上海青云中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

上海青云中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
一、压轴题
1．小聪与小明在一张矩形台球桌ABCD 边打台球，该球桌长AB =4m ，宽AD =2m ，点O 、E 分别为AB 、CD 的中点，以AB 、OE 所在的直线建立平面直角坐标系。

（1）如图1，M 为BC 上一点；
①小明要将一球从点M 击出射向边AB ，经反弹落入D 袋，请你画出AB 上的反弹点F 的位置；
②若将一球从点M (2，12)击出射向边AB 上点F (0.5，0)，问该球反弹后能否撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球?请说明理由
（2）如图2，在球桌上放置两个挡板(厚度不计)挡板MQ 的端点M 在AD 中点上且MQ ⊥AD ，MQ =2m ，挡板EH 的端点H 在边BC 上滑动，且挡板EH 经过DC 的中点E ； ①小聪把球从B 点击出，后经挡板EH 反弹后落入D 袋，当H 是BC 中点时，试证明：DN =BN ；
②如图3，小明把球从B 点击出，依次经挡板EH 和挡板MQ 反弹一次后落入D 袋，已知∠EHC =75°，请你直接写出球的运动路径BN +NP +PD 的长。

2．二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>的图象交y 轴于点A ，顶点为P ，直线PA 与x 轴交于点B ．
（1）当m =1时，求顶点P 的坐标； （2）若点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63
m m
y x x m m =-+>的图象上，且0b m ->，试求a 的取值范围；
（3）在第一象限内，以AB 为边作正方形ABCD ． ①求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，请直接写出符合条件的整数m 的值．
3．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2
12
y x bx c =-
++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线1
2
y x m =-
+与抛物线交于B ，D 两点．
（1）求抛物线的函数表达式； （2）求m 的值和D 点坐标；
（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线
BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，
求P 点坐标；
（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫
-
⎪⎝⎭
，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作
MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．
4．如图1，在Rt ABC △中，90A ∠=︒，AB AC =，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD AE =，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是_________，位置关系是_________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，
CE ，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若4=AD ，10AB =，请直接写出
PMN 面积的最大值．
5．在平面直角坐标系中，将函数y ＝x 2﹣2mx+m （x≤2m ，m 为常数）的图象记为G ，图象G 的最低点为P(x 0，y 0)． （1）当y 0＝﹣1时，求m 的值． （2）求y 0的最大值．
（3）当图象G 与x 轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x 1，则x 1的取值范围是 ．
（4）点A 在图象G 上，且点A 的横坐标为2m ﹣2，点A 关于y 轴的对称点为点B ，当点A 不在坐标轴上时，以点A 、B 为顶点构造矩形ABCD ，使点C 、D 落在x 轴上，当图象G 在矩形ABCD 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围． 6．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，
AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．
（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，
CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．
7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为
，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点， 对称轴为直线
，
抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结
.
（1）求抛物线的解析式； （2）求证：
∽
（3）半径为的⊙的圆心沿着直线
从点运动到
，运动速度为1单位/
秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙
，随着⊙的运动，求
的运动路
径长以及当⊙
与轴相切的时候的值.
8．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA
QA
≤
≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．
（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；
（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1
tan BAO 2
∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；
（3）直线3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于
⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．
9．已知抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点
(0,3)C ，顶点为点D ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C 的直线交线段AB 于点E ，且:3:5ACE
CEB
S S
=，求直线CE 的解析式
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点D 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边
形时，求点P 的坐标；
（4）已知点450,,(2,0)8H G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在抛物线对称轴上找一点F ，使HF AF +的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K ，使KF KG +的值最小，若存在，求出点K 的坐标；若不
存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AB 经过点A （﹣2，0），与y 轴的正半轴交于点B ，且OA ＝2OB ．
（1）求直线AB的函数表达式；
（2）点C在直线AB上，且BC＝AB，点E是y轴上的动点，直线EC交x轴于点D，设点E的坐标为（0，m）（m＞2），求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，若CE：CD＝1：2，点F是直线AB上的动点，在直线AC上方的平面内是否存在一点G，使以C，G，F，E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．
11．已知正方形ABCD中AC与BD交于点，点M在线段BD上，作直线AM交直线DC于E，过D作DH⊥AE于H，设直线DH交AC于N．
(1)如图1，当M在线段BO上时，求证：MO=NO；
(2)如图2，当M在线段OD上，连接NE和MN，当EN//BD时，
①求证：四边形DENM是菱形；
②求证：BM＝AB；
(3)在图3，当M在线段OD上，连接NE，当NE⊥BC时，求证：AN2＝NC⋅AC．
，，点C的坐标为(0)4，，直线12．在直角坐标平面内，O为原点，点A的坐标为(10)
=+（b为常数）经过CM x
∥轴（如图所示）．点B与点A关于原点对称，直线y x b
点B，且与直线CM相交于点D，联结OD．
（1）求b的值和点D的坐标；
（2）设点P在x轴的正半轴上，若POD是等腰三角形，求点P的坐标；
13．如图，抛物线y ＝mx 2﹣4mx+2m+1与x 轴交于A （x 1，0），B （x 2，0）两点，与y 轴交于点C ，且x 2﹣x 1＝2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）E 是抛物线上一点，∠EAB ＝2∠OCA ，求点E 的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D ，动点P 从点B 出发，沿抛物线向上运动，连接PD ，过点P 做PQ ⊥PD ，交抛物线的对称轴于点Q ，以QD 为对角线作矩形PQMD ，当点P 运动至点（5，t ）时，求线段DM 扫过的图形面积．
14．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，已知A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△BCD 面积最大时，求点P 的坐标；
（3）若M （m ，0）是x 轴上一个动点，请求出CM+
1
2
MB 的最小值以及此时点M 的坐标.
