江西省宜春市2020届高三5月模拟考试文科数学试题(含答案)

宜春市2020届高三模拟考试数学（文科）试卷
参考答案 一、选择题
题号 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C A
D A C B C C D B C B
二、填空题
13． -2 14．
932
15．6π
16.64
三、解答题
17.（12分）
解：（1）∵{}n a 是等差数列，公差0d ≠，514a =，23111a a a =，
可得1414a d +=，()()2111210a d a a d +=+，解得12a =，3d =，……………3分 所以{}n a 的通项公式()1131n a a n d n =+−=−.…………………………5分
（2）()()111111313233132n n n b a a n n n n + ===− −+−+
，…………………………9分 数列{}n b 的前n 项和1111111325583132n
S n n =−+−+⋅⋅⋅+− −+ 11111323269664
n n n n =−=−= +++ .…………………………12分 18．（12分）
解：（1）C 学校高中生的总人数为20010040008000
÷=， C 学校参与“创文”活动的人数为8040003200100×
=．…………………………4分 （2）A 校没有参与“创城”活动的这1人记为1A ，B 校没有参与“创文”活动的这5人分别记为1,B 2,B 3,B 4,B 5B ，任取2人共15种情况，如下：11,A B 12,A B 131,A B A 14,A B 15,A B 12,B B 13,B B 14,B B 15,B B 23,B B 24,B B 25,B B 34,B B 35,B B
45B B ，这15种情况发生的可能性是相等的．…………………………6分 设事件N 为抽取2人中A ，B 两校各有1人没有参与“创文”活动，有11,A B 12,A B 131,A B A 14,A B 15A B ，共5种情况． 则51()153
P N ==．故恰好A ，B 两校各有1人没有参与“创文”活动的概率为13
．…………………………8分 （3）依题意，(0.0080.0350.027)101a b ++++×=，所以0.03a b +=
． 又4a b =，所以0.024a =，0.006b =．…………………………10分 因为0.080.240.5,0.080.240.350.5+<++>，所以中位数在第三组， 所以中位数为0.50.080.247075.140.035
−−+
≈．…………………………12分 19．（12分） 证明：（1）PAC ∆为等边三角形，且M 为PA 的中点，PA CM ⊥∴. 平面PAB ⊥平面PAC ，平面PAB 平面PA PAC =，⊂CM 平面PAC ， ⊥∴CM 平面PAC ，⊂AB 平面PAB ，CM AB ⊥∴.…………………………3分 又AC AB ⊥，C AC CM = ，AC 、⊂CM 平面PAC ，⊥∴AB 平面PAC ；…………………………6分
（2）AC AB ⊥ ，且2=AC ，42==AC BC ，3222=−=∴AC BC AB . 又PAC ∆是边长为2的等边三角形，且M 为PA 的中点，则PA CM ⊥，………8分 且360sin == PC CM ，PMC ∆的面积为232312121=××=⋅=∆CM PM S PMC . 因此，三棱锥BMC P −的体积为1322
33131=××=⋅=
∆−AB S V PMC BMC P . …………………………12分
20．（12分） 解：（1）当1a =时，()(sin cos )x f x x x x e ′=−−⋅，则()01f ′=−，………2分
又(0)1f =−，则()f x 在0x =处的切线方程为：1y x +=
−，即10x y ++=．……4分 （2）()(sin cos 1)x f x ax x x a e ′=−−+−⋅ ，
又0x e >，设()sin cos 1g x ax x x a =−−+−，()0f x ′∴=
，()0g x ∴=
()cos sin 4g x a x x x a π ′=−+−+
，………………………6分 因(0,)x π∈
(4x π
−∈−
， 又1a ≥，故()0g x ′≥对(0,)x π∈恒成立，即()g x 在区间()0,π单调递增；…………8分 又(0)2g a =−，()(1)0g a ππ=+>；
故当12a ≤<时，(0)20g a =−<，此时()f x ′在区间()0,π内恰好有1个零点．…10分 当2a ≥时，(0)20g a =−≥，此时()f x ′在区间()0,π内没有零点； 综上结论得证．…………………………12分
21.（12分）
解：（1）由题意知2a =，…………………………2分
将P 点坐标代入椭圆方程22
221x y a b +=得2
91414b +=
，解得b = 所以椭圆方程为22
143
x y +=.…………………………4分 （2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为0，设直线AB 为1x my =
+， 代入椭圆方程得()22
34690m y my ++−=. 设()()1122,,,A x y B x y ，则
12122269,3434m y y y y m m −−+==++，……………6分 所以AB 的中点坐标为2243,3434m m m − ++
，
所以()
22212134m AB y m +=−=+.………………8分 因为G 是ABQ ∆的外心，
所以G 是线段AB 的垂直平分线与线段AQ 的垂直平分线的交点，
AB 的垂直平分线方程为22343434m y m x m m +=−− ++
， 令0y =，得21
34x m =+，即21,034G m
+ ，所以22221
3313434m GF m m +=−=++，…………………………10分 所以()
22222121||1234433334
m AB m m GF m ++===++，所以2
||AB GF 为定值，定值为4.……………………12分 （二）选考题：
22.（10分）
解：（1）将曲线C 的参数方程 +=+=ααsin 3cos 1y x ，消去参数α， 得1)3()1(22=−+−y x .…………………………2分 将θρcos =x 及θρsin =y 代入上式,得03sin 32cos 22=+−−θρθρρ.…………4分 （2）依题意由知
∈2,60ππθ. 将0θθ=代入曲线C 的极坐标方程,
得2002cos sin 30ρρθθ−−+=
. 设),(),,(022011θρθρP P ,则0021sin 32cos 2θθρρ+=+，321=ρρ.…………6分 所以 +=+=+=+=+6sin 343sin 32cos 2111100021212121
πθθθρρρρρρOP OP .……8分 因为 ∈2,60ππθ,所以 ∈+32,360πππθ,则 ∈ +34,3326sin 340πθ, 所以
2111OP OP +的取值范围为
34,332.…………………………10分 23. （10分）
（1
3≤.
（2）证明：9412ab bc ac abc ++≥.
证明：（1）因为a ，b 为正数，所以a b +≥
同理可得b c +≥，a c +≥，……………………2分
所以()2a b c ++≥+ 当且仅当1a b c ===时，等号成立
3+≤. …………………………5分 （2）要证9412ab bc ac abc ++≥，只需证14912a b c ++≥ 即证()14936a b c a b c ++++≥
， 即证499414936a b a c b c b a c a c b
++++++++≥， 即证499422a b a c b c b a c a c b
+++++≥.
因为44a b b a
+≥=，96a c c a +≥=，9412b c c b +≥=， ………………8分 所以499422a b a c b c b a c a c b
+++++≥， 当且仅当12
a =，1
b =，32
c =时，等号成立，从而9412ab bc ac abc ++≥得证. …………………………10分。