常微分方程基本概念及其例题选讲

一、基本概念
1、 微分方程的定义及其解的定义（解、通解和特解，以及奇解）；
2、 微分方程解的结构（包括非齐次线性微分方程（组）与齐次线性微分方程（组）解的结
构之间的关系、解空间的维数和高阶线性微分方程与线性微分方程组之间的等价关系转化等）；
3、 函数组（向量函数组）的线性相关性；
4、 微分方程25()0x x ''-=的通解中含有任意常数的个数是多少？．
5、 判断在整个数轴上函数组2x e -，2x e -；sin ,cos t t 以及向量函数组
11sin cos (),()cos sin t t v t v t t t ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
的线性相关性． 二、填空题
1、一阶微分方程sin y t '=通过点(,1)2π
的特解是 ；
2、若123,,y y y 是方程()()y f x y q x ''+=的三个线性无关的解，则方程()0y f x y ''+=的通解是 ．
3、若1y ，2y 是方程()()()n y p x y f x +=的两个解，则 是方程()()0n y p x y +=的解．
4、设()t Φ是x Ax '=的基解矩阵，()t ϕ是)()(t f x t A x +='的某一解，则)
()(t f x t A x +='的任一解()t γ可表为 ．
三、求微分方程的一些基本方法
1、分离变量方法求解微分方程，例如：2dy xy dx
=； 2、 恰当方程的求解方法（积分因子）：(2)(2)0y x dx y x dy +++=；
3、参数求解方法：
4、高阶微分方程的求解方法（阶的结构）：降阶方法、欧拉待定指数方法（特征根方法）、
常数变易方法、比较系数方法、拉普拉斯变换法等， 例如：求解微分方程：22232x d y dy y e dx dx ++=；
5、微分方程组的求解（基解矩阵exp At 的求法：特征根方法）：1 10 1X X ⎡
⎤'=⎢⎥⎣⎦
，其中
12x X x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
．
四、近似计算
1、方程2dy x y dx
=-定义在矩形域:11,11R x y -≤≤-≤≤上，试利用存在唯一性定理确定通过点(0,0)的解的存在区间，求第三次近似解，并给出在解的存在区间的误差估计；
2、欧拉数值方法．
五、证明题
1、基解矩阵的验证等，例如：试证 2 ()2 1t t t t ⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦是方程组2
0 122 x x t t ⎡⎤⎢⎥'=⎢⎥-⎣⎦在任何不包含原点的区间a t b ≤≤上的基解矩阵．
2、试证n 阶非齐线性方程()(1)11()()()()n n n n x a t x a t x a t x f t --'++++= 至多存在1n +个
线性无关的解．
3、试证n 元非齐次线性微分方程组()()x A t x f t '=+之多有1n +个线性无关的解．
4、给定方程32()x x x f t ''''''++=，其中()f t 在实数轴上连续，设1()w t ，2()w t 是该方程
的两个解，证明极限12lim[()()]t w t w t →∞
-存在． 5、证明：如果()t Φ在区间b t a ≤≤上是某一个线性齐次微分方程组的基解矩阵，那么此方程组必为1d ()()d t t t
-'=ΦΦx x ．并求做一个线性齐次微分方程组，使它的基解矩阵为()0t
t t e te t e ⎡⎤Φ=⎢⎥⎣⎦
6、证明：若1()x t 和2()x t 是2122d d ()()0d d x x a t a t x t t
++=的解，它们构成的朗斯基行列式记为()W t ， 则()W t 满足一阶线性微分方程1()()()0W t a t W t '+=．
7、设)(t x 和)(t y 是区间b t a ≤≤上的连续函数，证明：如果在区间b t a ≤≤上有≠)()(t y t x 常数或
≠)()(t x t y 常数，则)(t x 和)(t y 在区间b t a ≤≤上线性无关．。