2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合达标测试(附答案)

2021-2022学年北师大版九年级数学下册《第3章圆》单元综合达标测试（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）
1．下列叙述正确的是（）
A．平分弦的直径必垂直于弦
B．同圆或等圆中，相等的弦所对的弧也相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．相等的弧所对的弦相等
2．⊙O的半径是3，OA＝3，那么点A与⊙O的位置关系是（）
A．点A在圆外B．点A在圆内C．点A在圆上D．无法确定
3．如图，⊙O中弦AB长为8，OC⊥AB，垂足为E，若CE＝2，则⊙O半径长是（）
A．10B．8C．6D．5
4．如图，点A、B、C都在半径为2的⊙O上，∠C＝30°，则弦AB长为（）
A．1B．2C．2.2D．2.5
5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA＝DC，若∠CBE＝45°，则∠DAC的度数为（）A．70°B．67.5°C．62.5°D．65°
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，﹣3）．则△ABC的外心坐标应是（）
A．（0，0）B．（1，0）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）7．如图，已知⊙O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM＝1，则该圆的内接正三角形ACE 的面积为（）
A．2B．4C．D．
8．如图，在单位长度为1米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为2米，圆心角为120°的多次复制并首尾连接而成．现有一点P从A（A为坐标原点）出发，以每秒π米的速度沿曲线向右运动，则在第2021秒时点P的纵坐标为（）
A．﹣1B．0C．1D．
9．如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠P AB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为（）
A．1.5B．C．D．2
10．如图，在△ABC中，∠C＝40°，∠A＝60°．以B为圆心，适当长度为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E；分别以D，E为圆心，大于DE长度为半径作弧，两弧交于点F；作射线BP，交AC于点P，过点P作PM⊥AB于M；以P为圆心，PM的长为半径作⊙P．则下列结论中，错误的是（）
A．∠PBA＝40°B．PC＝PB
C．PM＝MB D．⊙P与△ABC有4个公共点
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35°，则∠OAB＝．
12．如图所示，在矩形纸片上剪下一个扇形和一个圆形，使之恰好能围成一个圆锥模型．若扇形的半径为R，圆的半径为r，则R与r满足的数量关系是．
13．如图，切线P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，切线EF与⊙O相切于点C，且分别交P A、PB于点E、F，若△PEF的周长为6，则线段P A的长为．
14．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，其周长为20，⊙I是△ABC的内切圆，其半径为，则△BIC的外接圆直径为．
15．如图，四边形ABCD为⊙O的内接正四边形，△AEF为⊙O的内接正三角形，若DF恰好是同圆的一个内接正n边形的一边，则n的值为．
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，交AC于点E，连接AD、
BE交于点M，过点D作DF⊥AC于点F，DH⊥AB于点H交BE于点G，下列结论：①BD＝CD，②DF是⊙O的切线，③∠DAC＝∠BDH，④DG＝BM，其中正确的结论的序号是．
三．解答题（共9小题，满分56分）
17．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，＝，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E、F．求证OE＝OF．
18．已知：如图，AB是⊙O直径，延长直径AB到点C，使AB＝2BC，DF是⊙的弦，DF ⊥AB于点E，OE＝1，∠BAD＝30°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）连接并延长DO交于点G，连接GE，请补全图形并求GE的长．
19．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A（0，4），B（4，4），C（6，2）．（1）该圆弧所在圆的圆心坐标为．
