2019年高考数学课时55证明单元滚动精准测试卷文(主推版)

课时55 证明
模拟训练（分值：60分 建议用时：30分钟）
1．（2018·河南省开封市丽星中学高三上学期期中考试,5分）命题“对于任意角θ，cos 4
θ－sin 4
θ＝cos2θ”的证明：“cos 4
θ－sin 4
θ＝(cos 2
θ－sin 2
θ)(cos 2
θ＋sin 2
θ)＝cos 2
θ－sin 2
θ＝cos2θ”过程应用了( )
A ．分析法
B ．综合法
C ．综合法、分析法综合使用
D ．间接证明法
【答案】B
【解析】因为证明过程是“从左往右”，即由条件⇒结论．
2．（2018·江西省吉水中学高三第二次月考,5分）设a ，b ，c ∈(－∞，0)，则a ＋1b ，b ＋1
c
，
c ＋1
a
( ) A ．都不大于－2
B ．都不小于－2
C ．至少有一个不大于－2
D ．至少有一个不小于－2
【答案】C
【解析】因为a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1
a
≤－6，所以三者不能都大于－2.
3．（2018·山东济宁梁山二中高三12月月考,5分）要证：a 2＋b 2－1－a 2b 2
≤0，只要证明( ) A ．2ab －1－a 2b 2
≤0 B ．a 2＋b 2
－1－
a 4＋
b 4
2
≤0
C.
a ＋b
2
2
－1－a 2b 2
≤0
D ．(a 2
－1)(b 2
－1)≥0
【答案】D
【解析】因为a 2
＋b 2
－1－a 2b 2
≤0⇔(a 2
－1)(b 2
－1)≥0.
4．（2018·广东省顺德容山中学高三上学期第一次月考试题,5分）若a ＞b ＞0，则下列不等式中总成立的是( )
A ．a ＋1b ＞b ＋1a
B.b a ＞b ＋1
a ＋1
C ．a ＋1a
＞b ＋1b
D.
2a ＋b a ＋2b ＞a
b
【答案】A
5．（2018·四川成都树德协进中学上学期期中,5分）①已知p 3
＋q 3
＝2，求证p ＋q ≤2，用反证法证明时，可假设p ＋q ≥2，②已知a ，b ∈R ，|a |＋|b |<1，求证方程x 2
＋ax ＋b ＝0的两根的绝
对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根x1的绝对值大于或等于1，即假设|x1|≥1.以下结论正确的是( )
A．①与②的假设都错误B．①与②的假设都正确
C．①的假设正确；②的假设错误D．①的假设错误；②的假设正确
【答案】D
【解析】反证法的实质是命题的等价性，因为命题p与命题的否定¬p真假相对，故直接证明困难时，可用反证法．故选D.
6.（2018·福建省厦门市翔安第一中学高三12月月考,5分）若a＞0，b＞0，且a≠b，M＝a b
＋b
a
，N＝a＋b，则M与N的大小关系是( )
A．M＞N B．M＜N
C．M≥N D．M≤N
【答案】A
7．（2018·浙江省十二校新高考研究联盟高三第一次联考,5分）在不等边三角形中，a为最
大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足_________．【答案】a2>b2＋c2
【解析】由余弦定理cos A＝b2＋c2－a2
2bc
<0，
所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
8．（2018·湖南省新田一中高三第五次月考试题,5分）设x，y，z是空间的不同直线或不同平面，且直线不在平面内，下列条件中能保证“若x⊥z，且y⊥z，则x∥y”为真命题的是________(填所有正确条件的代号)．
①x为直线，y，z为平面；②x，y，z为平面；
③x，y为直线，z为平面；④x，y为平面，z为直线；
⑤x，y，z为直线．
【答案】①③④
【解析】①中x⊥平面z，平面y⊥平面z，
∴x∥平面y或x⊂平面y.
又∵x⊄平面y，故x∥y成立．
②中若x ，y ，z 均为平面，则x 可与y 相交，故②不成立． ③x ⊥z ，y ⊥z ，x ，y 为不同直线，故x ∥y 成立．
④z ⊥x ，z ⊥y ，z 为直线，x ，y 为平面可得x ∥y ，④成立． ⑤x ，y ，z 均为直线可异面垂直，故⑤不成立．
9．（2018·贵州省湄潭中学高三第五次月考,10分）已知a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证：b 2
－ac ＜3a .
10．（2018·江西省红色六校高三第一次联考,10分）已知三个方程：x 2
＋4ax －4a ＋3＝0，x 2
＋(a －1)x ＋a 2
＝0，x 2
＋2ax －2a ＝0，其中至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．
【解析】若三个方程都无实根，则⎩⎪⎨⎪⎧
Δ1＝16a 2
－－4a ＋＜0Δ2＝a －
2－4a 2
＜0Δ3＝4a 2＋4×2a ＜0
，解得－3
2
＜a ＜－1，故
当三个方程至少有一个方程有实根时，实数a 的取值范围为{a |a ≤－3
2
或a ≥－1}．
[新题训练] （分值：10分 建议用时：10分钟）
11．（5分）已知x 1>0，x 1≠1且x n ＋1＝x n ·(x 2n ＋3)
3x 2
n ＋1
(n ＝1,2，…)，试证：“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1，”当此题用反证法否定结论时应为( )
A ．对任意的正整数n ，有x n ＝x n ＋1
B ．存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1
C ．存在正整数n ，使x n ≥x n －1，且x n ≥x n ＋1
D ．存在正整数n ，使(x n －x n －1)(x n －x n ＋1)≥0 【答案】B
【解析】根据全称命题的否定，是特称命题，即“数列{x n }对任意的正整数n ，都满足x n >x n ＋1”的否定为“存在正整数n ，使x n ≤x n ＋1”，故选B.
12．（5分）如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是________．。