15．如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．
（1）求证：AC 是O 的切线；
（2）若点E 恰好是AO 的中点，求BF 的长； （3）若CF 的长为
34
． ①求O 的半径长；
②点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比． 16．已知，在平面直角坐标系中，二次函数2
12
y x bx c =
++的图象与x 轴交于点A B ，，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()3,0-，点B 的坐标为()1,0．
（1）如图1，分别求b c 、的值；
（2）如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，连接DO 并延长交抛物线于点E ，
3OD OE =，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P 为第一象限的抛物线上一点，过点P 作PH x ⊥轴于点H ，连接EP 、EH ，点Q 为第二象限的抛物线上一点，且点Q 与点P 关于抛物线的对称轴对称，连接PQ ，设2AHE EPH α∠+∠=，tan PH PQ α=⋅，点M 为线段PQ 上一点，点N 为第三象限的抛物线上一点，分别连接MH NH 、，满足60MHN ∠=︒，
MH NH =，过点N 作PE 的平行线，交y 轴于点F ，求直线FN 的解析式．
17．如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，
3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．
（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式； （2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．
①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；
②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．
18．如图，在矩形ABCD 中，已知AB=4，BC=2，E 为AB 的中点，设点P 是∠DAB 平分线上的一个动点（不与点A 重合）． （1）证明：PD=PE ．
（2）连接PC ，求PC 的最小值．
（3）设点O 是矩形ABCD 的对称中心，是否存在点P ，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP 的长．
19．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 的顶点A 、B 在函数(0)m
y x x
=>的图象上，顶点C 、D 在函数(0)n
y x x
=
>的图象上，其中0m n <<，对角线//BD y 轴，且BD AC ⊥于点P ．已知点B 的横坐标为4．
（1）当4m =，20n =时，
①点B 的坐标为________，点D 的坐标为________，BD 的长为________． ②若点P 的纵坐标为2，求四边形ABCD 的面积．
③若点P 是BD 的中点，请说明四边形ABCD 是菱形．
（2）当四边形ABCD 为正方形时，直接写出m 、n 之间的数量关系．
20．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2
1y x bx c 3
=-++交x 轴于
点A 、点B(点A 在点B 的左边)，交y 轴于点C ，直线()y kx 6k k 0=-≠经过点B ，交y 轴于点D ，且CD OD =，1tan OBD 3
∠=
． ()1求b 、c 的值；
()2点()P m,m 在第一象限，连接OP 、BP ，若OPB ODB ∠∠=，求点P 的坐标，并直
接判断点P 是否在该抛物线上；
()3在()2的条件下，连接PD ，过点P 作PF //BD ，交抛物线于点F ，点E 为线段PF 上一
点，连接DE 和BE ，BE 交PD 于点G ，过点E 作EH BD ⊥，垂足为H ，若
DBE 2DEH ∠∠=，求
EG
EF
的值．
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一、压轴题
1．（1）①答案见解析 ②答案见解析 （2）①证明见解析 ②
【解析】 【分析】
（1）①根据反射的性质画出图形，可确定出点F 的位置；②过点H 作HG ⊥AB 于点G ，利用点H 的坐标，可知HG 的长，利用矩形的性质结合已知可求出点B ，C 的坐标，求出BM ，BF 的长，再利用锐角三角函数的定义，去证明tan ∠MFB=tan ∠HFG ，即可证得∠MFB=∠HFG ，即可作出判断；
