高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.3.2补集及集合运算的综合应用a高一第一册数学

[答案] C
12/13/2021
4．设全集为 R，A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，则∁R(A∪ B)＝________________，(∁RA)∩B＝________________.
[解析] 由题意知，A∪B＝{x|2<x<10}， ∴∁R(A∪B)＝{x|x≤2 或 x≥10}． 又∁RA＝{x|x<3 或 x≥7}． ∴(∁RA)∩B＝{x|2<x<3 或 7≤x<10}． [答案] {x|x≤2 或 x≥10} {x|2<x<3 或 7≤x<10}
[解析] 解法一：在集合 U 中， ∵x∈Z，则 x 的值为－5，－4，－3,3,4,5， ∴U＝{－5，－4，－3,3,4,5}． 又 A＝{x|x2－2x－15＝0}＝{－3,5}， ∴∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}．
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解法二：可用 Venn 图表示．
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[针对训练]
3．设集合 S＝{x|x>－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，则(∁RS)∪T 等 于( )
A．{x|－2<x≤1} B．{x|x≤－4}
C．{x|x≤1}
D．{x|x≥1}
[解析] ∵S＝{x|x>－2}，∴∁RS＝{x|x≤－2}． 而 T＝{x|－4≤x≤1}， ∴(∁RS)∪T＝{x|x≤－2}∪{x|－4≤x≤1}＝{x|x≤1}．
[解] (1)由已知得 A＝{x|x≥－m}， 所以∁UA＝{x|x<－m}， 又(∁UA)∩B≠∅，所以－m>－2，解得 m<2. (2)由已知得 A＝{x|x≥－m}， ∁UB＝{x|x≤－2 或 x≥4}． 又(∁UB)∪A＝R，所以－m≤－2，解得 m≥2.
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利用集合关系求参数的 2 个注意点 (1)与集合的交、并、补运算有关的求参数问题一般利用数轴 求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情况． (2)不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注 意补集是全集的子集．
所以－m≤－2，即 m≥2，所以 m 的取值范围是 m≥2.
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[ 变 式 ] (1) 将 本 例 中 条 件 “( ∁ UA)∩B ＝ ∅ ” 改 为 “( ∁ UA)∩B≠∅”，其他条件不变，则 m 的取值范围又是什么？
(2)将本例中条件“(∁UA)∩B＝∅”改为“(∁UB)∪A＝R”，其 他条件不变，则 m 的取值范围又是什么？
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(3)∁UA 的数学意义包括两个方面：首先必须具备 A⊆U；其 次是定义∁UA＝{x|x∈U，且 x∉A}，补集是集合间的运算关系．
2．补集思想 做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集 U， 求子集 A，若直接求 A 困难，可先求∁UA，再由∁U(∁UA)＝A 求 A.
[解析] 用数轴表示集合 A 为图中阴影部分，∴∁UA＝{x|x≤2 或 x>5}．
[答案] {x|x≤2 或 x>5}
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2．设 U＝{x|－5≤x<－2 或 2<x≤5，x∈Z}，A＝{x|x2－2x －15＝0} ，B＝{ －3,3,4}， 则∁UA ＝_______________，∁UB＝ ________________.
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1．全集 (1) 定 义 ： 如 果 一 个 集 合 含 有 我 们 所 研 究 问 题 中 涉 及 的 所有元素 ，那么就称这个集合为全集． (2)符号表示：全集通常记作 U .
