高考数学(人教A版文科)一轮复习课时跟踪检测53 Word版含解析

课时跟踪检测(五十三)
[高考基础题型得分练]
1．设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦
⎥⎤－12，12 B.[－2,2] C ．[－1,1] D.[－4,4]
答案：C
2．已知P 为双曲线C ：x 29－y 216＝1上的点，点M 满足|OM →|＝1，且OM →·PM →＝0，则当|PM →|取得最小值时点P 到双曲线C 的渐近线的距离为( )
A.95
B.125 C ．4 D.5
答案：B
解析：由OM →·PM
→＝0，得OM ⊥PM . 根据勾股定理，求|MP |的最小值可以转化为求|OP |的最小值，当|OP |取得最小值时，点P 的位置为双曲线的顶点(±3,0)，而双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0，∴所求的距离d ＝12
5，故选B.
3．若双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y ＝x 2＋2有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是( )
A ．[3，＋∞) B.(3，＋∞) C ．(1,3]
D.(1,3)
答案：A
解析：依题意可知双曲线渐近线方程为y ＝±b
a x ，与抛物线方程联立消去y ，得
x 2
±b a x ＋2＝0.
∵渐近线与抛物线有交点， ∴Δ＝b 2
a 2－8≥0，求得
b 2≥8a 2， ∴
c ＝
a 2＋
b 2≥3a ，∴e ＝c
a ≥3.
4．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2
＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( )
A ．0 B.2 C ．4 D.－2
答案：D
解析：根据题意可知，当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大．
这时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴PF 1→＝(－3，－1)，PF 2→＝(3，－1)， ∴PF 1→·PF 2→＝－2.
5．[2017·河南八市重点高中质量检测]已知椭圆x 24＋y 2
3＝1，左、
右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且斜率不为0的直线l 交椭圆于A ，B 两点，则|BF 2|·|AF 2|的最大值为( )
A ．3 B.6
C ．4 D.25
4 答案：D
解析：由题意知a ＝2，c 2＝a 2－b 2＝4－3＝1，则F 1(－1,0)，当且仅当AB ⊥x 轴时，|AB |取得最小值，为2×3
2＝3.由椭圆的定义可知，|BF 2|＋|AF 2|＋|AB |＝4a ＝8，则|BF 2|＋|AF 2|的最大值为8－3＝5，由基
本不等式可得|BF 2|·|AF 2|≤⎝
⎛⎭
⎪⎪⎫|BF 2|＋|AF 2|22＝254，当且仅当|BF 2|＝|AF 2|＝5
2时等号成立，故选D.
6．若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 2
8＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任一点，则OP →·FP
→的最小值为________． 答案：6
解析：点P 为椭圆x 29＋y 2
8＝1上的任意一点， 设P (x ，y )(－3≤x ≤3，－22≤y ≤22)， 依题意得左焦点F (－1,0)， ∴OP
→＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )， ∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋72－8x 2
9
＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922＋234. ∵－3≤x ≤3， ∴32≤x ＋92≤152， ∴94≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤2254，
∴14≤19⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋922≤254，
∴6≤19⎝
⎛⎭
⎪⎫x ＋922＋23
4≤12，
即6≤OP →·FP
→≤12.故最小值为6. 7．已知椭圆C 1：x 2m ＋2－y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m ＋y 2
n ＝1有相同的
焦点，则椭圆C 1的离心率e 1的取值范围为________．
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫
22，1
解析：∵椭圆C 1：x 2
m ＋2
－y 2
n ＝1，
∴a 21＝m ＋2，b 21＝－n ，c 21＝m ＋2＋n ，
e 21＝
m ＋2＋n m ＋2＝1＋n
m ＋2
. ∵双曲线C 2：x 2m ＋y 2
n ＝1，
∴a 22＝m ，b 22＝－n ，c 22＝m －n ，
∴由条件有m ＋2＋n ＝m －n ，则n ＝－1，
∴e 21＝1－
1
m ＋2
.
由m >0得m ＋2>2，1
m ＋2<1
2，
－1
m ＋2
>－1
2， ∴1－1m ＋1>12，即e 21>12，而0<e 1<1， ∴2
2<e 1<1.
8．[2017·湖南桃江第一中学第三次月考]椭圆M ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆M 上任意一点，且PF 1→·PF 2→的最大值的取值范围是[
c 2,3c 2]，其中c ＝a 2－b 2，则椭圆离心率e 的取值范围是________．
答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤12
，22
解析：F 1(－c,0)，F 2(c,0)，
设P (x ，y )，则PF 1→＝(－c －x ，－y )， PF 2
→＝(c －x ，－y )， PF 1→·PF 2→＝(－c －x ，－y )·(c －x ，－y ) ＝x 2
＋y 2
－c 2
＝y 2
＋a 2
－a 2y 2b 2－c 2
＝－c 2y 2b 2＋a 2－c 2
，
当且仅当y ＝0时，PF 1→·PF 2→取最大值a 2－c 2，
由c 2≤a 2－c 2≤3c 2，得2c 2≤a 2≤4c 2， ∴14≤e 2≤12，∴12≤e ≤2
2.
9．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线y 2＝4x 上相异两点，且满足x 1＋x 2＝2.
(1)若AB 的中垂线经过点P (0,2)，求直线AB 的方程；
(2)若AB 的中垂线交x 轴于点M ，求△AMB 的面积的最大值及此时直线AB 的方程．
解：(1)当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意， 所以可设直线AB 的方程为y ＝kx ＋b ， 代入方程y 2＝4x ，
得k 2x 2＋(2kb －4)x ＋b 2＝0， ∴x 1＋x 2＝4－2kb k 2＝2，得b ＝2
k －k ， ∴直线AB 的方程为y ＝k (x －1)＋2
k . ∵AB 中点的横坐标为1， ∴AB 中点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2k ， ∴AB 的中垂线方程为 y ＝－1k (x －1)＋2k ＝－1k x ＋3
k . ∵AB 的中垂线经过点P (0,2)， 故3k ＝2，得k ＝32，
∴直线AB 的方程为y ＝32x －1
6.