（2）①连接BD，过点N作NT⊥EH于点N，交AB于点T，利用三角形中位线定理可证得EH∥BD，再证明MQ∥AB，从而可证得∠DNQ=∠BNQ，∠DQN=∠NQB，利用ASA证明
△DNQ≌△BNQ，然后利用全等三角形的性质，可证得结论；②作点B关于EH对称点B＇，过点B＇作B＇G⊥BC交BC的延长线于点G，连接B＇H，B＇N，连接AP，过点B＇作B＇L⊥x轴于点L，利用轴对称的性质，可证得AP=DP，NB＇=NB，∠BHN=∠NHB＇根据反射的性质，易证AP，NQ，NC在一条直线上，从而可证得BN+NP+PD=AB＇，再利用邻补角的定义，可求出∠B＇HG=30°，作EK=KH，利用等腰三角形的性质，及三角形外角的性质，求出∠CKH的度数，利用解直角三角形表示出KH，CK的长，由BC=2，建立关于x的方程，解方程求出x的值，从而可得到CH，B＇H的长，利用解直角三角形求出GH，BH 的长，可得到点B＇的坐标，再求出AL，B＇L的长，然后在Rt△AB＇L中，利用勾股定理就可求出AB＇的长.
【详解】
（1）解：①如图1，
②答：反弹后能撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球
理由：如图，设点H（-0.5，0.8），过点H作HG⊥AB于点G，
∴HG=0.8
∵矩形ABCD，点O，E分别为AB，CD的中点，AD=2，AB=4，
∴OB=OA=2，BC=AD=OE=2
∴点B（2，0），点C（2，2）,
∵点M(2，1.2)，点F(0.5，0)，
∴BF=2-0.5=1.5，BM=1.2，
FG=0.5-（-0.5）=1
在Rt△BMF中，
tan∠MFB=，
在Rt△FGH中，
tan∠HFG=，
∴∠MFB=∠HFG，
∴反弹后能撞到位于(-0.5，0.8)位置的另一球 .
（2）解：①连接BD，过点N作NT⊥EH于点N，交AB于点T，
∴∠TNE=∠TNH=90°，
∵小聪把球从B点击出，后经挡板EH反弹后落入D袋，
∴∠BNH=∠DNE，
∴∠DNQ=∠BNQ；
∵点M是AD的中点，MQ⊥EO，
∴MQ∥AB，
∴点Q是BD的中点，
∴NT经过点Q；
∵点E，H分别是DC，BC的中点，
∴EH是△BCD的中位线，
∴EH∥BD
∵NT⊥EH
∴NT⊥BD；
∴∠DQN=∠NQB=90°
在△DNQ和△BNQ中，
∴△DNQ≌△BNQ（ASA）
∴DN=BN
②作点B关于EH对称点B＇，过点B＇作B＇G⊥BC交BC的延长线于点G，连接B＇H，B＇N，连接AP，过点B＇作B＇L⊥x轴于点L，
∴AP=DP，NB＇=NB，∠BHN=∠NHB＇
由反射的性质，可知AP，NQ，NC在一条直线上，∴BN+NP+PD=NB＇+NP+AP=AB＇；
∵∠EHC=75°，∠EHC+∠BHN=180°，
∴∠BHN=180°-75°=105°，
∴∠NHB＇=∠EHC+∠B＇HG=105°
∴∠B＇HG=30°;
如图，作EK=KH，
在Rt△ECH中，∠EHC=75°，
∴∠E=90°-75°=15°，
∴∠E=∠KHE=15°
∴∠CKH=∠E+∠KHE=15°+15°=30°，
∵设CH=x，则KH=2x，CK=
∴
解之：x=，
∴CH=
∴BH=B＇H=BC-CH=2-（）=；
在Rt△B＇GH中，
B＇G=;
GH=B＇Hcos∠B＇HG=（）×；
BG=BH+GH=
∴点B＇的横坐标为：，
∴点B＇；
∴AL=，
B＇L=
在Rt△AB＇L中，
AB ＇=
∴ 球的运动路径BN+NP+PD 的长为
. 【点睛】 本题考查反射的性质，解直角三角形，矩形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识点：（1）①根据反射的性质作图，②根据等角的三角函数值相等证明
∠MFB=∠HFG 来说明反弹后能撞到另一球；（2）①利用ASA 证明△DNQ ≌△BNQ ，然后利用全等三角形的性质可得结论，②作出辅助线，根据反射的性质和轴对称的性质证明BN+NP+PD=AB ＇，然后构建方程，解直角三角形并结合勾股定理求出AB ＇的长；其中能够根据反射的性质作出图形，利用方程思想及数形结合思想结合直角三角形的特殊角进行求解是解题的关键．
2．（1）P （2，
13）；（2）a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；（3）①D （m ，m +3）； ②2，3，4．
【解析】
【分析】
（1）把m =1代入二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>解析式中，进而求顶点P 的坐标即可；
（2）把点Q （a ，b ）代入二次函数22(0)63