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2．补集
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温馨提示：∁UA 的三层含义： (1)∁UA 表示一个集合； (2)A 是 U 的子集，即 A⊆U； (3)∁UA 是 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合．
则∁UA＝{－5，－4,3,4}，∁UB＝{－5，－4,5}． [答案] {－5，－4,3,4} {－5，－4,5}
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题型二 交集、并集、补集的综合运算 【典例 2】 已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－2<x<3}， B＝{x|－3<x≤3}．求∁UA，A∩B，∁U(A∩B)，(∁UA)∩B. [解] 把全集 U 和集合 A，B 在数轴上表示如下：
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课堂互动探究
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题型一 补集的运算 【典例 1】 (1)已知全集 U＝{x|x≤5}，集合 A＝{x|－ 3≤x<5}，则∁UA＝________________； (2)已知全集 U，集合 A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∁UB＝{1,4,6}，则集合 B＝________________. [思路导引] 借助补集定义，结合数轴及 Venn 图求解．
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[针对训练] 5．已知集合 A＝{x|x<a}，B＝{x|1<x<3}． (1)若 A∪(∁RB)＝R，求实数 a 的取值范围； (2)若 A (∁RB)，求实数 a 的取值范围． [解] (1)∵B＝{x|1<x<3}， ∴∁RB＝{x|x≤1 或 x≥3}，
因而要使 A∪(∁RB)＝R，结合数轴分析(如图)，可得 a≥3.
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题型三 利用集合间的关系求参数 【典例 3】 设集合 A＝{x|x＋m≥0}，B＝{x|－2<x<4}，全 集 U＝R，且(∁UA)∩B＝∅，求实数 m 的取值范围． [思路导引] 理清集合间的关系，分类求解． [解] 由已知 A＝{x|x≥－m}，得∁UA＝{x|x<－m}， 因为 B＝{x|－2<x<4}，(∁UA)∩B＝∅，
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)全集是由任何元素组成的集合．( ) (2)不同的集合在同一个全集中的补集也不同．( ) (3)集合∁BC 与∁AC 相等．( ) (4)集合 A 与集合 A 在全集 U 中的补集没有公共元素．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
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(2)∵A＝{x|x<a}，∁RB＝{x|x≤1 或 x≥3}． 要使 A (∁RB)，结合数轴分析(如图)，可得 a≤1.
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课堂归纳小结 1．全集与补集的互相依存关系 (1)全集并非是包罗万象，含有任何元素的集合，它是对于研 究问题而言的一个相对概念，它仅含有所研究问题中涉及的所有 元素，如研究整数，Z 就是全集，研究方程的实数解，R 就是全 集．因此，全集因研究问题而异． (2)补集是集合之间的一种运算．求集合 A 的补集的前提是 A 是全集 U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的， 因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．
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[解析] (1)将集合 U 和集合 A 分别表示在数轴上，如图所 示．由补集定义可得∁UA＝{x|x<－3 或 x＝5}．
(2)解法一：A＝{1,3,5,7}，∁UA＝{2,4,6}， ∴U＝{1,2,3,4,5,6,7}．
又∁UB＝{1,4,6}，∴B＝{2,3,5,7}． 解法二：借助 Venn 图，如图所示． 由图可知 B＝{2,3,5,7}． [答案] (1){x|x<－3 或 x＝5} (2){2,3,5,7}
第
一1．3
集合的基本运算
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第 2 课时
补集及集合运算的综合应用
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课前自主预习
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1．理解全集、补集的概念． 2．准确翻译和使用补集符号和 Venn 图． 3．会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题．
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求集合补集的基本方法及处理技巧 (1)基本方法：定义法． (2)两种处理技巧 ①当集合用列举法表示时，可借助 Venn 图求解； ②当集合是用描述法表示的连续数集时，可借助数轴，利用 数轴分析求解．
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[针对训练] 1．设全集 U＝R，集合 A＝{x|2<x≤5}，则∁UA＝___________.
由图可知∁UA＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}， A∩B＝{x|－2<x<3}，∁U(A∩B)＝{x|x≤－2 或 3≤x≤4}，(∁ UA)∩B＝{x|－3<x≤－2 或 x＝3}．
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解决集合交、并、补运算的 2 个技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出 来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常 常借助于 Venn 图来求解． (2)如果所给集合是无限集，则常借助数轴，把已知集合及全 集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程 中要注意边界问题．
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1．A＝{高一(1)班参加足球队的同学}，B＝{高一(1)班没有 参加足球队的同学}，U＝{高一(1)班的同学}．
(1)集合 A，B，U 有何关系？ (2)B 中元素与 U 和 A 有何关系？ [答案] (1)U＝A∪B (2)B 中的元素在 U 中，不在 A 中
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