七年级数学下册第5章相交线与平行线5.1.1_5.1.2相交线垂线学案新版新人教版

5.1.1-2 相交线、垂线
班级姓名
【学习目标】
在两条直线相交的基础上理解邻补角、对顶角的概念，掌握它们的特征并会识别；了解垂直概念，能说出垂线的性质，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线；掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.
【学习过程】
一、自主探究
1. 操作：在下面空白处，用直尺画出两条相交的直线.
2.(1)在你画出的相交线图形中，共有哪几个角？分别表示出来。

(2)这四个角两两相配，共构成几对角？分别将它们标出来。

(3)观察图形，上面各对角之间存在怎样的位置、大小关系？学生根据观察和度量完成下表：
两条直线相交所形成的角分类位置关系数量关系
3.如果改变的大小，会改变它与其它角的位置关系和数量关系吗？为什么？
4.对顶角有什么性质？写出你的推理过程.
二、拓展提升
探究操作一：画出三条直线交于一点，找出对顶角和邻补角.
探究操作二：作出两条直线相交，并且其中的一个角是90°.
1.这是两条直线相交的特殊情形，我们给它取一个名字，________.
两条直线相交，所成四个角中有一个角是_____角时，我们称这两条直线__________其中一条直线是另一条的_____，他们的交点叫做_____.
2．表示方法：
垂直用符号“⊥ ”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为__________________，并在图中任意一个角处作上直角记号.
3.作图：
根据定义，我们知道要想让两条直线垂直，只要保证有一个角是90°即可.
(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.
思考问题：怎样画图？能画出几条关于L的垂线？
L
(2)经过直线L外一点A画直线L的垂线,这样的垂线能画出几条?从中你又得出什么结论?
A .
L
学生通过画图操作,得出垂线性质:
4.操作练习：如图根据下列语句画图:
(1)过点P画射线MN的垂线,Q为垂足;
(2)过点P画射线BN的垂线,交射线BN反向延长线于Q点;
(3)过点P画线段AB的垂线,交线AB延长线于Q点.
P
M A N
P P
B
A
5. 如图，连接直线l外一点P与直线l上各点O，A,B,C,……,其中l
PO （我们称PO为点P到直线l的垂线段）。

比较线段PO、PA、PB、PC……的长短，这些线段中，哪一条最短？
P
(1)O D C B A (2)
O D C
B
A E
(3)
O D C
B
A 6.___________________________________________________叫做点到直线的距离。

三、达标练习
1.若AOC ∠： AOE ∠=2：3，
130=∠EOD ，则BOC ∠是多少度？
2.如图1,OA ⊥OB,OD ⊥OC,O 为垂足,若∠AOC=35°,则∠BOD=________.
3.如图2,AO ⊥BO,O 为垂足,直线CD 过点O,且∠BOD=2∠AOC,则∠BOD=________.
4.如图3,直线AB 、CD 相交于点O,若∠EOD=40°,∠BOC=130°,那么射线OE 与直线AB 的位置关系是_________.
5.如图所示，有两条笔直的高速公路l 和m ，点P 为公路l 上的一个出口，现要经过点P 建一连接两高速公路的一段通道，使从出口到m 的距离最短，应怎样施工？画出施工图.
四、拓展练习
6.已知:如图,直线AB 、OC 交于点O,OD 平分∠BOC,OE 平分∠AOC.试判断OD 与OE 的位置关系.
【学习评价】
．
Ｐl m E
D C B
A
参考答案：
达标练习1.160° 2. 145° 3.60° 4. 相互垂直 5.
