数学(北师大版)必修一教学设计：1-2集合的基本关系 含答案

教学设计
错误!
教学分析
课本从学生熟悉的集合(自然数的集合、有理数的集合等)出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时,结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等．
值得注意的问题：在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn 图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与 的区别．
三维目标
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想．
重点难点
教学重点:理解集合间包含与相等的含义．
教学难点：理解空集的含义．
课时安排
1课时
错误!
导入新课
思路1。

实数有相等、大小关系，如5＝5，5＜7,5＞3等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言，教师不要急于作出判断,而是继续引导学生）欲知谁正确，让我们一起来观察、研究．
思路2。

复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系．
填空:（1）0____N；(2)错误!____Q；(3）－1.5____R。

类比实数的大小关系，如5＜7，2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？
(答案：（1)∈；（2） ;（3）∈）
推进新课
错误!
错误!
错误!
③设集合C＝{x|x是有两条边相等的三角形}，D＝｛x｜x是等腰三角形}；
④集合E＝｛2，4，6｝，F＝｛6，4,2｝．
你能发现两个集合间有什么关系吗?
（2）例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集,两者有什么区别？
(3）结合例子④，类比实数中的结论：“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？
（4）升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？
(5)试用Venn图表示例子①中集合A和集合B。

(6)已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．
(7)与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？
活动：教师从以下方面引导学生：
（1)观察两个集合间元素的特点．
(2)从它们含有的元素间的关系来考虑．规定:如果A⊆B，但存在x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集,记作A B（或B A)．并规定:空集是任何集合的子集,即∅⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即∅A(A≠∅）．
(3）实数中的“≤”类比集合中的“⊆”．
(4）把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．
（5)封闭曲线可以是矩形，也可以是椭圆等等，没有限制．
（6)分类讨论：当A⊆B时，A B或A＝B。

（7）类比子集．
讨论结果：(1）①集合A中的元素都在集合B中;②集合A中的元素都在集合B中；③集合C中的元素都在集合D中；④集合E 中的元素都在集合F中．可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系：集合A中的元素都在集合B中，或集合B中的元素都在集合A 中．
（2）例子①中A⊆B，但有两个元素4∈B，5∈B，且4∉A，5∉A，而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同．
（3)若A⊆⊆B，且B⊆A，则A＝B.
（4)可以把集合中的元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．
（5）如图1所示表示例子①中的集合A，如图2所示表示集合
B.
图1 图2
(6）如图3和图4所示．
图3 图4
（7)若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；若A B,B C,则A C.
错误!
思路1
例1 某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合,B表示质量合格的产品的集合，C表示长度合格的产品的集合，则下列包含关系哪些成立？
A⊆B，B⊆A，A⊆C，C⊆A.
试用Venn图表示这三个集合的关系．
活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生以下两点：（1)质量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定质
量合格；
长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．
（2)根据集合A,B，C间的关系来画出Venn图．
解：包含关系成立的有:A⊆B，A⊆C。

三个集合的关系用Venn图表示,如图5所示．
图5
例2写出集合{0，1，2}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．
活动:学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集．按集合｛0，1，2}的子集所含元素的个数分类讨论．
解：{0，1，2}的所有子集是：∅；｛0｝，{1｝，｛2｝；｛0,1｝，{0,2}，{1,2}；{0，1,2｝．除了｛0,1，2｝以外，其余7个集合都是它的真子集。

变式训练
已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是( )．A．4 B．3
C．2 D．1
分析：集合P＝｛1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个,
又集合Q⊆P，所以集合Q有4个．
答案：A
点评:本题主要考查子集的概念以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．
思考：集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？多少个真子集？
解：当n＝0时，即空集的子集为∅，即子集的个数是1＝20；当n ＝1时，即含有一个元素的集合如｛a}的子集为∅,{a}，即子集的个数是2＝21;当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a,b｝的子集为∅,{a}，{b｝，{a，b}，即子集的个数是4＝22……
集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有(2n－1）个真子集。

思路2
1已知集合A＝｛－1,3,2m－1},集合B＝｛3，m2｝．若B⊆A,则实数m＝________。

活动：先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的
元素都属于集合A，再由集合元素的互异性，列出方程求实数m的值．因为B⊆A，所以3∈A，m2∈A。

对m2的值分类讨论．分析：∵B⊆A，
∴3∈A，m2∈A。

∴m2＝－1(舍去）或m2＝2m－1.
解得m＝1.
∴m＝1。

答案：1
点评：本题主要考查集合和子集的概念以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．
讨论两集合之间的关系时,通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式。

