丛台区第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

丛台区第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学
班级__________
姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
2． 已知，，其中是虚数单位，则的虚部为（ ）i z 311-=i z +=32i 2
1
z z A ．
B ．
C ．
D ．
1-5
4i -i 5
4【命题意图】本题考查复数及共轭复数的概念，复数除法的运算法则，主要突出对知识的基础性考查，属于容易题.
3． 设偶函数f （x ）在（0，+∞）上为减函数，且f （2）=0，则不等式＞0的解集为
（ ）
A ．（﹣2，0）∪（2，+∞）
B ．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C ．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D ．（﹣2，0）∪（0，2）　
4． 已知函数与轴的交点为，且图像上两对称轴之间的最
()2sin()f x x ωϕ=+(0)2
π
ϕ<<y (0,1)小距离为，则使成立的的最小值为（
）1111]
2
π
()()0f x t f x t +--+=t A ．
B ．
C ．
D ．
6
π
3
π
2
π
23
π5． 若直线上存在点满足约束条件
2y x =(,)x y 则实数的最大值为 30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪
--≤⎨⎪≥⎩
m A 、
B 、
C 、
D 、1-32
2
6． 如图，在长方形ABCD 中，AB=
，BC=1，E 为线段DC 上
一动点，现将
△AED 沿AE 折起，使点D 在面ABC 上的射影K 在直线AE 上，当E 从D 运动到C ，则K 所形成轨迹的长度为（
）
A ．
B ．
C ．
D ．7． 函数f （x ）=tan （2x+
），则（
）
A ．函数最小正周期为π，且在（﹣，）是增函数
B ．函数最小正周期为
，且在（﹣
，）是减函数C ．函数最小正周期为π，且在（，）是减函数D ．函数最小正周期为，且在（
，
）是增函数
8． 执行如图的程序框图，如果输入的，
100N =则输出的（ ）
x =A ． B ． 0.950.98C ．
D ．0.99 1.00
9． 如右图，在长方体中，=11，=7，=12，一质点从顶点A 射向点，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将
次到第次反射点之间的线
段记为，
，将线段
竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是
（ ）
A
B C
D
10．已知直线与圆交于两点，为直线上任意34110m x y +-=：
22
(2)4C x y -+=：A B 、P 3440n x y ++=：一点，则的面积为（ ）
PAB ∆
A ． B.
C. D. 11．计算log 25log 53log 32的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
12．设分别是中，所对边的边长，则直线与
,,a b c ABC ∆,,A B C ∠∠∠sin 0A x ay c ++=A 的位置关系是（ ）
sin sin 0bx B y C -+=A A ．平行
B ． 重合
C ． 垂直
D ．相交但不垂直
二、填空题
13．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是__________.
()ln f x a x x =-(1,2)14．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．15．圆上的点（2，1）关于直线x+y=0的对称点仍在圆上，且圆与直线x ﹣y+1=0相交所得的弦长为，则圆
的方程为 ．
16．设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=，则f （）= ．　
17．过椭圆
+
=1（a ＞b ＞0）的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2=60°，则椭
圆的离心率为 ．　
18．已知满足，则的取值范围为____________.,x y 41
y x
x y x ≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩222
23y xy x x -+三、解答题
19．如图，正方形ABCD 中，以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径的半圆O 交于点F ，连接CF 并延长交AB 于点E ．（Ⅰ）求证：AE=EB ；
（Ⅱ）若EF •FC=，求正方形ABCD 的面积．
20．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sinA ﹣sinC （cosB+sinB ）=0．
（1）求角C 的大小； （2）若c=2，且△ABC 的面积为
，求a ，b 的值．
21．（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面为菱形，分别是棱的中点，且ABCD S -ABCD Q P E 、、AB SC AD 、、⊥SE 平面.
ABCD
（1）求证：平面；//PQ SAD （2）求证：平面平面.