拓展练习 6.相互垂直
．
Ｐ
l m
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．如图，过边长为1的等边ABC 的边AB 上一点，作PE AC ⊥于,E Q 为BC 延长线上一点，当PA CQ =时，连接PQ 交AC 于D ，则DE 的长为（ ）
A ．
13
B ．
12
C ．
23
D ．
34
【答案】B
【解析】过P 作BC 的平行线交AC 于F ，结合已知条件易证APF 是等边三角形，由等边三角形的性质及PA CQ =可得PF CQ =．利用AAS 证明PFD ≌QCD ∆，根据全等三角形的性质可得FD CD =．利用等腰三角形三线合一的性质可得AE EF =，由此可得1
2
ED AC =
，从而求得DE 的长. 【详解】过P 作BC 的平行线交AC 于F ，
∴Q FPD ∠=∠． ∵ABC 是等边三角形，
∴60APF B ︒∠=∠=， 60AFP ACB ︒∠=∠=，
∴APF 是等边三角形， ∴AP PF =．
∵AP CQ =，∴PF CQ =． 在PFD 和QCD ∆中，
∵FPD Q PDF QDC PF CQ ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴PFD ≌QCD ∆， ∴FD CD =．
∵PE AC ⊥于E ， APF 是等边三角形， ∴AE EF =，
∴AE DC EF FD +=+， ∴1
2
ED AC =
． ∵1AC =，∴12
DE =． 故DE 的长为12
． 故选B. 【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形，利用等边三角形的性质建立等边三角形边长与ED 之间的关系是解决问题的关键．
2．下列变形错误的是（ ） A ．若510->x ，则2x <- B ．若x y >，则22x y > C ．若30x -<，则3x > D ．若a b <，则
2211
a b
c c <++
【解析】根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】A 、若510->x ，则2x <-，正确，该选项不符合题意；
B 、若x y >，则22x y >不一定正确，如：12>-，但()22
12<-，该选项符合题意；
C 、若30x -<，则3x >，正确，该选项不符合题意；
D 、∵210c +>，∴a b <，则2211
a b
c c <++，正确，该选项不符合题意； 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了不等式的基本性质．解题的关键是掌握不等式的基本性质．
3．上海世博会于2010年5月1日隆重开幕，据预测，在世博会期间，参观人数将达到7000万人次，用科学记数法表示为( ) A ．7710⨯ B ．6710⨯
C ．57010⨯
D ．3710⨯
【答案】A
【解析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于1000万有8位，所以可以确定n=8-1=1． 【详解】解：1000万=10000000=1×101． 故选：A ． 【点睛】
此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a 与n 值是关键． 4．把方程23x y -=改写成用含x 的式子表示y 的形式，正确的是（ ） A ．23x y =+ B ．3
2
y x += C ．23y x =- D ．32y x =-
【答案】C
【解析】将x 看做常数移项求出y 即可得． 【详解】由2x-y=3知2x-3=y ，即y=2x-3，
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x 看做已知数求出y ． 5．对于实数x ，我们规定[]
x 表示不大于x 的最大整数，例如
，，
，若x 4510+⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
，则x 的取值可以是（ ） A ．40 B ．45
C ．51
D ．56
【答案】C
【解析】解：根据定义，得x 4
5<5110
+≤+ ∴50x 4<60≤+ 解得：46x<56≤． 故选C ．
6．下列方程是二元一次方程的是（ ） A ．230x y -= B ．10x -=
C ．23x y -=
D ．
1
1y x
+= 【答案】A
【解析】二元一次方程必须满足以下三个条件：(1)方程中只含有2个未知数；(2)含未知数的项的最高次数为一次；(3)方程是整式方程,根据依次判断即可. 【详解】A ：符合二元一次方程的要求； B ：只含有一个未知数，故不符合题意；
C ：含有两个为未知数，但是最高次是2次，故不符合题意；
D ：该方程式不是整式，故不符合题意； 故选A 【点睛】
正确理解二元一次方程的定义是解决本题的关键，难度较小 7．若m 为整数，则2m m +一定能被（ ）整除 2345
【解析】2(1)m m m m +=+，且m 为整数故m 2＋m 可以看作是两个连续整数的积． 【详解】解析：2(1)m m m m +=+， m 为整数，
m ∴，1m +中必有1个偶数， ()1m m ∴+能被2整除．
故选：A 【点睛】
本题考查分解因式的实际运用，解题的关键是注意两个连续整数中必有一个是偶数． 8．如图，已知直线a ∥b ，∠1=80°，则∠2的大小为（ ）
A ．60°
B ．80°
C ．100°
D ．90°
【答案】C
【解析】通过观察1∠的对顶角与2∠是同旁内角关系，又因为两直线平行，同旁内角互补，进而得到2∠的度数.