m m y x x m m =-+>解析式中，根据0b m ->得到关于a 的一元二次不等式即一元一次不等式组，解出a 的取值范围即可； （3）①过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，求出二次函数与y 轴的交点A 的坐标，得到OA 的长，再根据待定系数法求出直线AP 的解析式，进而求出与x 轴的交点B 的坐标，得到OB 的长；通过证明△ADF ≌△ABO ，得到AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，求出点D 的坐标；
②因为二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，由①同理可得：C （m+3，3），分当x 等于点D 的横坐标时与当x 等于点C 的横坐标两种情况，进行讨论m 可能取的整数值即可．
【详解】
解：（1）当m =1时，二次函数为212163y x x =
-+， ∴顶点P 的坐标为（2，13
）； （2）∵点Q （a ，b ）在二次函数22(0)63m m y x x m m =
-+>的图象上， ∴2263
m m b a a m =-+， 即：2263m m b m a a -=
-
∵0b m ->， ∴2263
m m a a -＞0， ∵m ＞0，
∴2263
a a -＞0， 解得：a ＜0或a ＞4，
∴a 的取值范围为：a ＜0或a ＞4；
（3）①如下图，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥DE 于点F ，
∵二次函数的解析式为2263m m y x x m =
-+， ∴顶点P （2，3
m ）， 当x=0时，y=m ，
∴点A （0，m ），
∴OA=m ；
设直线AP 的解析式为y=kx+b(k≠0)，
把点A （0，m ），点P （2，3
m ）代入，得： 23
m b m k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩， 解得：3m k b m
⎧=-⎪⎨⎪=⎩，
∴直线AP 的解析式为y=3
m -
x+m ， 当y=0时，x=3，
∴点B （3，0）；
∴OB=3；
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AD=AB ，∠DAF+∠FAB=90°，
且∠OAB+∠FAB =90°，
∴∠DAF=∠OAB ，
在△ADF 和△ABO 中，
DAF OAB AFD AOB AD AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ADF ≌△ABO （AAS ），
∴AF=OA=m ，DF=OB=3，DE=DF+EF= DF+OA=m+3，
∴点D 的坐标为：（m ，m+3）；
②由①同理可得：C （m+3，3），
∵二次函数的图象与正方形ABCD 的边CD 有公共点，
∴当x =m 时，3y m ≤+，可得3
22363
m m m m -+≤+，化简得：32418m m -≤． ∵0m >，∴2184m m m -≤，∴218(2)4m m
--≤， 显然：m =1，2，3，4是上述不等式的解，
当5m ≥时，2(2)45m --≥，18 3.6m ≤，此时，218(2)4m m
-->， ∴符合条件的正整数m =1，2，3，4； 当x = m +3时，y ≥3，可得2(3)2(3)363
m m m m m ++-+≥， ∵0m >，∴21823m m m ++≥，即218(1)2m m
++≥， 显然：m =1不是上述不等式的解，
当2m ≥时，2(1)211m ++≥，189m ≤，此时，218(1)2m m
++>恒成立， ∴符合条件的正整数m =2，3，4；
综上：符合条件的整数m 的值为2，3，4．
【点睛】
本题考查二次函数与几何问题的综合运用，熟练掌握二次函数的图象和性质、一次函数的图象和性质、正方形的性质是解题的关键．
3．（1）21
y=x +x+42﹣；（2）m=2，D(﹣1，52)；（3）P （52，278 ）或P(1，92
)； （4）0＜t≤
261200
． 【解析】
【分析】
(1)根据A ，C 两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．
(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B 点坐标，代入一次函数12y x m =-
+,即可求出m 的值，联立二次函数与一次函数可求出D 点坐标．
(3)设出P 点坐标，通过P 点坐标表示出N ，F 坐标，再分类讨论PN=2NF ，NF=2PN ，即可求出P 点(4)由A ，D 两点坐标求出AD 的函数关系式，因为以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，所以QQ '∥AD ，即可求出QQ '的函数关系式，设直线QQ '与抛物线交于第一象限P 点，所以当Q '与P 重合时，t 有最大值，利用中点坐标公式求出PQ 中点H 点坐标,进而求出MH 的函数关系式，令y=0求出函数与x 轴交点坐标，从而可求出t 的值,求出t 的取值范围．
