取石子游戏漫谈ppt课件
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是普通规律吗？ 可以证明！
证之……
显然：A(k+1)-A(k)>=1 那么： B(k+1)-B(k)>=2 假设：A(k+1)-A(k)=3 那么由A(k+1)的性质可知： A(k)+1,A(k)+2都在前k-1组中。 A(k)+1,A(k)+2任一项不能够在A中！
〔这是曾经假设过的〕 A(k)+1,A(k)+2不能够都在B中！〔前
那么〔Ak’,Bk’〕中必有一数在前k1组中出现过。〔设为(Ai,Bi)〕
经过不繁复的推导可以推出，经一步 变化必可以得到〔Ai,Bi〕。
假设对手改动了Bk，且Bk>Ak 那么Bk’-Ak’<k〔设为j〕。 经过不反复的推导可以推出，经一步
变化变化必可以得到〔Aj，Bj〕。
即：〔Ak，Bk〕为平衡态。
三种思绪的对比与思索
描画法
算法复杂度 n2
对数列的描画：自下而上
递归法
算法复杂度： log3n～ log2n
对数列的描画：自上而下
通项法
算法复杂度：1
对数列的描画：特征值K
通项公式证明中的启示……
夹逼的范围恰到益处
——特征值K对数列的描画
是完善的。
由此不难引发对于编程的几点思 索……
前5先知道上限？〕 算法复杂度：O〔n2〕
反思……
对一个数列的描画方法：
〔1〕列举法、描画法
〔2〕递归法
〔3〕通项公式法
描画法：“自下而上〞
得到数列的每一项
其实这是不用要的。
对数列进一步分析……
察看到： 相邻两项Ak与A(k+1)相差1或2； 相邻两项Bk与B(k+1)相差2或3；
“取石子游戏〞漫谈
初探 描画——递归——通项 几点思索
初探……
典型的博弈问题 “平衡态〞是关键
平衡态1
平衡态i
平衡态2
非平衡态
……
平衡态n
平衡态j
博弈问题的精华
对“取石子〞的初步分析
先试探几个小数组
1，2
1，1
0，1
0，2
0，1
0，0
输
2，3 1，3 0，3 2，2 1，2 0，2 0，1
几点思索……
编程——把处理方案用尽量严密 的逻辑关系表达、划分、归类。
严密
详述
抓住关键
better
此题——经过不断的寻觅数列的 特征得到有用的信息。用尽量少 的量完善的描画该数列。
对该数列描画的越准确，编程中 的计算量和运算时间就越短。
相反，对该数列描画的越不准确， 需求程序进展的试探就越多，计 算量和运算时间就越长，算法的 复杂度也就越高。
合计：n-K+1+An-1+1=2n！
K=An+1-n
即：K〔n〕=An+1-n
将K带回原不等式：
5 1
5 1
[
2K ] K A n [
(K 1 )] (K 1 ) 2
51 [ 2 (An 1n)](An 1n)An [ 521((An 1n)1)]((An 1n)1)
解左不等式
n[ 521(An1n)]1
递归到最小部分 验证能否满足条件
详细操作……
参见宫畅同窗的代码
反思……
算法精深而复杂 非天才不能成也 算法复杂度： log3n～ log2n
递归法：“自上而下〞
得到数列的部分项
对数列的更进一步分析……
希望得到通项！ 察看到A，B均是线性递增的 思索极限情况：
当An，Bn均非常大时，+1/2/3 对数列的___影响较小？
面已证〕
证毕
这阐明假设不成立。 所以 相邻两项Ak与A(k+1)相差1或2； 相邻两项Bk与B(k+1)相差2或3； 是普通规律。
2
思绪2
1 2
1
2
检查A中相邻两项之差
2 1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
思绪2
采取“自上而下〞的方法
对每一个初值，判别其处在哪一 大部分，之后再依次判别其处在 该大部分的哪一小部分……
证毕
由数学归纳法可以立得该结论正 确。证毕。
