【苏教版】【步步高】2014届高考数学一轮复习备考课件第二章§2.3.2方差与标准差

xi－ x
为样本的标准差，分别简
称样本方差，样本标准差.
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[问题情境]
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美国NBA在2011——2012年度赛季中，甲、乙两
名篮球运动员在随机抽取的12场比赛中的得分情况如下： 甲运动员得分：12,15,20,25,31,30,36,36,37,39,44,49；乙运 动员得分：8,13,14,16,23,26,28,38,39,51,31,39.如果要求我们 根据上面的数据，估计、比较甲，乙两名运动员哪一位发 挥得比较稳定，就应有相应的数据作为比较依据，即通过 样本数字特征对总体的数字特征进行研究．所以今天我们 开始学习用样本的数字特征估计总体的数字特征．
2
答 乙种玉米苗长得高，甲种玉米苗长得齐.
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② 1．下列说法正确的是________ ．
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①在两组数据中，平均值较大的一组方差较大； ②平均数反映数据的集中趋势，方差则反映数据离平均值 的波动大小； ③方差的求法是求出各个数据与平均值的差的平方后再求和； ④在记录两个人射击环数的两组数据中，方差大的表示射 击水平高． 解析 ①中平均值和方差是数据的两个特征，不存在这种
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在实际应用中一般多采用标准差． 2．现实中的总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与 标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估 计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性． 3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的 数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字 特征，是一种统计思想，没有唯一答案.
答 看抗拉强度谁比较稳定．
问题4
怎样说明一组数据比较稳定？
答 如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定． 本 课 时 问题5 什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？ 栏 答 我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结 目 开 果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差． 关 问题6 方差与原始数据的单位相同吗？为什么？如何找到一个量和原始
大值145高于甲样本的最大值135.这说明乙种钢筋没有甲种钢筋 的抗拉强度稳定．
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小结
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极差：我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极
差．在平均数相同的情况下，比较两组数据的极差能大概判断 它们的稳定程度．
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问题3 在抗拉强度数据平均数相同的情况下，如何精确地评价哪种 钢筋的质量较好？
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例2 为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必
须更换．已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数 如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差．
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使用 151～ 181～ 211～ 241～ 271～ 301～ 331～ 361～ 天数 灯泡 数 180 1 210 11 240 18 270 20 300 25 330 16 360 7 390 2
2 2 a x a s ． (2)新数据ax1，ax2，…，axn的平均数为______，方差为_____
a x ＋b ， (3)新数据ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为________
2 2 a s ． 方差为______
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3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值
2.3.2
【学习要求】
方差与标准差
1．正确理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据
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的标准差； 2．能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取 基本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释； 3．会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征． 【学法指导】 通过方差和标准差的学习，形成用随机抽样的方法和样本估计 总体的思想解决一些简单的实际问题的意识，在解决统计问题 的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合 的数学思想和逻辑推理的数学方法.
小结 比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及方差或 标准差这两个方面考虑．
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跟踪训练2 从甲、乙两种玉米中各抽10株，分别测得它们的株 高如下： 甲：25、41、40、37、22、14、19、39、21、42； 乙：27、16、44、27、44、16、40、40、16、40；
课 时 2 1 2 2 2 2 2 s ＝ [(13 － 13) ＋ (14 － 13) ＋ (12 － 13) ＋ (12 － 13) ＋ (14 － 13) ]＝0.8. 乙 栏 5 目 开 2 2 关 (2)由s 甲 >s 乙 .可知乙的成绩较稳定．从折线图看，甲的成绩基本呈上
升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的 平均数与方差；
(2)根据图和上面算得的结果，对两人的训练成绩作出评价．
解 (1)由图可得甲、乙两人五次测试的成绩分别为：
甲：10分，13分，12分，14分，16分； 乙：13分，14分，12分，12分，14分．
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10＋13＋12＋14＋16 所以 x 甲＝ ＝13(分)， 5 13＋14＋12＋12＋14 x 乙＝ ＝13(分)， 5 1 2 2 2 2 2 2 s ＝ [(10 － 13) ＋ (13 － 13) ＋ (12 － 13) ＋ (14 － 13) ＋ (16 － 13) ]＝4， 甲 本 5
数据的单位相同？
答 不同，因为方差进行了平方运算，方差的单位是原始数据单位的平
方，对方差进行开方运算就得到了一个与原始数据相同的量．
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小结 一般地，设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为 x ，则称 1n s ＝n (xi－ x )2为这个样本的方差，其算术平方根s＝ i＝1
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1 × [1× (165.5－268.4)2＋11× (195.5－268.4)2＋18× (225.5－268.4)2 100 ＋20× (255.5－268.4)2＋25× (285.5－268.4)2＋16× (315.5－268.4)2
本 2 2 2 ＋ 7× (345.5 － 268.4) ＋ 2× (375.5 － 268.4) ] ＝ 2 128.60( 天 )， 课 时 栏 目 故所求的标准差约为 2 128.6≈46(天)． 开 关 答 估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天，标准差约为46天．
有的样本数据都等于样本平均数．
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探究点二 方差和标准差的应用 例1 甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下 (单位：t/hm2)，试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量 比较稳定.
