2017年高考数学(文)一轮复习讲练测 专题9.6 双曲线 (讲) 含解析

一、【课前小测摸底细】
1.【课本典型习题,P55第3题】已知方程
22
=121
x y m m -++表示双曲线，求m 的取值范围．
【答案】{2m m <-，或}1m >-．
【解析】由双曲线的定义得，2)(1)0m m ++>(，则2m <-或1m >-，所以m 的取值范围为{2m m <-，或}1m >-． 2.【2016高考山东理数】已知双曲线
E ：22
221x y a b -=
(a ＞0，b ＞0），若
矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3｜BC ｜,则E 的离心率是_______. 【答案】2
3.
【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四）】已知)2,1(A ,)2,1(-B ,
动点P 满足BP AP ⊥，若双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的渐近线与动点P 的轨迹
没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 。

【答案】()1,2
4。

【基础经典试题】已知双曲线
)
0,0(12
22
2>>=-
b a b
y a
x 的左焦点为F 1，左、
右顶点分别为A 1、A 2，P 为双曲线上任意一点,则分别以线段PF 1，A 1A 2为直径的两个圆的位置关系为( ） A ．相交 B ．相切
C ．相离
D ．以上情况都有
可能
【答案】B
5。

若实数k 满足09k <<,则曲线221259x y k -
=-与曲线22
1259
x y k -=-的 。

【答案】焦距相等 【解析】
09k <<，则90k ->，250k ->，
双曲线22
1259x y k
-
=-的实半轴长为59k -
()2259234k k
+-=-，离心率为
345
k -，双曲线
22
1259
x y k -=-的实半轴长为25k -,虚半轴长为9，焦距为()2
2592
34k k
-+=-，离心率为
3425k k
--，
因此，两双曲线的焦距相等。

二、【考点深度剖析】
纵观近几年的高考试题，高考对双曲线的考查,主要考查以下几个方面：一是考查双曲线的标准方程，结合双曲线的定义及双曲线基本量之间的关系，利用待定系数法求解；二是考查双曲线的几何性质,较多地考查离心率、渐近线问题；三是考查直线与双曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等。

一般地，命题以小题为主，多为选择题或填空题，解答题较少. 三、【经典例题精析】
考点1 双曲线的定义及标准方程
【1—1】双曲线的焦点为()()60,6,0-,且经过点()6,5-A ，则其标准方程为（ ）
A ．22
11620
x y -=
B ．22
11620
y x -=
C ．22
12016
y x -=
D ．22
1459
y x -=
【答案】B
【1-2】已知F 1，F 2为双曲线错误!－错误!＝1的左、右焦点，P （3,1)为双曲线内一点，点A 在双曲线上，则｜AP ｜＋|AF 2|的最小值为
（ ) A.错误!＋4 B 。

错误!－4 C 。

错误!－2错误! D 。

错误!＋2错误!
【答案】C
【综合点评】
1。

双曲线的轨迹类型是12122(2a )PF PF a F F -=<;2．双曲线标准方程的求
解方法是”待定系数法”，“先定型,后计算”．
【课本回眸】 1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线 (1）在平面内；
(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值； （3）这一定值一定要小于两定点的距离． 2．双曲线的标准方程
标准方程 错误!
－错误!＝1(a >0，
b >0） 错误!
－错误!＝1(a 〉
0,b >0）
图形
【方法规律技巧】
1。

待定系数法求双曲线方程的常用方法
（1）与双曲线错误!－错误!＝1共渐近线的可设为错误!－错误!＝λ(λ≠0）； (2)若渐近线方程为y ＝±错误!x ，则可设为错误!－错误!＝λ(λ≠0）； (3)若过两个已知点则设为错误!＋错误!＝1（mn 〈0)． 2．应用双曲线的定义需注意的问题：
在双曲线的定义中要注意双曲线上的点（动点）具备的几何条件，即“到两定点(焦点）的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点的距离”．若定义中的“绝对值"去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时注意定义的转化应用．
3．求双曲线方程时一是标准形式判断；二是注意a 、b 、c 的关系易错易混．
【新题变式探究】
【变式一】已知12,F F 为双曲线2
2
:13
y C x -=的左、右焦点，点
P 在C 上，
12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠= 。

