2021年山西省吕梁市天相中学高三数学文月考试题含解析

2021年山西省吕梁市天相中学高三数学文月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】概率与统计．
【分析】本题是一个求概率的问题，考查事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”这是一个古典概率模型，求出所有的基本事件数N与事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为
5”包含的基本事件数N，再由公式求出概率得到答案
【解答】解：抛掷两颗骰子所出现的不同结果数是6×6=36
事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件有（1，4），（2，3），（3，2），（4，1）共四种
故事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”的概率是=，
故选：B．
【点评】本题是一个古典概率模型问题，解题的关键是理解事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点
数之和为5”，由列举法计算出事件所包含的基本事件数，判断出概率模型，理解求解公式是本题的重点，正确求出事件“抛掷两颗骰子，所得两颗骰子的点数之和为5”所包含的基本事件数是本题的难点．
2.
若的展开式中的第5项等于，则的值为（）.
A．1 B． C． D．参考答案：
答案：A
3. 若复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，且z1=2﹣i，则复数在复平面内对应的点在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
参考答案：
B
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【分析】由z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，求出z2，然后代入，利用复
数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标，则答案可求．
【解答】解：∵z1=2﹣i，复数z1，z2在复平面内对应的点关于y轴对称，
∴z2=﹣2﹣i．
∴==，
则复数在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第二象限．
故选：B．
4. 数列{an}中，“ a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的
A.充分而不必要条件；
B.必要而不充分条件；
C.充分必要条件；
D.既不充分与不必要条件；
参考答案：
B
略
5. 已知的面积为6，，为线段上一点，，点在线段上的投影分别为，则的面积为（）
A．B． C. D．
参考答案：
B
6. “”是“”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件参考答案：
A
根据函数是减函数，由可得，充分性成立；
但当之一为非正数时，由不能推出，必要性不成立；故选A。