【详解】
解：(1)∵A (2,0)-，(0,4)C
把A,C 代入抛物线212
y x bx c =-++， 得：142b+c=02c=4
⎧⨯⎪⎨⎪⎩﹣－ 解得b=1c=4⎧⎨⎩
∴21
y=x +x+42﹣．
（2）令y=0即21
x +x+4=02
﹣， 解得1x =2﹣
，2x =4 ∴B （4,0）
把B （4,0）代入12y x m =-
+ 得1042
m =-⨯+
m=2 122
y x =-+， ∴21y=x +x+42122y x ⎧⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
﹣ 得11x =15y =2⎧⎪⎨⎪⎩﹣ 或22x =4y =0⎧⎨⎩ ∴B(4,0),D(﹣1，52
)
∴,m=2，D(﹣1，52
)． （3）设P （a ，
21
a +a+42﹣），则F （a ，1a 22-+）， ∵DN ⊥PH ，
∴N 点纵坐标等于D 点的纵坐标
∴N(a ，
52) FN=52－（1a 22-+）=11a 22+，PN=21a +a+42﹣－52=213a +a+22
﹣， ∵N 是线段PF 的三等分点，
∴①当FN=2PN 时，
11a 22+=2（213a +a+22
﹣）， 解得：a=
52或a=﹣1（舍去）， ∴P （52，278
）． ②当2FN=PN 时，
2（11a 22+）=（213a +a+22
﹣）， 得a=1或a=﹣1（舍去），
∴P(1,92
)， 综上P 点坐标为P （52，278 ）或P(1,92
)， (4)由（2）问得D(﹣1，
52)，又A (2,0)-， 设AD ：y=kx+b ，
5k+b=22k 0b ⎧⎪⎨⎪+=⎩
﹣﹣ ， ∴5k=2b=5
⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴AD ：y=52
x+5， 又GM ⊥AD ，
∴可设GM ： y=
25﹣x+p ， 以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，
∴QQ '∥AD ，
可设QQ '：y=52x+q ，又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
，代入QQ '， 得：5
2×45⎛⎫- ⎪⎝⎭
+q=0， q=2， ∴QQ '：y=
52x+2， 设直线QQ '与抛物线交于第一象限N 点,,所以当Q '与N 点重合时,t 有最大值， ∴25+221y=x +x+42y x ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩
﹣ ， 解得：11x =19y =2⎧⎪⎨⎪⎩
或22x =4y =8⎧⎨⎩﹣﹣ ， ∴N(1,92)又Q 4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
， 设H 为N,Q 中点， 则H （
110，94）， 又∵H 在直线GM 上，
∴把H 代入GM y=
25﹣x+p ， 得：
921=+p 4510⨯﹣， P=229100
， ∴y=2
5﹣x+229100
， 令y=0得：0=
2
5﹣x+229100， ∴x=22940
， 即QM=
22940+45=26140 ，
∵M 的速度为5，
∴t=26140÷5=261200
， ∴0＜t≤
261200．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．
4．（1）PM PN =，PM PN ⊥；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）
492 【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN 与PM 等于DE 或CE 的一半，又△ABC 为等腰直角三角形，AD=AE ，所以得PN=PM ，且互相垂直；
（2）由旋转可推出BAD CAE ∆∆≌，再利用PM 与PN 皆为中位线，得到PM=PN ，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM ，且PM ⊥PN ，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】
（1）PM PN =，PM PN ⊥；
已知点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点，根据三角形的中位线定理可得 12PM EC =，12