⊥SAC SEQ 22．已知函数
（a ≠0）是奇函数，并且函数f （x ）的图象经过点（1，3），
（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数f （x ）的值域．
23．甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2个、3个、4个，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3个，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．（1）若左右手各取一球，问两只手中所取的球颜色不同的概率是多少？
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功取法次数为X ，求X 的分布列和数学期望．
24．（本题满分12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2a n+1．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n=n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．
丛台区第四中学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：由已知中几何体的直观图，
我们可得侧视图首先应该是一个正方形，故D 不正确；中间的棱在侧视图中表现为一条对角线，故C 不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故B 不正确故A 选项正确．故选：A ．
【点评】本题考查的知识点是简单空间图象的三视图，其中熟练掌握简单几何体的三视图的形状是解答此类问题的关键．　
2． 【答案】B
【解析】由复数的除法运算法则得，，所以的虚部为.i i i i i i i i z z 54
531086)3)(3()3)(31(33121+=+=-+-+=++=2
1z z 543． 【答案】B
【解析】解：∵f （x ）是偶函数∴f （﹣x ）=f （x ）不等式
，即
也就是xf （x ）＞0
①当x ＞0时，有f （x ）＞0
∵f （x ）在（0，+∞）上为减函数，且f （2）=0∴f （x ）＞0即f （x ）＞f （2），得0＜x ＜2；②当x ＜0时，有f （x ）＜0∵﹣x ＞0，f （x ）=f （﹣x ）＜f （2），∴﹣x ＞2⇒x ＜﹣2
综上所述，原不等式的解集为：（﹣∞，﹣2）∪（0，2）故选B
4． 【答案】A 【解析】
考
点：三角函数的图象性质．5． 【答案】B
【解析】如图，当直线经过函数的图象m x =x y 2=与直线的交点时，
03=-+y x 函数的图像仅有一个点在可行域内，x y 2=P 由，得，∴．
230y x
x y =⎧⎨
+-=⎩
)2,1(P 1≤m 6． 【答案】 D
【解析】解：由题意，将△AED 沿AE 折起，使平面AED ⊥平面
ABC ，在平面AED 内过点D 作DK ⊥AE ，K 为垂足，由翻折的特征知，连接D'K ，
则D'KA=90°，故K 点的轨迹是以AD'为直径的圆上一弧，根据长方形知圆半径是，
如图当E 与C 重合时，AK==，
取O 为AD ′的中点，得到△OAK 是正三角形．故∠K0A=
，∴∠K0D'=
，其所对的弧长为=
，
故选：D ．
7． 【答案】D
【解析】解：对于函数f （x ）=tan （2x+），它的最小正周期为，
在（
，
）上，2x+
∈（
，
），函数f （x ）=tan （2x+
）单调递增，
4
2541
41
54
3
2
故选：D ．　
8． 【答案】C 【解析】111112233499100x =
+++⋅⋅⋅+⨯⨯⨯⨯．
111111199(1()()()2233499100100
=-+-+-+⋅⋅⋅+-=9． 【答案】C 【解析】根据题意有：
A 的坐标为：（0，0，0），
B 的坐标为（11，0，0），
C 的坐标为（11，7，0），
D 的坐标为（0，7，0）；A 1的坐标为：（0，0，12），B 1的坐标为（11，0，12），C 1的坐标为（11，7，12），D 1的坐标为（0，7，12）；
E 的坐标为（4，3，12）（1）l 1长度计算所以：l 1=|AE|==13。

（2）l 2长度计算
将平面A 1B 1C 1D 1沿Z 轴正向平移AA 1个单位，得到平面A 2B 2C 2D 2；显然有：
A 2的坐标为：（0，0，24），
B 2的坐标为（11，0，24），
C 2的坐标为（11，7，24），
D 2的坐标为（0，7，24）；
显然平面A 2B 2C 2D 2和平面ABCD 关于平面A 1B 1C 1D 1对称。

设AE 与的延长线与平面A 2B 2C 2D 2相交于：E 2（x E2，y E2，24）根据相识三角形易知：x E2=2x E =2×4=8，y E2=2y E =2×3=6，即：E 2（8，6，24）
根据坐标可知，E 2在长方形A 2B 2C 2D 2内。

10．【答案】 C
【解析】解析：本题考查圆的弦长的计算与点到直线、两平行线的距离的计算.
圆心到直线的距离，之间的距离为，∴C m 1d =||AB ==m n 、3d '=PAB
∆
的面积为
，选C ．1
||2
AB d '⋅=11．【答案】A
【解析】解：log 25log 53log 32=
=1．
【点评】本题考查对数的运算法则的应用，考查计算能力．
12．【答案】C
【解析】
试题分析：由直线与，
sin 0A x ay c ++=A sin sin 0bx B y C -+=A 则，所以两直线是垂直的，故选C. 1
sin (sin )2sin sin 2sin sin 0A b a B R A B R A B ⋅+⋅-=-=考点：两条直线的位置关系.
二、填空题
13．【答案】2
a ≥【解析】
试题分析：因为在区间上单调递增，所以时，恒成立，即()ln f x a x x =-(1,2)(1,2)x ∈()'10a f x x
=-≥恒成立，可得，故答案为.1
a x ≥2a ≥2a ≥考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题.