【考点】①充分、必要、充要条件的判断；②对数函数的单调性。

7. 已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数=（）A．2 B．5 C．6 D．7
参考答案：
B
8. 设向量，，且，若，则实数（）
A. B. C.1 D.2
参考答案：
C
9. 已知定义在R的函数对任意的x满足，当，．函数
，若函数在[－6,+∞)上有6个零点，则实数a的取值范围是（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
因为，故是周期函数且周期为，如图的图像与的图像在有两个不同的交点，故的图像与在有4个不同的交点，故，解的或，选C．
10. 设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a3=3，S9﹣S6=27，则该数列的首项a1等于（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】等差数列的性质．
【分析】利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a3=3，S9﹣S6=27，可得，解得a1=．
故选：D．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，将△ABD沿对角线BD折起到△A′BD的位置，
使点A′在平面BCD内的射影点O恰好落在BC边上，则异面直线A′B与CD所成角的大小为；A′D与平面A′BC所成的角的大小为 .
参考答案：
90° 30°
12. （x 2+3x+2）5
的展开式中x 的系数是 ．
参考答案：
240
【考点】二项式定理的应用．
【分析】根据（x 2
+3x+2）5
=（x+1）5
?（x+2）5
，可得x 的系数是?
?25
+
??24
，计算求得结
果．
【解答】解：（x 2+3x+2）5 =（x+1）5 ?（x+2）5， 故x 的系数是
?
?25+
?
?24=240，
故答案为：240．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
13. 设直线参数方程为
（为参数），则它的斜截式方程为
.
参考答案：
略
14. = .
参考答案：
略
15. 已知变量
满足约束条件，则的最小值为( )
A ．
B ．
C ． 8
D ．
参考答案： C
略
16. 曲线
在点(1,0)处的切线的方程为__________．
参考答案：
【分析】 对
求导，带入
得到斜率，通过点斜式得到切线方程，再整理成一般式得到答案.
【详解】
带入
得切线的斜率
， 切线方程为
，整理得
【点睛】本题考查导数的几何意义，通过求导求出切线的斜率，再由斜率和切点写出切线方程.难度不大，属于简单题.
17. 已知点P （0，1）是圆内一点，AB 为过点P 的弦，且弦长为
，则直线AB 的方
程为________．
参考答案：
x+y-1=0或x-y+1=0
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数
(1)求函数
的极值; (2)若对任意
,都有
,求实数的取值范围.
参考答案：
解: (1)
令
,解得
,……1分
当变化时,
的变化情况如下表:
当时,取得极大值
当时, 取得极小值…6分
(2)设
在上恒成立等价于,
若,显然,此时…8分
若,
令得或
当时,当时,
当时,
即,解不等式得
……………………………10分
当时,满足题意
综上的的取值范围.是………12分
略
19. （2017?贵州模拟）为检测空气质量，某市环保局随机抽取了甲、乙两地2016年20天PM2.5日平均浓度（单位：微克/立方米）监测数据，得到甲地PM2.5日平均浓度频率分布直方图和乙地PM2.5日平均浓度的频数分布表．乙地20天PM2.5日平均浓度频数分布表
布直方图比较两地PM2.5日平均浓度的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（2）通过调查，该市市民对空气质量的满意度从高到低分为三个等级：
市民对空气质量满意度的调查结果相互独立，根据所给数据，利用样本估计总体的统计思想，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C的概率．
参考答案：
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．
【分析】（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表能作出相应的频率分组直方图，由频率分布直方图能求出结果．
（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，由此能求出事件C的概率．
【解答】解：（1）根据乙地20天PM2.5日平均浓度的频率分布表作出相应的频率分组直方图，如下
图：
由频率分布直方图得：
甲地PM2.5日平均浓度的平均值低于乙地PM2.5日平均浓度的平均值，
而且甲地的数据比较集中，乙地的数据比较分散．
（2）记A1表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为满意或非常满意”，
A2表示事件：“甲地市民对空气质量的满意度等级为非常满意”，
B1表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为不满意”，
B2表示事件：“乙地市民对空气质量的满意度等级为满意”，
则A1与B1独立，A2与B2独立，B1与B2互斥，C=B1A1∪B2A2，
P（C）=P（B1A1∪B2A2）=P（B1）P（A1）+P（B2）P（A2），
由题意P（A1）=，P（A2）=，P（B1）=，P（B2）=，
∴P（C）=．
【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意互斥事件加法公式和相互独立事件事件概率乘法公式的合理运用．
20. 已知函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|．
（1）若a=1，解不等式 f（x）≤2|x﹣2|；
（2）若f（x）≥2恒成立，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．
【分析】（1）将a=1带入不等式，两边平方，解出即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于a的不等式，解出即可．
【解答】解：（1）当a=1时，f（x）≤2|x﹣2|，
即|x+1|≤|x﹣2|，即（x+1）2≤（x﹣2）2，解得：x≤．
（2）f（x）=|x﹣2|+|x+a|≥|x﹣2﹣（x+a）|=|a+2|，
若f（x）≥2恒成立，只需|a+2|≥2，
即a+2≥2或a+2≤﹣2，解得：a≥0或a≤﹣4．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查求函数最值问题，是一道基础题．
21. 如图，等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=6，点E，F分别在AB，BC上，AE=CF=，O为AC边上的中点，EF交BO于点H，将△BEF沿EF折到△B′EF的位置，OB′=．
（1）证明：B′H⊥平面ABC；
（2）求二面角B﹣B′A﹣C的余弦值．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）证明EF⊥B′H，B′H⊥OH，即可得到B′H⊥平面ABC．
（2）以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出法向量，利用向量法求解．
【解答】解：（1）证明：∵△ABC是等腰三角形，
且AB=BC，又，∴，则EF∥AC．
又由AB=BC，得AC⊥BO，则EF⊥BO，
∴EF⊥BH，故H为EF中点，则EF⊥B′H，
∵A C=6，∴AO=3，
又AB=5，AO⊥OB，∴OB=4，
∴，则BH=B′H=3，
∴|OB'|2=|OH|2+|B'H|2，则B′H⊥OH，
又OH∩EF=H，∴B′H⊥平面ABC．
（2）解：以H为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
∵AB=5，AC=6，
∴B（﹣3，0，0），C（1，3，0），B'（0，0，3），A（1，﹣3，0），，
，．
设平面ABB′的一个法向量为，
由得
取x=3，得y=4，z=﹣3．
∴．
同理可求得平面AB′C的一个法向量．
设二面角B﹣B'A﹣C的平面角为θ，则．
∴二面角B﹣B'A﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查了空间线面垂直的判定，向量法求解二面角，属于中档题．
22. 甲、乙两地相距1000，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80，已知货车每
小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为a元．
（1）将全程运输成本y（元）表示为速度v（）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？
参考答案：略。