（2）求弧ABC的长．
20．好山好水好绍兴，石拱桥在绍兴处处可见，小明要帮忙船夫计算一艘货船是否能够安全通过一座圆弧形的拱桥，现测得桥下水面AB宽度16m时，拱顶高出水平面4m，货船宽12m，船舱顶部为矩形并高出水面3m．
（1）请你帮助小明求此圆弧形拱桥的半径；
（2）小明在解决这个问题时遇到困难，请你判断一下，此货船能顺利通过这座拱桥吗？
说说你的理由．
21．定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的遥望角．
（1）如图1，∠E是△ABC中∠A的遥望角，若∠A＝α，请用含α的代数式表示∠E．（2）如图2，四边形ABCD内接于⊙O，＝，四边形ABCD的外角平分线DF交⊙O 于点F，连接BF并延长交CD的延长线于点E．求证：∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
22．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．
23．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°且AB＝6，过O点作OE ⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）若OE的延长线交⊙O于点F，求弦AF、AC和弧CF围成的图形（阴影部分）的面积S．
24．如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EO、FO，若DE＝4，∠DP A＝45°
（1）求⊙O的半径．
（2）若图中扇形OEF围成一个圆锥侧面，试求这个圆锥的底面圆的半径．
25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，D为BC的中点，点P在射线AD上，⊙P 与直线AB相切，切点为E．
（1）求证：⊙P与直线AC相切．
（2）当⊙P是△ABC内切圆时，求⊙P的半径．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分40分）
1．解：A．如图，
弦AB平分直径CD，但是弦AB和直径CD不垂直，
即平分弦（弦不是直径）的直径必垂直于弦，故本选项不符合题意；
B．如图，
弦AB＝BC，但是弦AB对的劣弧AB和弦BC对的优弧BC不相等，故本选项不符合题意；
C．如图，
在两个圆中，圆心角∠COD和圆心角∠AOB相等，但是对的弧AB和弧CD不相等，故本选项不符合题意；
D．等弧所对的弦相等，故本选项符合题意；
故选：D．
2．解：∵⊙O的半径为3，点A到圆心O的距离为3，
即点A到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O上．
故选：C．
3．解：连接OA，
设⊙O的半径为r，则OC＝OA＝r，OE＝OC﹣CE＝r﹣2，
∵OC⊥AB，AB＝8，
∴AE＝BE＝AB＝4，
在Rt△OAE中，由勾股定理得：42+（r﹣2）2＝r2，
解得：r＝5，
即⊙O的半径长为5，故选：D．
4．解：∵∠ACB＝30°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA，
∵半径OA＝2，
∴AB＝2，故选：B．
5．解：∵∠CBE＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝135°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC＝180°，
∴∠D＝45°，
∵AD＝CD，
∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣∠D）＝67.5°，故选：B．6．解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：D．
7．解：如图所示，连接OE、OF，过O作ON⊥CE于N，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠EOF＝60°，
∵OE＝OF，
∴△EOF是等边三角形，
∴∠OEM＝60°，
∴OM＝OE•sin∠OEM，
∴OE＝＝，
∵∠OEN＝30°，
∴ON＝OE＝，EN＝1．
∴CE＝2EN＝2．
∴S△ACE＝．
故选：D．
8．解：的长为：＝，
÷π＝2（秒），
如图，作CE⊥AB于E，与交于点D．
在Rt△ACE中，∠AEC＝90°，∠ACE＝∠ACB＝60°，∴∠CAE＝30°，
∴CE＝AC＝×2＝1，
∴DE＝CD﹣CE＝2﹣1＝1，
∴第1秒时点P纵坐标为1；
第2秒时点P纵坐标为0；
第3秒时点P纵坐标为﹣1；
第4秒时点P纵坐标为0；
第5秒时点P纵坐标为1；
…，
∴点P的纵坐标以1，0，﹣1，0四个数为一个周期依次循环，
2021÷4＝505…1，
故在第2021秒时点P的纵坐标为1，
故选：C．
9．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，
