湖南省衡阳县第一中学高三数学上学期第三次月考(期中)试题 理

衡阳县一中2016届高三第三次月考(期中)
数学试卷（理科）
时量：120分钟 分值：150分
注意事项：将答案用0.5毫米的黑色墨水签字笔直接答在答卷上每题对应的答题区域内,答在试题卷上无效。

一.选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U 是实数集R,M ＝{x|x 2
＞4},N ＝{x|x ≥3或x ＜1}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合 是( A )
A.{x|－2≤x ＜1}
B.{x|－2≤x ≤2}
C.{x|1＜x ≤2}
D.{x|x ＜2} 2.已知条件p ：|x +1|＞2，条件q ：5x ﹣6＞x 2
，则￢q 是￢p 的( B )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3.下列函数既是奇函数，又在区间[-1,1]上单调递减的是（ B ）．
A ．()sin f x x =
B ．2()ln 2x
f x x
-=+ C ．()|1|f x x =-+ D ．
1
()()2
x x f x e e -=-
4.(1+tan170)(1+tan280
)的值是( C )
A.2
B.3
C.2
D.5
5.已知3
(,0),sin ,25
π
αα∈-
=-，则cos()πα-的值为( A ) A. 4
5
- B . 54 C.53 D. －53
6.函数()||
x
xa f x x =,(a>1)的图象的大致形状是（ C ）
7.已知函数()2sin(2)3
f x x π
=+，
为了得到2cos 2y x =的图象，只要将)(x f 的图象( B ) A ．向右平移
12π个单位 B ．向左平移12π个单位 C ．向右平移6
π
个单位 D ．向左平移6
π
个单位
8.若6
0(4),0()2cos3,0x f x x f x tdt x π->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩
⎰，则f(2016)等于( D )
A. 2
B. 1
C.
D.
9.已知，其导函数
的图象如图所示，
则的值为（ B ） A.
B.
C.
D.
10.已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的可导函数，且满足0)()(<'+x f x x f ．若)2(2f a =，
)1(f b =，)1(--=f c ，则a ，b ，c 的大小关系是（ D ）
A ．c b a >>
B ．b c a >>
C ．c a b >>
D ．a b c >>
11.如图所示，已知D 是面积为1的ABC ∆的边AB 上中点，E 是边AC 上任一点，连结DE ，
F 是线段DE 上一点，连结BF ，设12,AE AC DF DE λλ==u u u r u u u r u u u r u u u r
，且121λλ+=，记BDF ∆的面积
为12(,)S f λλ=，则S 的最大值是（ D ） A ．12
B ．13
C ．
14
D ．18
12.已知函数()2f x x x a x =-+,若存在[]3,3a ∈-，使得关于x 的方程()()f x tf a =有三个不相等的实
数根，则实数t 的取值范围是( A ) A ．25(1,
)24 B ．95(,)84 C ．9(1,)8 D ．5(1,)4
二.填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.函数)12(log 2-=x
y 的定义域是 .()+∞,0
14.已知函数(),()f x x R ∈的图象上任意一点00(,)x y 处的切线方程为
0000(2)(1)()y y x x x x -=---，那么()f x 的单调减区间为 .（1,2）
15.对于函数,cos sin ,cos cos sin ,sin )(⎩
⎨
⎧<≥=x x x x
x x x f 有下列命题：
①该函数的值域是[－1，1]; ②当且仅当)(2
2Z k k x ∈+=π
π时，
该函数取得最大值1;
③当且仅当322()()02k x k k Z f x ππππ+<<+∈<时,; ④该函数是以π为最小正
周期的函数;
其中正确的命题序号为________________;③
16.f(x)是定义在D 上的函数，若存在区间[]D ⊆n m ，，使函数)(x f 在[]n m ，上的值域恰为[]kn km ，，则称函数)(x f 是k 型函数．给出下列说法： ①4
()3-
f x x
=不可能是k 型函数； ②若函数)0(1
)(2
2≠-+=a x a x a a x f ）（是1型函数，则n-m 的最大值为332； ③若函数x x x f +=2
2
1-)(是3型函数，则m=-4,n=0；
④设函数x x x x f ++=2
32)( (x ≤0)是k 型函数，则k 的最小值为．
其中正确的说法为 ．（填入所有正确说法的序号）②③
三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答必需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤. 17．（本小题满分12分）已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos α,sin α)，
其中3(,)22
ππα∈.
(1)若||||AC BC =u u u r u u u r
,求角α的值;
(2)若1,AC BC ⋅=-u u u r u u u r 求22sin sin 21tan ααα
++的值.
解：(1)
(cos 3,sin ),(cos sin 3),AC BC αααα=-=-u u u v u u u v
Q 、 …………2分
22(cos 3)sin 106cos ,106sin AC BC αααα
∴=-+-=-u u u v u u u v
…………4分
35sin cos ,(,).224AC BC ππααααπ
==∈∴=u u u v u u u v Q 由得又…………6分
(2)1(cos 3)cos sin (sin 3)1AC BC αααα⋅=--+⋅-=-u u u v u u u v
由，得 ………7分
2
sin cos 3αα∴+=①
……………8分
222sin sin 22sin 2sin cos 2sin cos sin 1tan 1cos ααααααα
ααα++⋅==⋅++
又 …………10分
由①式两边平方得
45
12sin cos ,2sin cos ,
99αααα+⋅=∴⋅=-
22sin sin 251tan 9ααα+∴=-+………12分
18.（本小题满分12
分）已知函数22
()cos sin sin f x x x x x ωωωω=-+⋅,
0,()f x ω>其中若相邻两条对称轴间的距离不小于
2
π. (1)求ω的取值范围及函数()x f 的单调递增区间； (2)在,3,3,,,,,,=+=∆c b a C B A c b a ABC 的对边分别是角中 ,最大时当ωf(A)=1,
求sinB ·sinC 的值.
解：（1
）22
()cos sin sin f x x x x x ωωωω=-+⋅ x x ωω2sin 32cos +=
)6
2sin(2π
ω+
=x ;……………3分
0>ωΘ，,22)(ω
π
ωπ==
∴T x f 的周期函数由题意可知,22,22πωππ≥≥即
T 解得}10|{,10≤<≤<ωωωω的取值范围是即。