结论： 对于恣意〔Ak，Bk〕， Ak：前k-1组未出现过的最小数， Bk：k+Ak 为该组是平衡态〔必输态〕的充
要条件。
思绪1
我们曾经可以描画全部平衡态！
“自下而上〞得到全部平衡态 与所输入初值比较 得到结论
详细操作……
对于任给的一组数〔A，B〕 〔A<B〕，令B-A=n，那么列出 前n组平衡态，并比较An？=A即 可。
赢
3，4
1，2
0，2/3/5
3，5 1，3/5
赢
2，4
0，1
1，2
输
…………
小结一下
必赢数组比必输数组多 选必输数组为平衡态 显然而重要的结论：
平衡态
非平衡态
恣意操作
寻觅平衡态〔必输态〕
归纳：〔n,An,Bn〕 〔1，1，2〕； 〔2，3，5〕； 〔3，4，7〕； 〔4，6，10〕； ……
说在最后……
An Z
5 1 n 2 (An 1n)
An
5 1n1 2
An Z
An [
5 1 n] 2
解右不等式
以一样方法解右不等式可得：
An [
5 1 n] 2
夹逼得到：
An [
5 1 n] 2
证毕
思绪3
计算初值对应的项数n 由通项公式计算n对应的An 验证初值能否满足条件
无疑是最简约的
寻觅平衡态〔必输态〕
猜测： An：前n-1组未出现过的最小数
Bn：n+An
正确性？
证之……
用第二类数学归纳法：
n=1时，〔1,2〕成立
〔是平衡态〕
假设n<k时，〔An,Bn〕成立；
思索〔Ak，Bk〕：
有：Bk=Ak+k.
假设对手对〔Ak，Bk〕的操作改动了 Ak，或改动了Bk且使Bk<=Ak
比值！
因此思索能否存在线性关系？
网上答案：
An [
5 1 n] 2
证之……
定义K：
[5 2 1K ] K A n [5 2 1 (K 1 )] (K 1 )
K的意义： 1～n组中，首个超越An的数所在
的组数。
由线性递增关系立得：
1～n组中大于An的：(n-K+1)个 〔k～n组中的B项〕 1～n组中小于An的：(An-1)个 1～n组中等于An的：1个
证之……
显然：A(k+1)-A(k)>=1 那么： B(k+1)-B(k)>=2 假设：A(k+1)-A(k)=3 那么由A(k+1)的性质可知： A(k)+1,A(k)+2都在前k-1组中。 A(k)+1,A(k)+2任一项不能够在A中！
〔这是曾经假设过的〕 A(k)+1,A(k)+2不能够都在B中！〔前
那么〔Ak’,Bk’〕中必有一数在前k1组中出现过。〔设为(Ai,Bi)〕
经过不繁复的推导可以推出，经一步 变化必可以得到〔Ai,Bi〕。
假设对手改动了Bk，且Bk>Ak 那么Bk’-Ak’<k〔设为j〕。 经过不反复的推导可以推出，经一步
变化变化必可以得到〔Aj，Bj〕。
即：〔Ak，Bk〕为平衡态。
三种思绪的对比与思索
描画法
算法复杂度 n2
对数列的描画：自下而上
递归法
算法复杂度： log3n～ log2n
对数列的描画：自上而下
通项法
算法复杂度：1
对数列的描画：特征值K
通项公式证明中的启示……
夹逼的范围恰到益处
——特征值K对数列的描画
是完善的。
由此不难引发对于编程的几点思 索……
前5先知道上限？〕 算法复杂度：O〔n2〕
反思……
对一个数列的描画方法：
〔1〕列举法、描画法
〔2〕递归法
〔3〕通项公式法
描画法：“自下而上〞
得到数列的每一项
其实这是不用要的。
对数列进一步分析……
察看到： 相邻两项Ak与A(k+1)相差1或2； 相邻两项Bk与B(k+1)相差2或3；
“取石子游戏〞漫谈
初探 描画——递归——通项 几点思索
初探……
典型的博弈问题 “平衡态〞是关键
平衡态1
平衡态i
平衡态2
非平衡态
……
平衡态n
平衡态j
博弈问题的精华
对“取石子〞的初步分析
先试探几个小数组
1，2
1，1
0，1
0，2
0，1
0，0
输