【答案】14
【解析】
由已知有1,2a b c ==，1212||||2
||2||PF PF PF PF +=⎧⎨=⎩，解得12||4||2
PF PF =⎧⎨
=⎩，则在12PF F ∆中，12
||24F F c ==，则1
2
164161
cos 2424
F PF
+-∠=
=⨯⨯.
【变式二】已知双曲线22
:1916
x y C -=的左、右焦点分别为12,F F ，P 为C 的
右支上一点，且2
12
PF F F =，则12
PF F ∆的面积等于___________．
【答案】48 【解析】
【综合点评】
1、在焦点三角形中，注意双曲线的定义和正弦定理、余弦定理交汇解题；
2、求双曲线方程需要两个独立条件． 考点2 双曲线的简单几何性质 【2—1】【2016高考新课标1
卷】已知方程22
2213x y m n m n
-=+-表示双曲线,
且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ） (A ）()1,3- （B ）(3- （C)()0,3 (D ）(3 【答案】A 【解析】22
2213x y m n m n
-=+-表示双曲线，则()()2
230m
n m n +->
∴2
2
3m
n m -<<,由双曲线性质知：()()2
2
22
34c m
n m n m =++-=，其中c 是半焦距
∴焦距2224c m =⋅=，解得1m =,∴13n -<<,故选A ． 【2-2】已知
F 2、F 1是双曲线2
2
y a
-22x b
=1(a 〉0，b>0)的上、下焦点，点
F 2关于渐近线的对称点恰好
落在以F 1为圆心，|OF 1|为半径的圆上，则双曲线的离心率为（ ) A ．3 B 3 C ．2 D 2【答案】C
【2-3】斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的右焦点，且与双
曲线的左右两支都相交，则双曲线的离心率e 的取值范围是 ( ） A.)2,
(-∞
B.)3,1( C 。

)5,1( D 。

),5(+∞
【答案】D
【解析】如图,要使斜率为2的直线l 过双曲线)0,0(1:22
22>>=-b a b
y a x C 的右焦
点，且与双曲线的左右两支都相交，必须且只需2>a
b
即可,从而有54422
2
2
2
2
2
>⇔>-⇔>a
c a a c a b 所以有离心率5>e ,故选
D.
【综合点评】
1．已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分m ＝b
a
或m ＝错误!
讨论，求离心率值，需要寻求a,b,c 的等式,求离心率取值范围，需寻求关于a,b,c 的不等式关系,并结合2
22c
a b =+求．
2．注意数形结合思想在处理渐近线夹角，离心率范围求法中的应用．
【课本回眸】
双曲线的几何性质
标准方程错误!－错误!＝1（a>0，
b>0）
错误!－错误!＝1（a〉0,b〉
0）
图形
性质范
围
x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对
称
性
对称轴：坐标轴对称中心：原点
顶
点
A1(－a,0），A2(a,0）A1（0，－a),A2(0，a）渐
近
线
y＝±错误!x y＝±错误!x
离e＝错误!，e∈(1,＋∞），其中c＝错误!
【方法规律技巧】1．双曲线的标准方程中对a、b的要求只是a＞0，b＞0易误认为与椭圆标准方程中a，b的要求相同．
若a＞b＞0，则双曲线的离心率e∈(1，错误!)；
若a＝b＞0,则双曲线的离心率e＝错误!；
若0＜a＜b，则双曲线的离心率e＞2。

2．注意区分双曲线中的a,b，c大小关系与椭圆a、b、c关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2。

3．等轴双曲线的离心率与渐近线关系
双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e＝错误!⇔双曲线的两条渐近线互相垂直（位置关系）．
4．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b
5．渐近线与离心率
错误!
－错误!＝1(a >0，b 〉0)的一条渐近线的斜率为错误!＝ 错误!＝ 错误!＝错误!。

可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口
的大小．
【新题变式探究】
【变式1】【2016高考新课标2
理数】已知12,F F 是双曲线22
22:1x y E a b
-=的
左,右焦点，点M 在E 上,1
MF 与x 轴垂直,21
1sin 3
MF F ∠=，则E 的离心率为（ ）
（A)2
（B ）3
2
（C)
3
(D)2
【答案】A
【变式2】已知双曲线的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一条渐近线与x 轴的夹角为α，且4
π〈α〈3
π，则双曲线的离心率的取值范围
是________． 【答案】22)
【解析】由题意得tanα＝b a
,∴1〈b a
3
∴e ＝c
a
22
1b a
+∈22)．
【综合点评】
1、充分利用条件列关于a,b,c 的等式或不等式，可得离心率的取值或取值范围；
2、双曲线的渐近线是a 与b 之间的比值关系，再结合
222c a b =+，可得,a c 的关系，及离心率的关系，从这点而言,渐近线方程
和离心率是有联系的．
考点3 直线和双曲线的位置关系
【3-1】已知直线l 和双曲线22194
x y -=相交于
A,B 两点，线段AB 的中点
为M 。

设直线l 的斜率为k 1（k 1≠0)，直线OM 的斜率为k 2，则k 1k 2=（ ）
A 。

23
B 。

-23
C.—49
D 。

49
【答案】D
【3—2】【河北省定州中学2017届高三上学期周练（四)】点A 是抛
物线()2
1:20C y px p =>与双曲线()22
222:10,0x y C a b a b -=>>的一条渐近线的交点，
若点A 到抛物线1
C 的准线的距离为p ，则双曲线2
C 的离心率等于( ）
A 2
B 3
C 5
D 6【答案】C
【解析】双曲线的渐近线方程为：x a b y =
,由题意可求得点),2
(p p
A 代入
渐近线得22
==p p
a b ,2()4b a ∴=，22
24c a a -∴=，25e ∴=
，e ∴=C 。