………4分 由222,2
6
2k x k k Z π
π
π
πωπ-
≤+
≤+
∈得
,36k k x k Z π
πππω
ωωω
-
≤≤+∈ ()[,]()36k k f x k Z ππππ
ωωωω
∴-+∈的单调递增区间为……………6分
（2）由(1)可知ω的最大值为1，
)6
2sin(2)(π
+
=∴x x f ，1)(=A f Θ，2
1
)6
2sin(=
+
∴π
A ， 而
1326
6
6A π
π
π<+
<
，ππ6562=+∴A ，3
π
=∴A ，…………7分 由余弦定理知bc
a c
b A 2cos 222-+=，22
b c bc 3∴+-=，……………8分
又b+c=3联立解得2=bc ，……………9分
由正弦定理知2()sin sin sin b c a
R R ABC B C A ===∆为的外接圆半径，…10分
又2=sin sin 3
a R A = ∴sinB=22
b b R =, sinC=22
c c R =,…………11分
∴sinBsinC=1222
b c ⋅=………12分
19．（本小题满分12分）如图1，一条宽为1km 的两平行河岸有村庄A 和发电站C ，村庄B 与A ，C 的直线距离都是2km ，BC 与河岸垂直，垂足为D ．现要铺设电缆，从发电站C 向村庄A ，B 供电．已知铺设地下电缆、水下电缆的费用分别是2万元/km 、4万元/km ．
（1）如果村庄A 与B 之间原来铺设有旧电缆 (图1中线段AB 所示)，只需对其进行改造即可使用.已知旧电缆的改造费用是0.5万元/km ．现决定在线段AB 上找得一点F 建一配电站，分别向村庄A ，B 供电，使得在完整利用A ，B 之间旧电缆进行改造的前提下，并要求新铺设的水下电缆长度最短，试求该方案总施工费用的最小值，并确定点F 的位置；
（2）如图2，点E 在线段AD 上，且铺设电缆线路为CE ，EA ，EB ． 若(0)3
DCE π
θθ∠=≤≤
，试用θ表示出总施工费用y （万元）的解析式，并求y 的最小值。

