最新初中数学向量的线性运算单元汇编含答案(1)

最新初中数学向量的线性运算单元汇编含答案(1)
一、选择题
1．如图，在平行四边形ABCD 中，如果AB a =u u u r r ，AD b =u u u r r ，那么a b +r
r 等于（ ）
A ．BD u u u r
B ．A
C u u u r
C ．DB u u u r
D ．CA u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
由四边形ABCD 是平行四边形，可得AD=BC ，AD ∥BC ，则可得BC b =u u u r r
，然后由三角形法则，即可求得答案． 【详解】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD=BC ，AD ∥BC ，
∵AD b =u u u r r ，
∴BC b =u u u r r ， ∵AB a =u u u r r ，
∴a b +r r =AB u u u
r +BC uuu r =AC u u u r ．
故选B ．
2．已知3a →
=，2b =r ，而且b r 和a r
的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A ．32a b →→
= B ．23a b →→
=
C ．32a b →→
=-
D ．23a b →→
=-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据
3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v 的方向相反，可得两者的关系，即可求解. 【详解】
∵3,2a b ==v v ，而且12,x x R ∈Q 和a v
的方向相反
∴32
a b =-v v
故选D. 【点睛】
本题考查的是向量，熟练掌握向量的定义是解题的关键.
3．已知a r
、b r
和c r
都是非零向量，在下列选项中，不能判定//a b r
r 的是( ) A ．2a b =r r
B ．//a c r r
，//b c r r
C ．||||a b =r r
D ．12
a c =r r ，2
b
c =r r
【答案】C 【解析】 【分析】
由方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，对各选项分析判断． 【详解】
A 选项：由2a b =r r ，可以推出//a b r
r ．本选项不符合题意；
B 选项：由//a c r r ，//b c r r ，可以推出//a b r
r ．本选项不符合题意；
C 选项：由||||a b =r r ，不可以推出//a b r
r ．本选项符合题意；
D 选项：由
12
a c =r r ，2
b
c =r r ，可以推出//a b r r ．本选项不符合题意； 故选：C ． 【点睛】
考查了平面向量，解题关键是熟记平行向量的定义．
4．下列说法正确的是（ ）． A ．一个向量与零相乘，乘积为零 B ．向量不能与无理数相乘
C ．非零向量乘以一个负数所得向量比原向量短
D ．非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反 【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的定义和性质进行判断． 【详解】
解：A. 一个向量与零相乘，乘积为零向量.故本选项错误； B. 向量可以与任何实数相乘.故本选项错误；
C. 非零向量乘以一个负数所得向量的方向与原向量相反，但不一定更短.故本选项错误；
D. 非零向量乘以一个负数所得向量与原向量方向相反.故本选项正确. 故答案是：D. 【点睛】
考查了平面向量的知识，属于基础题，掌握平面向量的性质和相关运算法则即可解题．
5．已知AM 是ABC △的边BC 上的中线，AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ，则AM u u u u r 等于（ ）．
A ．()
12
a b -r r
B ．()
12
b a -r r
C ．()
12
a b +r r
D ．()
12
a b -+r r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据向量加法的三角形法则求出：CB a b =-u u u r r
r ，然后根据中线的定义可得：
()
12
CM a b =-u u u u r r r ，再根据向量加法的三角形法则即可求出AM u u u u r .
【详解】
解：∵AB a =u u u r r
，AC b =u u u r r ∴CB AB AC a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r
∵AM 是ABC △的边BC 上的中线 ∴()
1122
CM CB a b ==-u u u u r u u u r r r
∴()()
1122
AM AC CM b b b a a -=+=+=+u u u u r u u u r u u u r r r u r r r
故选C.
【点睛】
此题考查的是向量加法和减法，掌握向量加法的三角形法则是解决此题的关键.