14．【答案】　3x ﹣y ﹣11=0　．
【解析】解：设过点P （4，1）的直线与抛物线的交点
为A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
即有y 12=6x 1，y 22=6x 2，
相减可得，（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）=6（x 1﹣x 2），
即有k AB ====3，
则直线方程为y ﹣1=3（x ﹣4），
即为3x ﹣y ﹣11=0．
将直线y=3x ﹣11代入抛物线的方程，可得
9x 2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，
故所求直线为3x ﹣y ﹣11=0．
故答案为：3x ﹣y ﹣11=0．
15．【答案】　（x ﹣1）2+（y+1）2=5　．
【解析】解：设所求圆的圆心为（a ，b ），半径为r ，
∵点A （2，1）关于直线x+y=0的对称点A ′仍在这个圆上，
∴圆心（a ，b ）在直线x+y=0上，
且（2﹣a）2+（1﹣b）2=r2；②
又直线x﹣y+1=0截圆所得的弦长为，
且圆心（a，b）到直线x﹣y+1=0的距离为d==，
根据垂径定理得：r2﹣d2=，
即r2﹣（）2=③；
由方程①②③组成方程组，解得；
∴所求圆的方程为（x﹣1）2+（y+1）2=5．
故答案为：（x﹣1）2+（y+1）2=5．
16．【答案】　1　．
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的周期为2的函数，
∴=1．
故答案为：1．
【点评】本题属于容易题，是考查函数周期性的简单考查，学生在计算时只要计算正确，往往都能把握住，在高考中，属于“送分题”．
17．【答案】 ．
【解析】解：由题意知点P的坐标为（﹣c，）或（﹣c，﹣），
∵∠F1PF2=60°，
∴=，
即2ac=b2=（a2﹣c2）．
∴e2+2e﹣=0，
∴e=或e=﹣（舍去）．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质，考查了考生综合运用椭圆的基础知识和分析推理的能力，属基础题．
18．【答案】[]
2,6【解析】
考点：简单的线性规划．
【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数
的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1表示点
与原点的距离；（2与点间的距离；（3）可表示点(),x y ()0,0(),x y (),a b y x 与点连线的斜率；（4）
表示点与点连线的斜率.(),x y ()0,0y b x a
--(),x y (),a b 三、解答题
19．【答案】 【解析】证明：（Ⅰ）∵以D 为圆心、DA 为半径的圆弧与以BC 为直径半圆交于点F ，
且四边形ABCD 为正方形，
∴EA 为圆D 的切线，且EB 是圆O 的切线，
由切割线定理得EA 2=EF •EC ，
故AE=EB．
（Ⅱ）设正方形的边长为a，连结BF，
∵BC为圆O的直径，∴BF⊥EC，
在Rt△BCE中，由射影定理得EF•FC=BF2=，
∴BF==，解得a=2，
∴正方形ABCD的面积为4．
【点评】本题考查两线段相等的证明，考查正方形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
20．【答案】
【解析】（本题满分为12分）
解：（1）∵由题意得，sinA=sin（B+C），
∴sinBcosC+sinCcosB﹣sinCcosB﹣sinBsinC=0，…（2分）
即sinB（cosC﹣sinC）=0，
∵sinB≠0，
∴tanC=，故C=．…（6分）
（2）∵ab×=，
∴ab=4，①
又c=2，…（8分）
∴a2+b2﹣2ab×=4，
∴a2+b2=8．②
∴由①②，解得a=2，b=2．…（12分）
【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
21．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【解析】
试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取中SD 点，连结，可证明，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先F PF AF ,AF PQ //证明线面垂直，根据所给的条件证明平面，即平面平面.
⊥AC SEQ ⊥SAC SEQ 试题解析：证明：（1）取中点，连结.
SD F PF AF ,∵分别是棱的中点，∴，且.F P 、SD SC 、CD FP //CD FP 2
1=
∵在菱形中，是的中点，ABCD Q AB ∴，且，即且.CD AQ //CD AQ 2
1=
AQ FP //AQ FP =∴为平行四边形，则.AQPF AF PQ //∵平面，平面，∴平面.
⊄PQ SAD ⊂AF SAD //PQ SAD
考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.
【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直，需熟练掌握判定定理以及性质定理. 22．【答案】
【解析】解：（1）∵函数是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）
∴，
∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分）
又函数f（x）的图象经过点（1，3），
∴f（1）=3，∴，∵b=0，
∴a=2（6分）
（2）由（1）知（7分）
当x＞0时，，当且仅当，
即时取等号（10分）
当x＜0时，，∴
当且仅当，即时取等号（13分）
综上可知函数f（x）的值域为（12分）
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．
23．【答案】
【解析】解：（1）设事件A为“两手所取的球不同色”，
则P（A）=1﹣．
（2）依题意，X的可能取值为0，1，2，
左手所取的两球颜色相同的概率为=，
右手所取的两球颜色相同的概率为=．P （X=0）=（1﹣
）（1﹣）==；P （X=1）==；P （X=2）==．
∴X 的分布列为：X 0 1 2
P
EX=0×+1×+2×=．【点评】本题考查概率的求法和求离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题型．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的灵活运用．
24．【答案】解：（1）∵a n+1=2a n +1，
∴a n+1+1=2（a n +1），
又∵a 1=1，
∴数列{a n +1}是首项、公比均为2的等比数列，
∴a n +1=2n ，
∴a n =﹣1+2n ； 6分
（2）由（1）可知b n =n （a n +1）=n •2n =n •2n ﹣1，
∴T n =1•20+2•2+…+n •2n ﹣1，
2T n =1•2+2•22…+（n ﹣1）•2n ﹣1+n •2n ，
错位相减得：﹣T n =1+2+22…+2n ﹣1﹣n •2n
=﹣n •2n
=﹣1﹣（n ﹣1）•2n ，
于是T n =1+（n ﹣1）•2n ．
则所求和为 6分
12n
n。