解：（1）由已知得ABC V 为等边三角形，因为CD AD ⊥，所以水下电缆的最短线路为CD 过D 做DF AB ⊥于F ，可知地下电缆的最短线路为DF 又3
1,2CD DF AB ===，，故该方案的的总费用为314220.553⨯+⨯+⨯=+（万元），
此时点F 到点B 的距离为
1
2
km ……………………………4分 （2）因为(0)3
DCE π
θθ∠=≤≤，所以1cos CE EB θ==，tan ED θ=，3tan AE θ=-
则113sin 42(3tan )2223cos cos cos y θθθθθ
-=⨯+⨯+-⨯=⨯+(0)3π
θ≤≤……6分
令3sin ()cos g θ
θθ
-=，从而23sin 1'()cos g θθθ-=，
由于03πθ≤≤，所以30sin θ≤≤从而存在唯一的0(0,)3πθ∈，有01
sin 3
θ= …………8分
故当00θθ≤<时，'()0g θ<，()g θ递减，当03
π
θθ≤<
时，'()0g θ≥，()g θ递增，
故min 0()()22g g θθ==，即有4223y ≥+（万元）…………11分 因此施工总费用的最小值为4223+（万元）．…………12分 （3sin ()cos g θ
θθ
-=
数形结合相应给分）
20．（本小题满分12分）设函数1
()(2)ln 2(R)f x a x ax a x
=-++∈. (1)当0=a 时，求
)(x f 的极值； (2)当0<a 时，求)(x f 的单调区间.
解：(1)依题意，知()f x 的定义域为(0,)+∞. 当0a =时，1()2ln f x x x
=+ ，22
2121
()x f x x x x -'=
-=
.…………2分
令()0f x '=，解得1
2
x =
.…………3分 当1
02
x <<时，()0f x '<；当12x >时，()0f x '> . ………4分
又1()22ln 22f =-，所以()f x 的极小值为22ln 2-，无极大值 .……5分
(2)221()2a f x a x x
-'=
-+222(2)1ax a x x +--=
…………7分
当2a <-时，112a -<,令()0f x '<,得1x a <-或12x >;令()0f x '>,得112x a -<<； (9)
分
当20a -<<时，得112a ->，令()0f x '<，得102x <<或1x a >-，令()0f x '>，得112x a <<-；…
10分
当2a =-时，2
2
(21)()0x f x x
-'=-≤. ………………11分
综上所述，当2a <-时，()f x 的递减区间为11(0,),(,)2a -+∞；递增区间为11(,)2a -.
当2a =-时，()f x 在(0,)+∞单调递减.
当20a -<<时，()f x 的递减区间为11(0,),(,)2a
-+∞；递增区间为11(,)2a -.……12分
21.（本小题满分12分）已知函数1()ln 21x
f x x
=+-．
(1)求证：存在定点M ，使得函数f(x)图象上任意一点P 关于M 点对称的点Q 也在函数f(x)的图象上，并求出点M 的坐标； (2)定义1
1
121()()()()n n i i n S f f f f n n n n -=-=
=+++∑L ，其中*n N ∈且2n ≥，求2016S ； (3)对于(2)中的n S ，求证：对于任意*
n N ∈都有212
311ln ln n n S S n n
++->
-． 解：(1)显然函数定义域为（0，1）. 设点M 的坐标为（a, b ）， 则
由
221122()(2)ln ln 1ln 221212212x a x x ax
f x f a x b x a x x ax a
--++-=+++=+=--+-++- (2)
分
对于(0,1)x ∈恒成立，于是120,12.a b -=⎧⎨=⎩解得1
.2a b == ………………………3分
所以存在定点11
(,)22
M ，使得函数f (x )的图象上任意一点P 关于M 点对称的点Q 也在函数
f(x)的图象上. ……4分
(2)由（1）得()(1)1,f x f x +-= ∵1221
()()()()n n n S f f f f n n n n
--=++++L ……①
∴1221
(1)(1)()()n S f f f f n n n n
=-+-+++L ……②………………6分
①+②，得21n S n =-，∴*1
(2,)2
n n S n n -=
∈N ≥，故20162015.2S = ……8分 (3)当*n ∈N 时，由（2）知22111
ln ln ln ln(1)n n n n S S S S n
++++-==+，
于是212311ln ln n n S S n n ++->
-等价于23
111
ln(1).n n n +>- ……9分
令3
2
()ln(1)g x x x x =-++，则32
3(1)()1
x x g x x +-'=+，
∴当[0,)x ∈+∞时，()0g x '>，即函数()g x 在[0,)+∞上单调递增，又g (0)=0.
于是，当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0g x g >=，即32ln(1)0x x x -++>恒成立. …11分 故当(0,)x ∈+∞时，有23ln(1)x x x +>-成立，取1
(0,)x n =∈+∞，
则有23111
ln(1)n n n
+>-成立. ……12分
A
E
O
D
C
B
请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。