∵∠P AB＝∠ACP，
∴∠P AC+∠ACP＝60°，
∴∠APC＝120°，
∴点P的运动轨迹是，
设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示：
此时P A＝PC，OB⊥AC，
则AD＝CD＝AC＝，∠P AC＝∠ACP＝30°，∠ABD＝∠ABC＝30°，∴PD＝，BD＝，
∴PB＝BD﹣PD＝﹣＝．
故选：B．
10．解：∵∠C＝40°，∠A＝60°，
∴∠ABC＝80°，
由题意得，BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝ABC＝40°，故选项A正确；
∵∠PBC＝∠PBA＝ABC＝40°，
∴∠C＝∠PBC，
∴PC＝PB，故选项B正确；
∵PM⊥AB，
∴∠BMP＝90°，
∴∠BPM＝50°，
∴∠BPM≠∠MBP，
∴PM≠BM，故C选项错误；
∵点P在∠ABC的角平分线上，
∴P到AB和BC的距离＝PM＝⊙P的半径，
∴AB，BC与⊙P相切，
∵P A＞PM，PC＞PM，
∴⊙P与AC相交，
∴⊙P与△ABC有4个公共点，故D选项正确，
故选：C．
二．填空题（共6小题，满分24分）
11．解：∵∠ACB与∠AOB都对，
∴∠AOB＝2∠ACB＝70°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝＝55°．
故答案为：55°
12．解：扇形的弧长为：＝，
∵圆的半径为r，
∴底面圆的周长是2πr，
由题意得：＝2πr，
整理得：R＝4r，即R与r之间的关系是R＝4r．
故答案为：R＝4r．
13．解：∵EA，EC都是圆O的切线，
∴EC＝EA，
同理FC＝FB，P A＝PB，
∴△PEF的周长＝PF+PE+EF＝PF+PE+EA+FB＝P A+PB＝2P A＝6，
∴P A＝3；
故答案为：3．
14．解：如图，设△BIC的外接圆圆心为O，连接OB，OC，作CD⊥AB于点D，在圆O上取点F，连接FB，FC，作OE⊥BC于点E，
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，
∵∠BAC＝60°，
∴AD＝b，
CD＝AC•sin60°＝b，
∴BD＝AB﹣AD＝c﹣b，
∵△ABC周长为l＝20，△ABC的内切圆半径为r＝，∴S△ABC＝lr＝×20×＝AB•CD，
∴20＝b•c，
∴bc＝40，
在Rt△BDC中，根据勾股定理，得
BC2＝BD2+CD2，
即a2＝（c﹣b）2+（b）2，
整理得：a2＝c2+b2﹣bc，
∵a+b+c＝20，
∴a2＝c2+b2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（20﹣a）2﹣3×40，解得a＝7，
∴BC＝a＝7，
∵I是△ABC内心，
∴IB平分∠ABC，IC平分∠ACB，
∵∠BAC＝60°，
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠IBC+∠ICB＝60°，
∴∠BIC＝120°，
∴∠BFC＝180°﹣120°＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∵OE⊥BC，
∴BE＝CE＝，∠BOE＝60°，
∴OB＝＝÷＝．
∴外接圆直径为．
故答案为：．
15．解：连接OA、OD、OF，如图，
∵AD，AF分别为⊙O的内接正四边形与内接正三角形的一边，∴∠AOD＝＝90°，∠AOF＝＝120°，
∴∠DOF＝∠AOF﹣∠AOD＝30°，
∴n＝＝12，
故答案为：12．
16．解：①∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，即AD⊥BC，
又∵AB＝AC，
∴BD＝DC，∠BAD＝∠DAE，
故①正确；
②连接OD，如图所示：
∵∠BAD＝∠DAE，
∴，
∴OD⊥BE，
∵AB是直径，
∴BE⊥AC
又∵DF⊥AC，
∴BE∥DF，
∴DF⊥OD，
∴DF是切线．故②正确；
③∵Rt△ABD中，DH⊥AB，
∴∠DAB＝∠BDH，
又∵∠BAD＝∠DAC，
∴∠DAC＝∠BDH．
故③正确；
④∵∠DBE＝∠DAC（同弧所对的圆周角相等），∠BDH＝∠DAC（已证），
∴∠DBE＝∠BDH
∴DG＝BG，
∵∠BDH+∠HDA＝∠DBE+∠DMB＝90°，
∴∠GDM＝∠DMG
∴DG＝GM
∴DG＝BM，
故④正确．
故答案为：①②③④．
三．解答题（共9小题，满分56分）
17．证明：连接OA、OC，
∵＝，
∴AB＝CD，
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE＝AB，CF＝CD，AEO＝∠CFO＝90°，∴AE＝CF，
又∵OA＝OC，
∴Rt△OAE≌Rt△OCF（HL），
∴OE＝OF．
18．（1）证明：∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝30°，