6．若点O 为平行四边形的中心，14AB m =u u u r
r
，26BC m =u u u r
r
，则2132m m -r r
等于（ ）． A ．AO u u u r
B ．BO uuu r
C ．CO uuu r
D ．DO u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则和平行四边形的性质逐一判断即可. 【详解】
解:∵在平行四边形ABCD 中, 14AB m =u u u r r ，26BC m =u u u r r
， ∴1246B m C AC AB m =+=+u u u r u u u r u u u r u u r u u r ,1246BD BA BC AC m m =+==-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u r u u r
,M 分别为AC 、BD 的中点,
∴122312
AO AC m m =+=u u u r u u u u u r r u u r
，故A 不符合题意；
211322
BO BD m m ==-u u u r u u u r u u r u u r
，故B 符合题意；
122312
CO AC m m ==---u u u r u u u
u u r r u u r ，故C 不符合题意；
121232
DO BD m m =-=-u u u r u u u
r u u r u u r ，故D 不符合题意.
故选B.
【点睛】
此题考查的是平行四边形的性质及向量的加、减法,掌握平行四边形的对角线互相平分和向量加法的平行四边形法则是解决此题的关键.
7．已知m 、n 是实数，则在下列命题中正确命题的个数是（ ）．
①0m <，0a ≠r r 时，ma r 与a r 的方向一定相反； ②0m ≠，0a ≠r r 时，ma r 与a r 是平行向量；
③0mn >，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相同； ④0mn <，0a ≠r r 时，ma r 与na r 的方向一定相反．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量关系的条件逐一判断即可. 【详解】
解：①因为0m <，1＞0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
的方向一定相反，故①正确； ②因为0m ≠，1≠0，0a ≠r
r
，所以ma r 与a r
是平行向量，故②正确；
③因为0mn >，0a ≠r
r
，所以m 和n 同号，所以ma r 与na r
的方向一定相同，故③正确； ④因为0mn <，0a ≠r
r
，所以m 和n 异号，所以ma r 与na r
的方向一定相反，故④正确． 故选D. 【点睛】
此题考查的是共线向量，掌握共线向量定理是解决此题的关键.
8．化简OP QP PS SP -++u u u r u u u r u u u r u u r
的结果等于（ ）．
A ．QP uuu r
B ．OQ uuu r
C ．SP u u r
D ．SQ u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量的加减法的法则化简即可. 【详解】
解：原式=+Q OP P PS SP ++u u u r u u u r u u u r u u r
=Q O uuu r ，
故选B. 【点睛】
本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，难度不大.
9．已知平行四边形ABCD ，O 为平面上任意一点.设=，
=，
=，
=，则
（ ） A ．+++= B ．-+-= C ．+--= D ．--+=
【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则，向量减法的几何意义，以及相反向量的概念即可找出正确选项． 【详解】
根据向量加法的平行四边形法则及向量减法的几何意义，即可判断A,C,D 错误；
；
而 ；
∴B 正确. 故选B. 【点睛】
此题考查向量加减混合运算及其几何意义，解题关键在于掌握运算法则.