PN BD =，//PM EC ，//PN BD 根据平行线性质可得DPM DCE ∠=∠，NPD ADC ∠=∠
在Rt ABC ∆中，90A ∠=︒，AB AC =，AD AE =
可得BD EC =，90DCE ADC ∠+∠=︒
即得PM PN =，PM PN ⊥
故答案为：PM PN =；PM PN ⊥．
（2）等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可得BAD CAE ∠=∠，
又AB AC =，AD AE =
∴BAD CAE ∆∆≌
∴BD CE =，ABD ACE ∠=∠，
∵点M ，P 分别为DE ，DC 的中点
∴PM 是DCE ∆的中位线 ∴12PM CE =，且//PM CE ， 同理可证12PN BD =，且//PN BD ∴PM PN =，MPD ECD ∠=∠，PNC DBC ∠=∠，
∴MPD ECD ACD ACE ACD ABD ∠=∠=∠+∠=∠+∠，
DPN PNC PCN DBC PCN ∠=∠+∠=∠+∠， ∴90MPN MPD DPN ACD ABD DBC PCN ABC ACB ∠=∠+∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒， 即PMN ∆为等腰直角三角形．
（3）把ADE ∆绕点A 旋转的如图的位置，
此时1()72PN AD AB =+=，1()72
PM AE AC =+= 且PN 、PM 的值最长，由（2）可知PM PN =，PM PN ⊥ 所以PMN ∆面积最大值为
1497722⨯⨯=． 【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．
5．（1）
512
或﹣1；（2）14；（3）0＜x 1＜1；（4）m ＝0或m ＞43或23≤m ＜1 【解析】
【分析】
（1）分m＞0，m＝0，m＜0三种情形分别求解即可解决问题；
（2）分三种情形，利用二次函数的性质分别求解即可；
（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，求出当抛物线顶点在x轴上时m的值，利用图象法判断即可；
（4）分四种情形：①m＜0，②m＝0，③m＞1，④0＜m≤1，分别求解即可解决问题．【详解】
解：（1）如图1中，当m＞0时，
∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，
图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），
此时最底点P（m，﹣m2+m），
由题意﹣m2+m＝﹣1，
解得m＝51
2
+
或
51
2
-+
（舍弃），
当m＝0时，显然不符合题意，
当m＜0时，如图2中，
图象G是抛物线在直线y＝2m的左侧部分（包括点D），此时最底点P是纵坐标为m，
∴m＝﹣1，
综上所述，满足条件的m的值为51
2
或﹣1；
（2）由（1）可知，当m＞0时，y0＝﹣m2+m＝﹣（m﹣1
2
）2+
1
4
，
∵﹣1＜0，
∴m＝1
2
时，y0的最大值为
1
4
，
当m＝0时，y0＝0，当m＜0时，y0＜0，
综上所述，y0的最大值为1
4
；
（3）由（1）可知，当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，
当抛物线顶点在x轴上时，4m2﹣4m＝0，
∴m＝1或0（舍弃），
∴观察观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是0＜x1＜1，
故答案为0＜x1＜1；
（4）当m＜0时，观察图象可知，不存在点A满足条件，
当m＝0时，图象G在矩形ABCD内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小，满足条件，如图3中，
当m＞1时，如图4中，设抛物线与x轴交于E，F，交y轴于N，
观察图象可知当点A在x轴下方或直线x＝﹣m和y轴之间时（可以在直线x＝﹣m上）
时，满足条件．
则有（2m ﹣2）2﹣2m （2m ﹣2）+m ＜0，
解得m ＞43
， 或﹣m≤2m ﹣2＜0， 解得23
≤m ＜1（不合题意舍弃）， 当0＜m≤1时，如图5中，当点A 在直线x ＝﹣m 和y 轴之间时（可以在直线x ＝﹣m 上）时，满足条件．
即或﹣m≤2m ﹣2＜0，
解得23
≤m ＜1， 综上所述，满足条件m 的值为m ＝0或m ＞
43或23≤m ＜1． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，矩形的性质，最值问题，不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
6．（1）MP = NP ，180°－α；（2）PMN 是等边三角形，证明见解析；（3）MN 的最大值为5
222【解析】
【分析】