变式训练
已知集合M＝{x|2－x＜0｝，集合N＝{x｜ax＝1｝，若N M，求实数a的取值范围．
分析：集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合M＝｛x|x＞2｝≠∅，由于N M，则N＝∅或N≠∅，要对集合N是否为空集分类讨论．
解：由题意得M＝{x|x＞2｝≠∅.
当N＝∅时，关于x的方程ax＝1无解,则有a＝0；
当N≠∅时,关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝错误!。

又∵N M,∴错误!∈M。

∴错误!＞2。

∴0＜a＜错误!。

综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜错误!，
即实数a的取值范围是错误!。

例2分别写出下列集合的子集及其个数：
∅,｛a},｛a,b},{a，b，c｝．
活动：学生思考子集的含义，并试着写出子集．按子集中所含元素的个数分类写出子集．
答案：∅的子集有：∅，即∅有1个子集；
{a｝的子集有：∅，{a}，即｛a}有2个子集；
{a,b｝的子集有：∅，{a｝,｛b}，｛a，b},即｛a，b}有4个子集;
{a,b，c｝的子集有：∅,｛a｝，｛b}，{c}，｛a,b}，｛a，c}，｛b,c｝，｛a，b,c｝，即{a,b，c｝有8个子集.
变式训练
已知集合A｛2，3,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合
A有( ）．
A．3个B．4个
C．5个D．6个
分析：对集合A所含元素的个数分类讨论．
A＝∅或｛2}或{3｝或｛7｝或{2,3}或{2，7}共有6个．
答案：D
点评：本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合M中含有n个元素，则集合M有2n个子集，有2n－1个真子集，记住这个结论,可以提高解题速度．写一个集合的子集时,按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象。

错误!
1．判断正误:
(1)空集没有子集．（）
(2）空集是任何一个集合的真子集．（）
(3)任一集合必有两个或两个以上子集．( )
（4）若B⊆A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B。

（)分析:关于判断题应把握好概念的实质．
解:该题的4个命题，只有（4)是正确的，其余全错．
空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集，
所以（1)(2)错误．
空集只有自身一个子集，
所以(3）错误．
对于(4)来讲,当x∈B时必有x∈A，则x∉A时也必有x∉B。

2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z｝，写出集合A的真子集．
分析：区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集,一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1个,则该题先找该集合元素，后找真子集．
解：因－1＜x＜3,x∈Z，故x＝0，1，2,
即A＝｛x｜－1＜x＜3,x∈Z｝＝{0，1,2｝．
其真子集有∅，｛1｝，{2},｛0｝，｛0，1}，｛0,2｝，｛1,2}，共7个．3．(1)下列命题正确的是( ）．
A．无限集的真子集是有限集
B．任何一个集合必定有两个子集
C．自然数集是整数集的真子集
D．｛1}是质数集的真子集
(2）以下五个式子中，错误的个数为( ）．
①{1｝∈｛0,1，2} ②{1，－3}＝｛－3,1｝③{0，1，2｝⊆｛1，0，2｝④∅∈｛0，1,2｝⑤∅∈{0}
A．5 B．2 C．3 D．4
（3)集合M＝｛x|3＜x＜4}，a＝π,则下列关系正确的是（)．A．a M B．a∉M C．｛a}∈M D．｛a｝M
分析：(1）该题要在四个选项中找到符合条件的选项，必须对概念把握准确，无限集的真子集有可能是无限集，如N是R的真子集，排除A；由于∅只有一个子集，即它本身，排除B;由于1不是质数，排除D.
（2)该题涉及到的是元素与集合、集合与集合的关系．
①应是｛1}⊆｛0，1，2},④应是∅⊆{0,1，2}，⑤应是∅⊆{0｝．
故错误的有①④⑤.
(3)M＝｛x｜3＜x＜4｝，a＝π.
因3＜a＜4，故a是M的一个元素．
{a｝是｛x｜3＜x＜4}的真子集，那么{a}M.
答案：（1）C （2）C (3)D
4．判断下列集合A与B之间有怎样的包含或相等关系．
(1）A＝｛x|x＝2k－1,k∈Z｝，B＝{x｜x＝2m＋1，m∈Z}；
（2）A＝｛x｜x＝2m，m∈Z｝,B＝｛x|x＝4n，n∈Z}．
解：（1)因A＝{x｜x＝2k－1，k∈Z｝，B＝｛x｜x＝2m＋1，m ∈Z｝,故A，B都是由奇数构成的集合,即A＝B。

