河北省承德市(新版)2024高考数学部编版模拟(综合卷)完整试卷

河北省承德市（新版）2024高考数学部编版模拟(综合卷)完整试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)
第(1)题
已知集合，则（）
A．B．C．D．
第(2)题
以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边的角，其终边落在直线上，则（）
A．B．
C．D．
第(3)题
点在同一个球的球面上，，若四面体体积的最大值为，则该球的表面积为
A．B．C．D．
第(4)题
已知一个三棱锥的三视图如图所示，正视图为正方形，侧视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体外接球的表面积是
（）
A
．B．C．D．
第(5)题
已知随机变量，若，则（）
A．0.36B．0.18C．0.64D．0.82
第(6)题
21个人按照以下规则表演节目：他们围坐成一圈，按顺序从1到3循环报数，报数字“3”的人出来表演节目，并且表演过的人不再参加报数．那么在仅剩两个人没有表演过节目的时候，共报数的次数为（）
A．19B．38C．51D．57
第(7)题
在中，，，，设点为的中点，在上，且，则（）
A．16B．12C．8D．
第(8)题
复数z满足：（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）
A．B．2C．D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)
第(1)题
质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（）
A．事件、、两两互斥
B．事件与事件对立
C．
D．事件、、两两独立
第(2)题
设为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数，的最小值为1，则（）
A．若确定，则唯一确定B．若确定，则唯一确定
C．若确定，则唯一确定D．若确定，则不唯一确定
第(3)题
在某节体育课上，体育老师对某班学生进行了立定跳远测试，其中有一组学生的成绩数据如下（单位：m）：
1.74，1.87，1.81，1.81，1.88，1.99，那么（）
A．这组学生成绩的平均数是1.85
B．这组学生成绩的中位数是1.84
C．这组学生成绩的众数是1.87
D．这组学生成绩的方差是0.036 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)
第(1)题
大气压强，它的单位是“帕斯卡”（Pa，），已知大气压强随高度的变化规律是，其中是海平面大气压强，.当地高山上一处大气压强是海平面处大气压强的，则高山上该处的海拔
为___________米.（答案保留整数，参考数据）
第(2)题
已知函数，若函数在上有极值，则实数a的取值范围为___．
第(3)题
已知实数，满足：，，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)
第(1)题
某超市开展购物抽奖送积分活动，每位顾客可以参加（，且）次抽奖，每次中奖的概率为，不中奖的概率为，
且各次抽奖相互独立．规定第1次抽奖时，若中奖则得10分，否则得5分．第2次抽奖，从以下两个方案中任选一个；
方案①：若中奖则得30分，否则得0分；
方案②：若中奖则获得上一次抽奖得分的两倍，否则得5分．
第3次开始执行第2次抽奖所选方案，直到抽奖结束．
(1)如果，以抽奖的累计积分的期望值为决策依据，顾客甲应该选择哪一个方案？并说明理由；
(2)记顾客甲第i次获得的分数为，并且选择方案②．请直接写出与的递推关系式，并求
的值．（精确到0.1，参考数据：．）
第(2)题
如图，曲线是以原点为中心，、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以为顶点、为焦点的抛物线的一部分，是曲
线和的一个交点，且为钝角，，．
(1)求曲线和所在椭圆和抛物线的方程；
(2)过作一条与轴不垂直的直线，分别和曲线和交于、、、四点，若为的中点，为的中点，
是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由．
第(3)题
某公司生产、两种产品，且产品的质量用质量指标来衡量，质量指标越大表明产品质量越好．现按质量指标划分：质量指标大于或等于82为
一等品，质量指标小于82为二等品．现随机抽取这两种产品各100件进行检测，检测结果统计如表：
测试指标
产品81240328
产品71840296
（Ⅰ）请估计产品的一等奖；
（Ⅱ）已知每件产品的利润（单位：元）与质量指标值的关系式为：
已知每件产品的利润（单位：元）与质量指标值的关系式为：
（i）分别估计生产一件产品，一件产品的利润大于0的概率；
（ii）请问生产产品，产品各100件，哪一种产品的平均利润比较高．
第(4)题
为了调查观众对某电视剧的喜爱程度，某电视台在甲乙两地随机抽取了8名观众做问卷调查，得分结果如图所示：
(1)计算甲地被抽取的观众问卷得分的中位数和乙地被抽取的观众问卷得分的平均数；
(2)用频率估计概率，若从乙地的所有观众中再随机抽取4人进行问卷调查，记问卷分数不低于80分的人数为，求的分布列与期望.
第(5)题
在平面直角坐标系中，已知为坐标原点，点为直线：与椭圆：的一个交点，且
，.
（1）证明：直线与椭圆相切；
（2）已知直线与椭圆：交于，两点，且点为的中点.
（i）证明：椭圆的离心率为定值；
（ii）记的面积为，若，证明：.。