（1）由三角形的中位线的判定与性质不难得出，MP =12BD ，MP //BD 以及NP =12CE ，NP //CE ，因此MP = NP ，将MPN ∠利用平行线的性质转化为EBD ∠与PEA ∠的和求解即可．
（2）有（1）同理可证MP = NP ，MP //BD ，NP //CE ，在根据平行线的性质以及三角形外角的性质将MPN ∠转化为ABD ∠，ABE ∠，PBN ∠，ECB ∠这四个角的和，求出MPN ∠的度数，判断PMN 的形状即可．
（3）由题意不难得出M 的运动轨迹是以点A 32
MN 最大与最小时M 的位置，分别求出最大最小值即可．
【详解】
（1）AB =AC ，AD =DE ，
∴BD =EC ，
M 、P 分别是DE 、BE 的中点，
∴MP =12
BD ，MP //BD ， ∴EPM EBD ∠=∠， 同理可证：NP =
12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，
∴NPE PEA ∠=∠，
∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=EBD ∠+PEA ∠=180°－α．
（2）由旋转可得：CAB EAD ∠=∠，AD =AE ，
∴CAE BAD ∠=，
在CAE 与BAD 中，
AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
， ∴CAE ≌BAD ，
∴CE =BD ，
由（1）同理可证MP =12BD ，MP //BD ，NP =12
CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，
∴PMN 是等腰三角形，
EPM ∠=EBD ∠=ABD ∠+ABE ∠，
NPE ∠=PBN ∠+PNB ∠=PBN ∠+ECB ∠，
∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=ABD ∠+ABE ∠+PBN ∠+ECB ∠=180°－120°=60°， ∴PMN 是等边三角形．
（3）等腰直角ADE 中，AD =3，
∴DE
M 是DE 的中点，
∴AM
∴M 的运动轨迹是以点A
为圆心，2
为半径的一个圆， 如图，连接NA 并延长分别交⊙A 于点M 1、M 2，
等腰直角ABC 中，AB =7，
∴BC=72，
N是BC的中点，
∴AN=72
2
，AN⊥BC，
当点M旋转至M1位置时，MN最大，MN=72
2
+
32
2
=52；
当点M旋转至M2位置时，MN最小，MN=72
2
－
32
2
=22．
【点睛】
本题较为综合，主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线以及点的运动轨迹，本题关键在于利用平行线的性质将角进行转化以及分析出点的运动轨迹为圆．
7．（1）（2）证明见解析（3）P1的运动路径长为8，运动时间为5秒或7秒。

【解析】试题分析：（1）设抛物线l2的解析式为y=（x+a）2+c，由抛物线l1的解析式，可求出点A的坐标，由抛物线l2的对称轴以及点A的坐标即可求出a、c的值，由此得出结论；
（2）由抛物线的对称性可知△DAE为等腰三角形，由l2的解析式可得出D点、E点坐标，根据两点间的距离公式可求出OE=OD，由两等腰三角形一个底角相等即可得出
△ADE∽△DOE；
（3）由旋转的特性可知P1的运动路径长与P的运动路径长相等，由圆与直线相切可得出相切时D′P1的长度，由时间=路程÷速度即可得出结论。

试题解析：
解：（1）设抛物线l2的解析式为y=（x+a）2+c，
∵抛物线l2的对称轴为x=﹣6，
∴a=6．
令l1的解析式y=x2﹣2=0，
解得：x=±2．
∴A点的坐标为（﹣2，0），B点的坐标为（2，0）．
将点A（﹣2，0）代入l2的解析式中，得×（﹣2+6）2+c=0，解得：c=﹣8．
故抛物线l2的解析式为y=﹣8．
（2）证明：令l2的解析式y=﹣8=0，
解得x=﹣10，或x=﹣2，
故点E的坐标为（﹣10，0）．
由抛物线的对称性可知△ADE为等腰三角形．
∵点O（0，0），点E（﹣10，0），点D（﹣6，﹣8），
∴OE=0﹣（﹣10）=10，OD==10，
∴OE=OD，
即△OED为等腰三角形，
又∵∠DEA=∠OED，且两者均为底角，
∴△ADE∽△DOE．
（3）过点C作CN⊥DF于点N，根据题意画出图形如图所示．
点D旋转后到达D′处，点F旋转后到达F′处．
根据旋转的性质可知D′F′=DF，
∵点D（﹣6，﹣8），点F（﹣6，0），
∴P1的运动路径长为DF=8．
∵DF∥y轴，
∴D′F′∥x轴，
∴四边形NCMD′为平行四边，
∴D′M=NC．
∵l1的解析式为y=x2﹣2，
∴点C 的坐标为（0，﹣2），
∴点N 的坐标为（﹣6，﹣2），
∴NC=0﹣（﹣6）=6．
∵⊙P 1的半径为1，