【详解】
如图所示： a ∥b
∴23180∠+∠=（两直线平行，同旁内角互补）
∠=∠(对顶角相等)
13
∴12180
∠+∠=（等量代换）
∠=
180
∠=-∠=
即21801100
故答案为C
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.
9．在学习三角形的高线时，小明利用直角三角板的直角，作△ABC中AC边上的高线，下列三角板的摆放位置正确的是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根据三角形高线的定义即可得出结论．
【详解】解：A，B，D都不是△ABC的AC边上的高线，
故选：C．
【点睛】
本题考查作图-基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．
10．如图是用4个相同的小长方形与一个小正方形密铺而成的大正方形图案．已知大正
方形的面积为64，小正方形的面积为9，若用a，b分别表示小长方形的长与宽（其中a
＞b），则b
a
的值为（）
A．9
64
B．
3
8
C．
2
5
D．
5
11
【答案】D
【解析】先根据大小正方形的面积，求得其边长，再根据图形得关于a和b的二元一次方程组，解得a和b的值，则易得答案．
【详解】∵大正方形的面积为64，小正方形的面积为9
∴大正方形的边长为8，小正方形的边长为3
由图形可得：
8
3 a b
a b
+=⎧
⎨
-=⎩
解得：
11
2
5
2 a
b
⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
∴b
a ＝
5 11
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用二元一次方程组求解弦图问题，根据题意，正确列式，是解题的关键．二、填空题题
11．如图，在△ABC中，∠ACB=120°，按顺时针方向旋转，使得点E在AC上，得到新的三角形记为△DCE．则①旋转中心为点__；②旋转角度为__．
【答案】C 240°
【解析】解：∵在△ABC中，∠ACB=120°，按顺时针方向旋转，使得点E在AC上，得到新的三角形记为△DCE，
∴旋转中心为点C，旋转角度为：360°-120°=240°．
故答案为①C；②240°．
12．已知点A(﹣2，0)，B(3，0)，点C在y轴上，且S△ABC=10，则点C坐标为_____．【答案】（0，4）或（0，－4）
【解析】设C(0，y),
BC
1
2
y=10,
5|y|1
2
=10,
y4
=±. C(0，4)或（0，-4）.
故答案为(0，4)或（0，-4）.
13．已知在平面直角坐标系中，点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点P的坐标为__．
【答案】(3,2)
-
【解析】根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值解答.
【详解】解：点P在第二象限，且到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴点P的横坐标是3-，
纵坐标是2，
∴点P的坐标为(3,2)
-．
故答案为：(3,2)
-．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
14．某校开展“未成年人普法”知识竞赛，共有20道题，答对一题记10分，答错（或不答）一题记5
-分.小明参加本次竞赛的得分超过100分，他至少答对了_____题；【答案】1
【解析】根据竞赛得分=10×答对的题数-5×未答对（不答）的题数和本次竞赛得分要超过100分，列出不等式，再求解即可．
【详解】设要答对x道，根据题意得：
10x-5×（20-x）＞100，
10x-100+5x＞100，
15x＞200，
解得x＞40
3
，
则他至少要答对1道；
故答案为：1．
【点睛】
此题考查了一元一次不等式的应用，读懂题意，找到关键描述语，找到所求得分的关系式是解决本题的关键．
15．9的算术平方根是．
【答案】1．
【解析】根据一个正数的算术平方根就是其正的平方根即可得出.
【详解】∵239
=，
∴9算术平方根为1．
故答案为1．
【点睛】
本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键.
16．对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆
b=
a b
ab a b
≥
⎪⎩，＜
，例如4◆1，因为4＞1．所
以4◆
．若x，y满足方程组
48
229
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，则x◆y=_____________.
【答案】3
【解析】分析：根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．
详解：由题意可知：
48
229
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，
解得：
5
12 x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
．
∵x＜y，∴原式=2×12=3．
故答案为：3．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解法，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法以及正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．
17．如果x2+kx+1是一个完全平方式，那么k的值是___________.