(2)由(1)可知AB 的中垂线方程为 y ＝－1k x ＋3k ，
∴点M 的坐标为(3,0)，
∵直线AB 的方程为k 2x －ky ＋2－k 2＝0，
∴M 到直线AB 的距离d ＝|3k 2＋2－k 2|k 4＋k 2
＝2k 2＋1
|k |，
由⎩⎪⎨⎪⎧
k 2x －ky ＋2－k 2＝0，y 2＝4x ，
得 k 24
y 2－ky ＋2－k 2＝0， y 1＋y 2＝4
k ，y 1y 2＝8－4k 2k 2， |AB |＝
1＋1
k 2|y 1－y 2|
＝41＋k 2·k 2－1k 2. ∴S △MAB ＝4⎝ ⎛
⎭⎪⎫1＋1k 2·
1－1
k 2.
设
1－1
k 2＝t ，则0<t <1，
S ＝4t (2－t 2)＝－4t 3＋8t ，S ′＝－12t 2＋8， 由S ′＝0，得t ＝6
3， 即k ＝±3时，S max ＝166
9，
此时直线AB 的方程为3x ±3y －1＝0.
[冲刺名校能力提升练]
1．已知中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆过点P (2，3)，
且它的离心率e ＝1
2
.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线l ：y ＝kx ＋t 交椭圆于M ，N 两点，若椭圆上一点C 满足OM
→＋ON →＝λOC →，求实数λ的取值范围． 解：(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)，
由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧
4a 2＋3
b 2＝1，
c a ＝1
2，c 2
＝a 2
－b 2
，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝8，
b 2＝6，
所以椭圆的标准方程为x 28＋y 2
6＝1.
(2)因为直线l ：y ＝kx ＋t 与圆(x －1)2＋y 2＝1相切， 所以|t ＋k |1＋k 2＝1⇒2k ＝1－t 2
t (t ≠0)， 把y ＝kx ＋t 代入x 28＋y 2
6＝1并整理得， (3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋(4t 2－24)＝0， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则有x 1＋x 2＝－8kt
3＋4k 2
，
y 1＋y 2＝kx 1＋t ＋kx 2＋t ＝k (x 1＋x 2)＋2t ＝6t
3＋4k 2，
因为λOC →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2
)， 所以C ⎝
⎛⎭⎪⎫－8kt (3＋4k 2)λ，6t (3＋4k 2)λ， 又因为点C 在椭圆上， 所以8k 2t 2(3＋4k 2)2λ2＋6t 2(3＋4k 2)2λ2
＝1
⇒λ2＝2t 23＋4k 2＝2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t 22＋1
t 2＋1
，
因为t 2
>0，所以⎝ ⎛⎭
⎪⎫1t 22＋1
t 2＋1>1，
所以0<λ2<2，
所以λ的取值范围为(－2，0)∪(0，2)．
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 2(3,0)，离心率为e . (1)若e ＝3
2，求椭圆的方程；
(2)设直线y ＝kx 与椭圆相交于A ，B 两点，若AF 2→·BF 2→＝0，且22<e ≤3
2，求k 的取值范围．
解：(1)由焦点F 2(3,0)，知c ＝3. 又e ＝32＝c
a ，所以a ＝2 3. 又由a 2＝
b 2＋
c 2，解得b 2＝3. 所以椭圆的方程为x 212＋y 2
3＝1.
(2)由⎩⎨⎧
y ＝kx ，x 2a 2＋y 2
b 2＝1，
得(b 2＋a 2k 2)x 2－a 2b 2＝0.
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系可知， x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－a 2b 2
b 2＋a 2k
2.
又AF 2→＝(3－x 1，－y 1)，BF 2→＝(3－x 2，－y 2)， 所以AF 2→·BF 2→＝(3－x 1)(3－x 2)＋y 1y 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋9＝0， 即－a 2(a 2－9)(1＋k 2)a 2k 2＋(a 2－9)
＋9＝0，
整理得k 2＝a 4－18a 2＋81－a 4＋18a 2＝－1－81
a 4－18a 2
.
由22<e ≤3
2及c ＝3， 知23≤a <32，则12≤a 2<18.
所以a 4－18a 2＝(a 2－9)2－81∈[－72,0)， 所以k 2
≥18，则k ≥24或k ≤－2
4，
因此实数k 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－24∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫2
4，＋∞.
3．如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝2
2，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.
(1)求该椭圆的标准方程；
(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．
解：(1)由题意知点A (－c,2)在椭圆上，
则(－c )2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1.
由e ＝22得b 2＝41－e 2
＝8， 从而a 2
＝b 2
1－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 2
8＝1.
(2)由题意，可设Q (x 0,0)．
又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则
|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2
＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8⎝ ⎛⎭
⎪⎫1－x 2
16＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])． 设P (x 1，y 1)，由题意知，P 点是椭圆上到点Q 的距离最小的点， 因此，上式当x ＝x 1时取最小值，
又因为x 1∈(－4,4)，且上式当x ＝2x 0时取最小值，
从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.
由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|，
所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|
＝12×28⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2
116|x 0| ＝ 2·(4－x 20)x 20＝2·－(x 20－2)2＋4.
当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取到最大值2 2.
此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，
因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为
(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.。