎬⎩⎭
， 因为集合A 中恰有9个整数，故24
650
k k
k ⎧+-≤
<-⎪⎨⎪<⎩即225406400k k k k k ⎧++>⎪++≤⎨⎪<⎩
解得34k -<-
或13k -<≤- 【点睛】
思路点睛：含参数的不等式的解，注意先考虑二次项系数的正负，再考虑两个的大小关系，结合不等式的方向可得不等式的解集.
（1）400吨；（2）该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元. 【分析】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为y
x
，化简后再利用基本不等式即可求出最小值．
（2）该单位每月获利为W 元，则2
1100(300)175004W x y x =-=---，由x 的范围，利用
二次函数的性质得到W 的范围即可得结论． 【详解】
（1）由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为
14000050501504y x x x =+-≥=， 当且仅当
140000
4x x
=，即400x =时等号成立， 故该单位月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为150元. （2）不获利，设该单位每月获利为W 元， 则2110010050400004W x y x x x ⎛⎫
=-=--+
⎪⎝⎭
2211
15040000(300)1750044
x x x =-+-=---，
因为[200,500]x ∈，
所以300x =时W 取最大值17500-，500x =时W 取最小值27500-， 所以[27500,17500]W ∈--.
故该工厂每月废气回收再利用不获利，月最大亏损额为27500元. 【点睛】
方法点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误. （1）2b ≥；（2）12
±. 【分析】
（1）分析二次函数()f x 图象的开口方向以及对称轴，根据题意可求得实数b 的取值范围；
（2）对实数m 的取值进行分类讨论，分析函数()f x 在区间[]1,1-上的单调性，结合已知条件可求得实数m 的值. 【详解】
（1）由题意可知，二次函数()()2
23f x x bx b R =-+∈的图象开口向上，
对称轴为直线x b =，
由于函数()f x 在[22]-，
上是单调递减，则2b ≥. 因此，实数b 的取值范围是[)2,+∞.
（2）当2b ≥时，函数()f x 在区间[22]-，
上单调递减，则()()max 24439f x f b =-=++=，解得1
2
b =
，不合题意，舍去； 当2b ≤-时，函数()f x 在区间[22]-，
上单调递增， 则()()max 24439f x f b ==-+=，解得1
2
b =-
，不合题意，舍去； 当22b -<<时，函数()f x 在区间[)2,b -上单调递减，在区间(],2b 上单调递增， 则()max f x 在
()2f -或()2f 中取得，
又因为()274f b -=+，()274f b =-， 所以当02b <<时，()()max 29f x f =-=，解得1
2
b =； 当20b -<<时，()()max 29f x f ==，解得12
b =-； 当0b =时，显然不合题意；
综上所述，12
b =±. 【点睛】
二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解题的关键是对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论． （1）4
2
m n =⎧⎨
=⎩；（2）①9；
②(
-∞. 【分析】
（1）根据一元二次不等式的解集先求解出m 的值，然后求解出不等式的解集即可求解出
n 的值；
（2）①先根据条件得到41a b +=，然后利用“1”的代换将
11
a b
+变形为()114a b a b ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
，再结合基本不等式求解出最小值；
②根据条件可得到(
)
min
216a b
t +≥，利用基本不等式求解出()
min
216a b +，则t 的范围可
求. 【详解】
（1）因为2120x mx +-<的解集诶()6,n -，所以()2
66120m ---=，所以4m =，
所以24120x x +-<，所以()()620x x +-<，所以解集为()6,2-，所以2n =，故
4
2m n =⎧⎨=⎩
； （2）①因为282a b +=，所以41a b +=， 所以
(
)111144559a b a b a b a b b a ⎛⎫
+=++=++≥+= ⎪⎝⎭
， 取等号时
4a b
b a =且41a b +=，即11,36
a b ==，所以min 119a b ⎛⎫+= ⎪⎝⎭； ②2160a b t +-≥恒成立，所以(
)
min
216
a b
t +≥，
因为41
42
2
222212
226a a b a b b +=+≥==⋅=+⋅，取等号时4a b =，即
11,28
a b ==，
所以(
)
min
216a b
+=
t ≤
，即(
t ∈-∞.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. （1）max 3,1|()|1,1b b
f x b b +-≤⎧=⎨-<-⎩
；（2）存在，[2,3]b ∈.
【分析】
（1）计算区间端点处函数值(0),(3)f f 及顶点处函数值(1)f ，由此确定取绝对值后
()f x 的最大值只能是(3)f 或(1)f ，分类讨论得出最大值．
（2）由(0)f b =得[2,6]b ∈，(0,]x b ∈时，分离参数得26b b
x a x x x
---≤-≤-，由求得
2b x x --的最大值和6b
x x --的最小值，解相应不等式可得b 的范围，结合起来可得结论． 【详解】
（1）2
()2g x x x b =-+，(0)f b =，(3)3f b =+，(1)1f b =-，13b b b -<<+，
所以max 3,1|()|1,1b b
f x b b +-≤⎧=⎨
-<-⎩
. （2）由2(0)6f b ≤=≤知[2,6]b ∈，
26(0)b b
x a x x b x x
---≤-≤-<≤（*） 注意到20b -≤，60b -≥，由勾形函数性质知22b b y x x x x --⎛⎫
=
-=-+ ⎪⎝⎭
在
递增，)b 递减，而6b
y x x
-=
-是(0,]b 上的减函数， 因此要存在,a b ，使得（*）式成立，则
26(3)(36)0b
b b b b b
--≤
-⇒-++≤， 3b ∴≤，综上：[2,3]b ∈.
所以存在实数a ，b ，使得当,][0x b ∈时，2()6f x ≤≤恒成立，且[2,3]b ∈． 【点睛】
关键点点睛：本题考查求绝对值的最值，考查不等式恒成立问题．在两个参数的问题中，常常把两个参数分开研究．本题中由(0)f b =得出b 的一个范围，结论中的范围不会比这个范围大，在这个范围内，可以使问题的解决较方便．而在(0,]x b ∈时可以用分离参数法把a 分离出来，然后由存在性，得出只要不等式前后两个式子的最值满足相应的关系即可得．
（1）1,2a b =-=；（2）解集见详解；（3）2m <-。