10．下列条件中，不能判定a ∥b 的是（ ）． A ． //a c r r ,//b c r r
B ．||3||a b =r
r
C ． 5a b =-r r
D ．2a b =r r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据平面向量的性质进行逐一判定即可． 【详解】
解：A 、由//a c r r ,//b c r r 推知非零向量a r 、b r 、c r
的方向相同，则//a b r r ，故本选项不符合题
意．
B 、由||3||a b =r r
只能判定向量a r 、b r 的模之间的关系，不能判定向量a r 、b r 的方向是否相
同，故本选项符合题意．
C 、由5a b =-r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相反，则//a b r r
，故本选项不符合题意． D 、由2a b =r r 可以判定向量a r 、b r 的方向相同，则//a b r r
，故本选项不符合题意． 故选：B ． 【点睛】
本题考查的是向量中平行向量的定义，即方向相同或相反的非零向量a r 、b r
叫做平行向量．
11．如图，在ABC V 中，点D 是在边BC 上，且2BD CD =，AB a =u u u v v ,BC b =u u u
v v ，那么AD uuu v
等于（ ）
A ．a b +v v
B ．2233a b +v v
C ．23a b -v v
D ．23
a b +v v
【答案】D 【解析】 【分析】 根据2BD CD =，即可求出BD uuu v
，然后根据平面向量的三角形法则即可求出结论．
【详解】 解：∵2BD CD =
∴2233BD BC b ==u u u v u u u v v
∴23
AD AB BD a b =+=+u u u v u u u v u u u v v v
故选D ． 【点睛】
此题考查的是平面向量的加法，掌握平面向量的三角形法则是解决此题的关键．
12．化简()()AB CD BE DE -+-u u u r u u u r u u u r u u u r
的结果是（ ）．
A ．CA u u u r
B ．A
C u u u r
C ．0r
D ．A
E u u u r
【答案】B 【解析】 【分析】
根据三角形法则计算即可解决问题． 【详解】
解：原式()()AB BE CD DE =+-+u u u r u u u r u u u r u u u r
AE CE =-u u u r u u u r AE EC =+u u u r u u u r
AC =u u u r ，
故选：B ． 【点睛】
本题考查平面向量、三角形法则等知识，解题的关键是灵活运用三角形法则解决问题，属于中考基础题．
13．在矩形ABCD 中，下列结论中正确的是（ ）
A ．A
B CD =u u u r u u u r
B ．A
C B
D =uuu r uu u r
C ．AO O
D =u u u r u u u r
D ．BO OD =-u u u r u u u r
【答案】C 【解析】 【分析】
根据相等向量及向量长度的概念逐一进行判断即可． 【详解】
相等向量：长度相等且方向相同的两个向量 ． A. AB CD =-u u u r u u u r
，故该选项错误；
B. AC BD =u u u r u u u r
，但方向不同，故该选项错误；
C. 根据矩形的性质可知，对角线互相平分且相等，所以AO OD =u u u r u u u r
，故该选项正确； D. BO OD =u u u r u u u r
，故该选项错误；
故选：C ． 【点睛】
本题主要考查相等向量及向量的长度，掌握相等向量的概念是解题的关键．
14．下列说法不正确的是( ) A ．设e r
为单位向量，那么||1e =r
B ．已知a r
、b r
、c r 都是非零向量，如果2a c =r r
，4b c =-r
r ，那么//a b r
r
C ．四边形ABC
D 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，那么这个四边形一定是平行四
边形
D ．平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 【答案】C 【解析】 【分析】
根据单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定进行解答即可． 【详解】
解：A. 设e r
为单位向量，那么||1e =r
，此选项说法正确；
B. 已知a r
、b r
、c r 都是非零向量，如果2a c =r r
，4b c =-r
r ，那么//a b r
r
，此选项说法正确；
C. 四边形ABCD 中， 如果满足//AB CD ，||||AD BC =u u u r u u u r
，即AD=BC ，不能判定这个四边
形一定是平行四边形，此选项说法不正确；
D. 平面内任意一个非零向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解，此选项说法正确． 故选：C ． 【点睛】
本题考查的知识点是平面向量，掌握单位向量的定义、平行向量的定义以及平行四边形的判定方法是解此题的关键．
15．在下列关于向量的等式中，正确的是（ ） A ．AB BC CA =+u u u r u u u r u u u r
B ．AB B
C AC =-u u u r u u u r u u u r C ．AB CA BC =-u u u r u u u r u u u r
D ．0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据平面向量的线性运算逐项判断即可. 【详解】
AB AC CB =+u u u r u u u r u u u r
，故A 选项错误； AB AC BC =-u u u r u u u r u u u r
，故B 、C 选项错误； 0AB BC CA ++=u u u r u u u r u u u r r
，故D 选正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查向量的线性运算，熟练掌握运算法则是关键.