2，3 1，3 0，3 2，2 1，2 0，2 0，1
几点思索……
编程——把处理方案用尽量严密 的逻辑关系表达、划分、归类。
严密
详述
抓住关键
better
此题——经过不断的寻觅数列的 特征得到有用的信息。用尽量少 的量完善的描画该数列。
对该数列描画的越准确，编程中 的计算量和运算时间就越短。
相反，对该数列描画的越不准确， 需求程序进展的试探就越多，计 算量和运算时间就越长，算法的 复杂度也就越高。
合计：n-K+1+An-1+1=2n！
K=An+1-n
即：K〔n〕=An+1-n
将K带回原不等式：
5 1
5 1
[
2K ] K A n [
(K 1 )] (K 1 ) 2
51 [ 2 (An 1n)](An 1n)An [ 521((An 1n)1)]((An 1n)1)
解左不等式
n[ 521(An1n)]1
递归到最小部分 验证能否满足条件
详细操作……
参见宫畅同窗的代码
反思……
算法精深而复杂 非天才不能成也 算法复杂度： log3n～ log2n
递归法：“自上而下〞
得到数列的部分项
对数列的更进一步分析……
希望得到通项！ 察看到A，B均是线性递增的 思索极限情况：
当An，Bn均非常大时，+1/2/3 对数列的___影响较小？
面已证〕
证毕
这阐明假设不成立。 所以 相邻两项Ak与A(k+1)相差1或2； 相邻两项Bk与B(k+1)相差2或3； 是普通规律。
2
思绪2
1 2
1
2
检查A中相邻两项之差
2 1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
2
1
1
2
2
思绪2
采取“自上而下〞的方法
对每一个初值，判别其处在哪一 大部分，之后再依次判别其处在 该大部分的哪一小部分……
证毕
由数学归纳法可以立得该结论正 确。证毕。
结论： 对于恣意〔Ak，Bk〕， Ak：前k-1组未出现过的最小数， Bk：k+Ak 为该组是平衡态〔必输态〕的充
要条件。
思绪1
我们曾经可以描画全部平衡态！
“自下而上〞得到全部平衡态 与所输入初值比较 得到结论
详细操作……
对于任给的一组数〔A，B〕 〔A<B〕，令B-A=n，那么列出 前n组平衡态，并比较An？=A即 可。
赢
3，4
1，2
0，2/3/5
3，5 1，3/5
赢
2，4
0，1
1，2
输
…………
小结一下
必赢数组比必输数组多 选必输数组为平衡态 显然而重要的结论：
平衡态
非平衡态
恣意操作
寻觅平衡态〔必输态〕
归纳：〔n,An,Bn〕 〔1，1，2〕； 〔2，3，5〕； 〔3，4，7〕； 〔4，6，10〕； ……
说在最后……
An Z
5 1 n 2 (An 1n)
An
5 1n1 2
An Z
An [
5 1 n] 2
解右不等式
以一样方法解右不等式可得：
An [
5 1 n] 2
夹逼得到：
An [
5 1 n] 2
证毕
思绪3
计算初值对应的项数n 由通项公式计算n对应的An 验证初值能否满足条件
无疑是最简约的
寻觅平衡态〔必输态〕
猜测： An：前n-1组未出现过的最小数
Bn：n+An
正确性？
证之……
用第二类数学归纳法：
n=1时，〔1,2〕成立
〔是平衡态〕
假设n<k时，〔An,Bn〕成立；
思索〔Ak，Bk〕：
有：Bk=Ak+k.
假设对手对〔Ak，Bk〕的操作改动了 Ak，或改动了Bk且使Bk<=Ak
比值！
因此思索能否存在线性关系？
网上答案：
An [
5 1 n] 2
证之……
定义K：
[5 2 1K ] K A n [5 2 1 (K 1 )] (K 1 )
K的意义： 1～n组中，首个超越An的数所在
的组数。
由线性递增关系立得：
1～n组中大于An的：(n-K+1)个 〔k～n组中的B项〕 1～n组中小于An的：(An-1)个 1～n组中等于An的：1个