（2)因A＝{x|x＝2m，m∈Z｝,B＝{x|x＝4n，n∈Z},
又x＝4n＝2·2n,
在x＝2m中，m可以取奇数，也可以取偶数；
而在x＝4n中，2n只能是偶数．
故集合A，B的元素都是偶数，但B中元素是由A中部分元素构成,则有B A.
点评：此题是集合中较抽象的题目，要注意其元素的合理寻求．5．已知集合P＝｛x|x2＋x－6＝0｝，Q＝{x｜ax＋1＝0｝满足Q P,求a所取的一切值．
解：因P＝｛x|x2＋x－6＝0｝＝｛2，－3}，
当a＝0时,Q＝{x|ax＋1＝0}＝∅，Q P成立．
又当a≠0时，Q＝{x｜ax＋1＝0｝＝错误!，
要使Q P成立，则有－错误!＝2或－错误!＝－3,即a＝－错误!或a ＝错误!。

综上所述，a＝0或a＝－错误!或a＝错误!.
点评：这类题目给的条件中含有字母，一般需分类讨论．本题易漏掉a＝0时ax＋1＝0无解，即Q为空集的情况．而当Q＝∅时,满足Q P。

6．已知集合A＝｛x∈R｜x2－3x＋4＝0}，B＝{x∈R｜（x＋1)(x2
＋3x－4)＝0}，A P⊆B,求集合P。

解：由A＝｛x∈R|x2－3x＋4＝0}＝∅，
B＝{x∈R｜（x＋1)(x2＋3x－4）＝0}＝｛－1,1,－4}，
由A P⊆B知集合P非空，且其元素全属于B,即有满足条件的集合P为
｛1｝或{－1｝或{－4｝或｛－1,1}或{－1，－4｝或｛1,－4｝或{－1，1,－4}．
点评：要解决该题，必须确定满足条件的集合P的元素，而做到这点，必须明确A,B，充分把握子集、真子集的概念，准确化简集合是解决问题的首要条件．
7．集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，
（1)若B⊆A，求实数m的取值范围；
(2）当x∈Z时，求A的非空真子集个数;
（3）当x∈R时，没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,求实数m的取值范围．
解：（1)当m＋1＞2m－1即m＜2时，B＝∅满足B⊆A.
当m＋1≤2m－1即m≥2时，要使B⊆A成立,需错误!可得2≤m≤3。

综上所得，实数m的取值范围为m≤3.
（2）当x∈Z时, A＝｛－2，－1,0，1，2,3,4,5｝，
∴A的非空真子集个数为28－2＝254.
(3)∵x∈R，且A＝{x｜－2≤x≤5｝,B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，又没有元素x使x∈A与x∈B同时成立,
则①若B＝∅即m＋1＞2m－1，得m＜2时满足条件；
②若B≠∅，则要满足条件有错误!或错误!解之,得m＞4.
综上，有m＜2或m＞4.
点评:此问题解决要注意：不应忽略∅；找A中的元素；分类讨论思想的运用．
错误!
问题：已知A⊆B，且A⊆C，B＝{0,1,2，3,4},C＝｛0，2，4，8},则满足上述条件的集合A共有多少个？
活动：学生思考A⊆B，且A⊆C所表达的含义．A⊆B说明集合A是集合B的子集，即集合A中元素属于集合B，同理有集合A中元素属于集合C。

因此集合A中的元素是集合B和集合C的公共元素．
思路1:写出由集合B和集合C的公共元素所组成的集合,得满足条件的集合A;
思路2：分析题意，仅求满足条件的集合A的个数，转化为求
集合B和集合C的公共元素所组成的集合的子集个数．解法一：因A⊆B，A⊆C，B＝｛0，1,2,3,4}，C＝{0，2，4,8｝,由此，满足A⊆B，有∅，｛0｝,{1｝,｛2}，{3}，｛4}，{0，1}，{0,2｝，{2，3｝，｛2,4},｛0,3｝，｛0，4},｛1,2}，｛1,3｝，｛1，4｝,｛3,4}，｛0，2，4}，｛0,1,2},{0,1，3｝，｛0，1，4｝，{1，2,3}，{1，2，4}，{2,3,4｝,{0,3，4｝,｛0,1,2，3}，｛1,2，3,4｝,｛0，1，3,4｝，{0,2，3},｛1,3,4}，｛0，1,2,4｝，｛0，2，3,4}，{0,1，2,3，4｝，共25＝32（个）．
又满足A⊆C的集合A有∅，｛0｝，｛2｝，{4｝，{8｝，｛0，2},｛0，4}，{0，8}，｛2，4}，｛2，8｝，｛4,8},{0,2,4｝,{0,2,8｝，｛0，4,8}，{2，4，8},{0,2,4，8｝，共24＝16（个)．
其中同时满足A⊆B，A⊆C的有8个,即∅，{0}，{2｝，{4｝，{0,2}，{0，4}，{2,4｝，{0，2，4}，实际上到此就可看出,上述解法太烦琐．解法二：题目只求集合A的个数,而未让说明集合A的具体元素，故可将问题等价转化为B，C的公共元素组成集合的子集数是多少．显然公共元素有0,2，4，组成集合的子集有23＝8(个)．点评:有关集合间关系的问题，常用分类讨论的思想来解决；关于集合的子集个数的结论要熟练掌握，其应用非常广泛．错误!
本节课学习了:
（1)子集、真子集、空集、Venn图等概念；
(2)能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集；
（3)清楚两个集合包含关系的确定，主要靠其元素与集合关系来说明．
错误!
习题1-2 A组5.
错误!
本节教学设计注重引导学生通过类比来获得新知，在实际教学中,要留给学生适当的思考时间,使学生自己通过类比得到正确结论．丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，学生的数学学习活动不能仅限于对概念、结论和技能的记忆、模仿和接受，独立思考、自主探索、合作交流、阅读自学等都应成为学生学习数学的重要方式．
错误!
[备选例题]
【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，问集合A,B，C，D，E 分别是哪种图形的集合？
图6
思路分析：结合Venn图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定．
解：梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形，故A＝｛四边形}；梯形不是平行四边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形，故B＝{梯形},C＝｛平行四边形}；正方形是菱形,故E＝{正方形｝，即A＝｛四边形}，B＝｛梯形}，C＝｛平行四边形}，D ＝{菱形}，E＝｛正方形｝．
【例2】设集合A＝{x｜|x｜2－3|x|＋2＝0｝,B＝｛x|(a－2)x ＝2｝,则满足B A的a的值共有( ）．
A．2个B．3个
C．4个D．5个
分析：由已知得A＝{x||x｜＝1或|x|＝2}＝｛－2，－1,1,2｝,集合B是关于x的方程（a－2)x＝2的解集,
∵B A，
∴B＝∅或B≠∅.
当B＝∅时，关于x的方程(a－2）x＝2无解，∴a－2＝0。