∴当D′P 1=D′M ±1时，⊙P 1与y 轴相切，
此时D′P 1=5，或D′P 1=7．
∵⊙P 的运动速度为1单位/秒，
∴⊙P 1的运动速度为1单位/秒，
∴运动时间为5秒或7秒。

点睛：求函数的解析式主要的方法之一待定系数法，主要过程有（1）设函数解析式；
（2）找或求出函数图象上两个点的坐标；（3）将两个点的坐标代入函数解析式中，求出其中未未知数；（4）将未知数的值代入解析式中，写出函数的解析式。

8．（1）（2，0）（答案不唯一）；（2）8455
t -≤≤-或48
55
t ≤≤；（3）41b -≤≤-或14b ≤≤ 【解析】
试题分析：
（1）由题意可知，在x 轴上找点P 是比较简单的，这样的P 点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；
（2）如图1，在x 轴上方作射线AM 交⊙O 于点M ，使tan ∠MAO=12
，并在射线AM 是取点N ，使MN=AM ，则由题意可知，线段MN 上的点都是符合条件的B 点，过点M 作MH ⊥x 轴于点H ，连接MC ，结合已知条件求出点M 和点N 的纵坐标即可得到所求B 点的纵坐标t 的取值范围；根据对称性，在x 轴的下方得到线段M′N′，同理可求得满足条件的B 点的纵坐标t 的另一取值范围；
（3）
如图2，3，由y b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，可得点M 的坐标为(?0)
，点N 的坐标为(0)b ，，由此结合∠OMN 的正切函数可求得∠OMN=60°； 以点D （1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D ，则⊙D 和⊙O 相切于点A ，由题意可知，点A 关于⊙O 的“生长点”都在⊙O 到⊙D 之间的平面内，包括两个圆（但点A 除外）. 然后结合题意和∠OMN=60°分b>0和b<0两种情况在图2和图3中求出ON 1和ON 2的长即可得到b 的取值范围了.
试题解析：
（1）由题意可知，在x 轴上找点P 是比较简单的，这样的P 点不是唯一的，如点（2，0）、（1，0）等；
（2）如图1，在x 轴上方作射线AM ，与⊙O 交于M ，且使得1tan OAM 2
∠=，并在AM 上取点N ，使AM=MN ，并由对称性，将MN 关于x 轴对称，得M N ''，则由题意，线段
MN 和M N ''上的点是满足条件的点B.
作MH ⊥x 轴于H ，连接MC ，
∴ ∠MHA=90°，即∠OAM+∠AMH=90°.
∵ AC 是⊙O 的直径，
∴ ∠AMC=90°，即∠AMH+∠HMC=90°.
∴ ∠OAM=∠HMC.
∴ 1tan HMC tan OAM 2∠∠==
. ∴ MH HC 1HA MH 2
==. 设MH y =，则AH 2y =，1CH y 2=
， ∴ 5AC AH CH y 22=+==，解得4y 5=，即点M 的纵坐标为45
. 又由AN 2AM =，A 为（-1，0），可得点N 的纵坐标为
85， 故在线段MN 上，点B 的纵坐标t 满足：48t 55
≤≤. 由对称性，在线段M N ''上，点B 的纵坐标t 满足：84t 55-
≤≤-. ∴ 点B 的纵坐标t 的取值范围是84t 55-≤≤-或48t 55
≤≤. （3）如图2，以点D （1，0）为圆心，2为半径作圆⊙D ，则⊙D 和⊙O 相切于点A ，由题意可知，点A 关于⊙O 的“生长点”都在⊙O 到⊙D 之间的平面内，包括两个圆（但点A 除外）.
∵直线3y x b +与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，
∴点M 的坐标为(?0)3
，点N 的坐标为(0)b ，，
∴tan ∠OMN=3ON OM =， ∴∠OMN=60°， 要在线段MN 上找点A 关于⊙O 的“生长点”，现分“b>0”和“b<0”两种情况讨论： I 、①当直线3y x b =+过点N 1（0，1）时，线段MN 上有点A 关于⊙O 的唯一“生长点”N 1，此时b=1；
②当直线3y x b =+与⊙D 相切于点B 时，线段MN 上有点A 关于⊙O 的唯一“生长点”B ，此时直线3y x b =+与y 轴相交于点N 2，与x 轴相交于点M 2，连接DB ，则DB=2，
∴DM 2=
243sin 603=， ∴OM 2=4313
-， ∴ON 2=tan60°·OM 2=43(
31)433-=-，此时b=43-. 综合①②可得，当b>0时，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，则b 的取值范围为：143b ≤≤-；
II 、当b<0时，如图3，同理可得若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，则b 的取值范围为：431b -≤≤-；。