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品种 甲 乙
第1年 第2年 第3年 9.8 9.4 9.9 10.3 10.1 10.8
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探究点一 导引 极差、方差和标准差
有甲乙两种钢筋现从中各抽取一个样本(如下表)检查它们的抗
拉强度(单位：kg/mm2)，通过计算发现，两个样本的平均数均为
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125.哪种钢筋的质量较好？
甲 110 125 115 125 120 135 100 125 130 125 125 145 125 135 130 125 120 125 115 145
本 课 (1)哪些玉米的苗长得高？(2)哪种玉米的苗长得齐？ 时 1 栏 解 (1) x 甲＝ 10 (25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42) 目 开 1 关 ＝30， x 乙＝ 10 (27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)
＝31， x 甲＜ x 乙．
1 (2)由方差公式得：s 甲 ＝ 10 [(25－30)2＋(41－30)2＋…＋(42－ 2 2 30)2] ＝104.2，同理s2 乙＝128.8，∴s甲＜s乙.
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2 为1，则样本方差为________ ．
1 解析 由题意知5(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本 1 2 方差为s ＝5[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2] ＝2.
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1．标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样 本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，
2
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1n 2 x － x 为样本的标准差，分别简称样本方差，样本标准差． ni＝1 i
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问题7 请计算“导引”中甲、乙两个样本的方差，通过它们方差的 大小能说明什么问题？
答 根据上述方差计算公式可算得甲、乙两个样本的方差分别为 本 课 时 50和165，故可认为甲种钢筋的质量好于乙种钢筋． 栏 目 开 问题8 标准差的取值范围如何？若s＝0表示怎样的意义？ 关 答 从标准差的定义可以看出，标准差s≥0，当s＝0时，意味着所
关系；③中求和后还需取平均数；④中方差越大，射击越 不平稳，水平越低．
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2．如果数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，方差为s2，则
x ＋b (1)新数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为___________ ，
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s2 ． 方差为____
第4年 10 9.7
第5年 10.2 9.8
解 甲品种的样本平均数为10，样本方差为： [(9.8－10)2＋(9.9－10)2＋(10.1－10)2＋(10－10)2＋(10.2－10)2]
÷ 5＝0.02， 乙品种的样本平均数也为10，样本方差为： [(9.4－10)2＋(10.3－10)2＋(10.8－10)2＋(9.7－10)2＋(9.8－10)2] ÷ 5＝0.244. 2 因为s2 甲<s乙，所以甲水稻的产量比较稳定．
填一填·知识要点、记下疑难点
1．极差：我们把一组数据的 最大值与最小值的差 称为极差．
本 2．一般地，设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为 课 1n 2 时 ( x － x ) i 栏 ni＝1 2 x ，则称s ＝ 为这个样本的方差，其算 目 开 1n 关 2
术平方根s＝
ni ＝1
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小结
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方差或标准差用来表示稳定性，方差或标准差越大，数
据的离散程度就越大，也就越不稳定；方差或标准差越小，数 据的离散程度就越小，也就越稳定．
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跟踪训练1 甲乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩 得分情况如图．
乙
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问题1 由于两个样本的平均数均为125，不好比较钢筋的质量好 坏，如果把它们标在数轴上(如下图)，
本 课 时 栏 目 开 关
你能发现什么？
答 发现甲的数据相对比较集中，乙的数据比较分散．
问题2 抽取的甲、乙数据的最大值与最小值有什么差别？这种差别 能说明什么问题？ 答 乙样本的最小值100低于甲样本的最小值110，乙样本的最
解 各区间的组中值分别为165.5,195.5,225.5,255.5,285.5,315.5, 345.5,375.5，由此算得平均数约为 165．5×1%＋195.5×11%＋225.5×18%＋255.5×20%＋285.5 ×25%＋315.5×16%＋345.5×7%＋375.5×2%＝268.4≈268(天)． 这些组中值的方差为