注意：只能做所选定的题目。

如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

22.(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O 的半径为 6，线段AB 与⊙O 相交于点C 、D ，=4AC ，BOD A ∠=∠，OB 与⊙O 相交于点E （1） 求BD 长；
（2）当CE ⊥OD 时，求证：AO AD =.
【解】（1）,OC OD =Q OCD ODC ∴∠=∠， …………1分
OCA ODB ∴∠=∠ ．∵BOD A ∠=∠，∴OBD AOC ∆∆:…………3分 ∴
AC OD
OC BD =，∵6,4OC OD AC === ， ∴4
6
6=BD ，∴9BD =． ……………5分 （2）证明：∵OC OE = ，CE OD ⊥．∴.COD BOD A ∠=∠=∠ ∴180180o
o
AOD A ODC COD OCD ADO ∠=-∠-∠=-∠-∠=∠
∴AD AO = ……………………10分 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
直线4,:(),:)124x a t l t C y t
πρθ=+⎧=+⎨=--⎩为参数圆（极轴与x 轴的非负半轴重合，且单
位长度相同）。

（1）求圆心C 到直线l 的距离； （2）若直线l 被圆C
a 求的值. 解（1）把⎩
⎨⎧--=+=t y t
a x 214化为普通方程为,022=-++a y x
把)4
cos(22π
θρ+=化为直角坐标系中的方程为,02222=+-+y x y x (4)
分
∴ 圆心(1,1)C -到直线的距离为
5
|
1|5a - …………… 5分
（2
所以，2
2
2
+= ……………8分
022=-∴a a ，02a a ==或 (10)
分
24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 已知函数()|||3|,f x x a x a =--+∈R ． （1）当1a =-时，解不等式()1f x ≤；
（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤，求a 的取值范围．
【解】（1）当1a =-时，不等式为131x x +-+≤ …………1分 当3x ≤-，不等式转化为(1)(3)21x x -+++=≤，不等式解集为空集； …………2分
当31x -<<-，不等式转化为(1)(3)1x x -+-+≤，解之得5
12
x -≤<-；…………3分
当1x ≥-时，不等式转化为(1)(3)21x x +-+=-≤，恒成立； …………4分 综上不等式的解集为5
[,)2
-+∞. …………5分
（2）若[0,3]x ∈时，()4f x ≤恒成立，即||7x a x -≤+， …………7分
亦即727a x -≤≤+恒成立， …………8分 又因为[0,3]x ∈，所以77a -≤≤， …………9分 所以a 的取值范围为[7,7]-. …………10分。