∴a＝2。

当B≠∅时，a≠2,则关于x的方程(a－2)x＝2的解为x＝错误!∈A，∴错误!＝－2或错误!＝－1或错误!＝1或错误!＝2。

解得a＝1或0或4或3，综上所得，a的值共有5个．
答案:D
【例3】集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（）．
A．16 B．8
C．7 D．4
分析：A＝｛x|0≤x＜3且x∈N｝＝｛0,1,2｝，则A的真子集有23－1＝7个．
答案:C
【例4】已知集合A＝{x|1≤x≤3｝，B＝｛x|(x－1）（x－a)＝0}，试判断集合B是不是集合A的子集？是否存在实数a使A＝B 成立？
解析：先在数轴上表示集合A,然后化简集合B,由集合元素的互异性，可知此时应考虑a的取值是否为1，要使集合B成为集合A 的子集,集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段
上，从而确定a的分类标准．
当a＝1时，B＝｛1},此时B是A的子集；当1＜a≤3时，B也是A的子集；当a＜1或a＞3时,B不是A的子集．综上可知，当1≤a≤3时，B是A的子集．
由于集合B最多只有两个元素，而集合A有无数个元素，故不存在实数a，使B＝A。

点评：分类讨论思想，就是科学合理地划分类别，通过“各个击破”，再整体解决（即先化整为零，再聚零为整）的策略思想．类别的划分必须满足互斥、无漏、最简的要求,探索划分的数量界限是分类讨论的关键．
[思考］
(1)空集中没有元素，为什么空集是集合？
（2)符号“∈”和“ ”有什么区别？
剖析：（1）疑点是总是对空集这个概念迷惑不解,并产生怀疑的想法．产生这种想法的原因是没有了解建立空集这个概念的背景，其突破方法是通过实例来体会．例如，根据集合元素的性质，方程的解能够组成集合，这个集合叫作方程的解集．对于错误!＝0，x2＋4＝0等方程来说，在实数范围内，它们的解集中没有元素．也就是说确实存在没有任何元素的集合，那么如何用数学符号来刻画没有
学必求其心得，业必贵于专精
元素的集合呢?为此引进了空集的概念,把不含任何元素的集合叫作空集．这就是建立空集这个概念的背景．由此看出，空集的概念是一个规定．又例如，不等式｜x｜＜0的解集也是不含任何元素,就称不等式|x｜＜0的解集是空集．
（2)难点是经常把这两个符号混淆，其突破方法是准确把握这两个符号的含义及其应用范围,并加以对比．符号“∈”只能适用于元素与集合之间，其左边只能写元素，其右边只能写集合,说明左边的元素属于右边的集合，表示元素与集合之间的关系，如－1∈Z,错误!∉Z；符号“⊆”只能适用于集合与集合之间,其左右两边都必须写集合,说明左边的集合是右边集合的子集，表示集合与集合之间的关系,如{1｝⊆｛1,0｝,∅⊆｛x｜x＜0}．。