∵DF⊥AB，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADE＝90°﹣∠EAD＝60°，
∴∠ODE＝∠ADE﹣∠ODA＝30°，
∴OE＝OD，
∴OD＝2OE＝2，
∴OA＝OD＝2，
∵AB是⊙O直径，
∴AB＝2OD＝4，
∵AB＝2BC，
∴BC＝2，
∴AE＝OA+OE＝3，
∴AC＝AB+BC＝6，CE＝AC﹣AE＝3，
∴AE＝CE，
∴DA＝DC，
∴∠DCA＝∠DAC＝30°，
∴∠CDE＝90°﹣∠DCE＝60°，∴∠ODC＝∠ODE+∠CDE＝90°，∴OD⊥CD，
∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：连接FG，
在Rt△DOE中，∵OD＝2，OE＝1
∴DE＝＝＝，
∵OE⊥DF，
∴EF＝DE＝，
∵OD＝OG，
∴OE是△DFG的中位线，
∴OE＝FG，
∴FG＝2OE＝2，
在Rt△EFG中，GE2＝EF2+FG2，
∴GE＝＝＝．
19．解：（1）由垂径定理可知，圆心是AB、BC中垂线的交点，
由网格可得该点P（2，0），
故答案为：（2，0）；
（2）根据网格可得，OP＝CQ＝2，OA＝PQ＝4，
∠AOP＝∠PQC＝90°，
由勾股定理得，
AP＝＝＝2＝PC，
∵AP2＝22+42＝20，CP2＝22+42＝20，AC2＝22+62＝40，
∴AP2+CP2＝AC2，
∴∠APC＝90°，
∴弧ABC的长为＝π，
答：弧ABC的长为π．
20．解：（1）如图，连接OB．
∵OC⊥AB，
∴D为AB中点，
∵AB＝16m，
∴BD＝AB＝8m．
又∵CD＝4m，
设OB＝OC＝r，则OD＝（r﹣4）m．
在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2＝（r﹣4）2+82，解得r＝10．
答：此圆弧形拱桥的半径为10米．
（2）连接ON
∵CD＝4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，
∴CE＝4﹣3＝1（m），
∴OE＝r﹣CE＝10﹣1＝9（m），
在Rt△OEN中，EN2＝ON2﹣OE2＝102﹣92＝19，
∴EN＝（m）．
∴MN＝2EN＝2m＜12m．
∴此货船B不能顺利通过这座拱桥．
21．解：（1）∵∠E是△ABC中∠A的遥望角，
∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，
∴∠E＝∠ECD﹣∠EBD＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A，∵∠A＝α，
∴∠E＝α；
（2）如图2，延长BC到点T，
∵四边形FBCD内接于⊙O，
∴∠FDC+∠FBC＝180°，
∵∠FDE+∠FDC＝180°，
∴∠FDE＝∠FBC，
∵DF平分∠ADE，
∴∠ADF＝∠FDE，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ABF＝∠FBC，
∴BE是∠ABC的平分线，
∵＝，
∴∠ACD＝∠BFD，
∵∠BFD+∠BCD＝180°，∠DCT+∠BCD＝180°，
∴∠DCT＝∠BFD，
∴∠ACD＝∠DCT，
∴CE是△ABC的外角平分线，
∴∠BEC是△ABC中∠BAC的遥望角．
22．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；
（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，
在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝1+．
23．解：（1）∵∠D＝60°，
∴∠B＝60°（圆周角定理），
又∵AB＝6，
∴BC＝3，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵OE⊥AC，
∴OE∥BC，
又∵点O是AB中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝；
（2）连接OC，
则易得△COE≌△AFE，
故阴影部分的面积＝扇形FOC的面积，S扇形FOC＝＝π．
即可得阴影部分的面积为π．24．解：（1）∵弦DE垂直平分半径OA，∴CE＝DC＝DE＝2，OC＝OE，∴∠OEC＝30°，
∴OC＝＝2，
∴OE＝2OC＝4，
即⊙O的半径为4；
（2）∵∠DP A＝45°，
∴∠D＝45°，
∴∠EOF＝2∠D＝90°，
设这个圆锥的底面圆的半径为r，
∴2πr＝，解得r＝1，
即这个圆锥的底面圆的半径为1．
25．（1）证明：连接PE．
过点P作PF⊥AC，垂足为F．
∵⊙P与直线AB相切，切点为E，
∴PE⊥AB．
在△ABC中，AB＝AC，
∵D为AC的中点，
∴AD平分∠BAC．
∵PF⊥BA，PE⊥BC，
∴PE＝PF．
∴⊙P与直线AC相切；
（2）解：连接BP，CP，
设⊙P半径为r，则根据++＝，其中，根据勾股定理得AD＝4．
∴++＝．
∴r＝1.5．。