16．如图,在平行四边形ABCD 中，设AB a =r
r
,AD b =r r ，那么向量OC r
可以表示为. ( )
A．11
22
a b
+
r
r
B．
11
22
r
r
a b
-C ．
11
22
a b
-
+
r
r
D．
11
22
a b
--
r
r
【答案】A
【解析】
【分析】
利用平行四边形的性质以及平面向量的加法与减法运算法则解题即可.
【详解】
由题意可得
()()
11111
22222
OC AC AD AB a b a b
==+=+=+
r r
r r r r r r
【点睛】
本题主要考察平面向量的加法与减法运算，掌握平行四边形法则是解题的关键.
17．已知非零向量a
r
、b
r
和c
r
，下列条件中，不能判定a b
r r
P的是（）
A．2
a b
=-
r r
B．a c
=
r r
，3
b c
=
r r
C．2
a b c
+=
r r r
，a b c
-=-
r r r
D．2
a b
=
r r
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平行向量的定义，符号相同或相反的向量叫做平行向量对各选项分析判断利用排除法求
【详解】
A、2
a b
=-
r r
，两个向量方向相反，互相平行，故本选项错误；
B、a c
=
r r
，3
b c
=
r r
，则a
r
∥b
r
∥c
r
，故本选项错误；
C、由已知条件知2a b
=-
r r
，3a c
-=
r r
，则a
r
∥b
r
∥c
r
，故本选项错误；
D、2
a b
=
r r
只知道两向量模的数量关系，但是方向不一定相同或相反，a
r
与b
r
不一定平行，故本选项正确．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平面向量，主要是对平行向量的考查，熟记概念是解题的关键．
18．如图，在△ABC中，点D是在边BC上，且BD＝2CD，＝，＝，那么等于（）
A ．＝＋
B ．＝＋
C ．＝－
D ．＝＋
【答案】D 【解析】 【分析】
利用平面向量的加法即可解答. 【详解】 解：根据题意得
＝
,
＋ .
故选D. 【点睛】
本题考查平面向量的加法及其几何意义,涉及向量的数乘,属基础题.
19．已知向量a r
和b r
都是单位向量，那么下列等式成立的是（ ）
A ．a b =r r
B ．2a b +=r r
C ．0a b -=r r
D ．a b =r
r
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量a r 和b r 都是单位向量，，可知|a r
|＝|b r |＝1，由此即可判断．
【详解】
解：A 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则a b =r
r
不一定成立，故本选项错误．
B 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则2a b +=r
r
不一定成立，故本选项错误．
C 、向量a r
和b r
都是单位向量，但方向不一定相同，则0a b -=r
r
不一定成立，故本选项错误．
D 、向量a r
和b r
都是单位向量，则|a r
|＝|b r
|＝1，故本选项正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查平面向量、单位向量，属于概念题目，记住概念是解题的关键
20．下列各式不正确的是（ ）． A ．0a a -=r
r r
B ．a b b a +=+r r
r
r
C ．如果()0a k b k =⋅≠r r ，那么b r 与a r 平行
D ．如果a b =r r ，那么a b =r r
【答案】D
【解析】
【分析】
根据向量的定义是规定了方向和大小的量，向量的运算法则及实数与向量乘积的意义判断各选项即可．
【详解】
A.任意向量与它的相反向量的和都等于零向量，所以选项A 正确；
B.向量的加法符合交换律，即a b b a +=+r r r r
，所以选项B 正确； C.如果()0a k b k =≠r r g ，根据实数与向量乘积的意义可知：a r ∥b r ，所以选项C 正确；
D.两个向量相等必须满足两个条件：长度相等且方向相同，如果a b =r r ，但a r 与b r 方向不
同，则a b ≠r r ，所以D 选项错误.
故选D.
【点睛】
本题考查了向量的定义、运算及运算法则、实数与向量乘积的意义，明确定义及法则是解题的关键.。