【3-3】已知双曲线方程是x 2
－
22
y ＝1，过定点P(2，1）作直线交双
曲线于P 1、P 2两点，并使P （2，1)为P 1P 2的中点,则此直线方程是____________． 【答案】4x －y －7＝0 【解析】设点P 1(x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则由2
2112
y x -
＝1,222
2
2
y x -
＝1，得k
＝2
1212121
2y
y x x x x y y -（+）＝-+＝24
2⨯＝4，从而所求方程为4x －y －7＝0.将此直线方
程与双曲线方程联立得14x 2－56x ＋51＝0，Δ＞0，故此直线满足条件．
【综合点评】
1、涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍;
2、涉及弦长问题，可以利用弦长公式求解． 【课本回眸】
直线与双曲线的位置关系：
将直线的方程y kx m =+与双曲线的方程22
221x y a b
-=(0,0)a b >>联立成方程组，
消元转化为关于x 或y 的一元二次方程，其判别式为Δ。

222222222()20b a k x a mkx a m a b ----=
若2
220,
b
a k -=即
b k a
=±，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交与
一点；
若2
220,
b
a k -≠即
b k a
≠±,
①Δ＞0⇔直线和双曲线相交⇔直线和双曲线相交，有两个交点； ②Δ＝0⇔直线和双曲线相切⇔直线和双曲线相切，有一个公共点； ③Δ＜0⇔直线和双曲线相离⇔直线和双曲线相离,无公共点． 【方法规律技巧】
1、设直线y kx m =+交双曲线22
221x y a b
-=(0,0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则
12||PP
12|x x -
同理可得12
12|||(0)PP y y k =
-≠ 这里1
2
||,x x
-12||,
y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：
12||x x -=
12||y y -2、若遇中点问题，可以利用“点差法”或者韦达定理处理． 【新题变式探究】
【变式一】已知点
D 在双曲线22
221(0,0)x y C a b a b
-=>>：上，且双曲线的
一条渐近线的方程是03=+y x ．
(1）求双曲线C 的方程;
（2）若过点)1,0(且斜率为k 的直线l 与双曲线C 有两个不同交点，求实数k 的取值范围；
(3）设（2）中直线l 与双曲线C 交于B A 、两个不同点，若以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求实数k 的值．
（2)∵直线l 过点)1,0(且斜率为k , ∴直线l ：1y kx =+．
联立方程组2231,
1
x y y kx ⎧-=⎨=+⎩得22(3)220k x kx ---=．
又直线l 与双曲线C 有两个不同交点，
∴222
30,(2)4(3)(2)0.
k k k ⎧-≠⎪⎨∆=---->⎪⎩ 解得(6,3)(3,3)(3,6)k ∈---．
【变式
2】设双曲线y a
x 222
31-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为
2。

（Ⅰ）求此双曲线的渐近线l l 1
2
、的方程；
（Ⅱ）若A 、B 分别为l l 1
2
、上的点，且251
2
||||AB F F =，求线段AB 的中点M 的
轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
【解析】（Ⅰ） e c
a =∴=242
2，
c a a c 22312=+∴==，，
∴-=双曲线方程为y x 2
231，渐近线方程为y x =±33
（Ⅱ）设A x y B x y ()()1
1
2
2
，，，,AB 的中点()M x y ，
【综合点评】1、直线和双曲线的位置关系可以从方程的角度求解,把交点个数以及范围问题，转化为方程解的个数以及解的范围问题;2、涉及弦长和中点问题时，要考虑“设而不求"技巧． 四、【易错试题常警惕】 易错典例:已知圆1:221
=+y x O
，圆:2O 091022=+-+x y x 都内切于动圆,试求
动圆圆心的轨迹方程．
易错分析：忽视双曲线定义． 正确解析:圆O 2：091022
=+-+x y x
，即为16)5(22=+-y x
所以圆O 2的圆心为)0,5(2
O ，半径42
=r ，
而圆1:221
=+y x O
的圆心为)0,0(1O ,半径11=r ，
设所求动圆圆心M 的坐标为(x,y ），半径为r
则1||1
+=M O r 且4||2
+=M O r ，所以3||||2
1
=-M O M O
且35||2
1
>=O
O ,点M
的轨迹为双曲线右支，方程为)4(14
4
9)25(22
≥=--x y x ． 温馨提示：双曲线的轨迹类型是
12122(2a )PF PF a F F -=<．
五、【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好，隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:”数形结合百般好，隔裂分家万事休。

””数”与”形"反映了事物两个方面的属性。

我们认为,数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。

数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过"以形助数”或"以数解形"即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化,几何问题代数化。

在运用数形结合思想分析和解决问题时,要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征,对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围.
【典例】【2016
高考上海理数】 双曲线2
2
21(0)y x b b
-=>的左、右焦点分
别为1
2
F F 、，直线l 过2
F 且与双曲线交于A B 、两点。

（1)若l 的倾斜角为2
π，1
F AB ∆是等边三角形，求双曲线的渐近线方程； （2)设3b =
,若l 的斜率存在，且11()0F A F B AB +⋅=，求l 的斜率.
【答案】（1）2y x =±．
（2）15
5
±.
故双曲线的渐近线方程为2y x =±．。