【答案】k=±1．
【解析】试题分析：这里首末两项是x和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x的系数和常数1的积的1倍，故k=±1．
解：中间一项为加上或减去x的系数和常数1的积的1倍，
∴k=±1．
故答案为k=±1．
三、解答题
18．已知关于x、y的二元一次方程组
231
22
x y k
x y
+=-
⎧
⎨
+=-
⎩
的解满足x+y＞1．求k的取值范
围．
【答案】k＞2．
【解析】分析：①+②求出x+y=k-1，根据已知得出不等式k-1＞1，求出即可．
详解：
231
22
x y k
x y
＝①
＝②
+-
⎧
⎨
+-
⎩
∵①+②得：2x+2y=2k-2，∴x+y=k-1，
∵关于x、y的二元一次方程组
231
22
x y k
x y
+-
⎧
⎨
+-
⎩
＝
＝
的解满足x+y＞1，
∴k-1＞1，
∴k的取值范围是k＞2．
点睛：本题考查了二元一次方程组的解和解一元一次不等式的应用，关键是能得出关于k的不等式．
19．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B，CB=CE.求证：CE//AD.
【答案】①∠B=∠CEB ②∠A=∠CEB ③CE//AD
【解析】试题分析：先根据等边对等角，得出∠B=∠CEB，再根据等量代换，即可得出∠A=∠CEB，进而判定CE∥AD．
试题解析：
∵CB=CE，
∴∠B=∠CEB，
又∵∠A=∠B，
∴∠A=∠CEB，
∴CE∥AD．
20．如图，AB 垂直平分线段CD （AB CD >），点E 是线段CD 延长线上的一点，且BE AB =，连接AC ，过点D 作DG AC ⊥ 于点G ，交AE 的延长线与点F .
（1）若CAB α∠= ，则AFG ∠=______（用α的代数式表示）；
（2）线段AC 与线段DF 相等吗？为什么？
（3）若6CD =，求EF 的长.
【答案】（1）45°-α；（2）相等，理由见解析；（3）2【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAE=∠AEB=45°，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接AD ，根据线段垂直平分线的性质得到AC=AD ，求得∠ADC=∠ACB=α，于是得到AC=DF ；
（3）根据已知条件得到BD=CB=3，过F 作FH ⊥CE 交CE 的延长线于H ，得到△EHF 是等腰直角三角形，求得FH=HE ，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】（1）∵AB ⊥CD ，
∴∠ABE=90°，
∵AB=BE ，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∵∠CAB=α，∠CDG=90°-（90°-α）=α=∠EDF ．
∴∠AFG=∠AED-∠EDF=45°-α；
故答案为：45°-α；
（2）相等，
证明：连接AD，
∵AB垂直平分线段CD，
∴AC=AD，
∴∠ADC=∠ACB=90°-α，
∴∠DAE=∠ADC-45°=45°-α，
∴∠DAE=∠AFD，
∴AD=DF，
∴AC=DF；
（3）∵CD=6，
∴BD=CB=3，
过F作FH⊥CE交CE的延长线于H，
则△EHF是等腰直角三角形，
∴FH=HE，
∵∠H=∠ABC=90°，∠CAB=∠CDG=∠FDH ，AC=AD=DF ，
∴△ACB ≌△DFH （AAS ），
∴FH=CB=3，
∴EF=2FH=32．
【点睛】
本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
21．为了让学生拓展视野、丰富知识，加深与自然和文化的亲近感,增加对集体生活方式和社会公共道德的体验,我区某中学决定组织部分师生去随州炎帝故里开展研学旅行活动.在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生，就有一位老师少带4个学生.为了安全,既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师.现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示.
（1）参加此次研学旅行活动的老师有 人；学生有 人；租用客车总数为 辆；
（2）设租用x 辆乙种客车，租车费用为w 元，请写出w 与x 之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下，学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由.
【答案】（1）16；284；8；（2）1002400w x =+；（3）共有3种租车方案：方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆；方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆；方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆；最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆；
【解析】（1）设出老师有x 名，学生有y 名，得出二元一次方程组，解出即可； （2）设用x 辆乙，则甲种客车数为：()8x -辆，代入计算即可
（3）设租用x 辆乙种客车，则甲种客车数为：（8-x ）辆，由题意得出400x+300（8-x ）
≤3100，得出x 取值范围，分析得出即可．
【详解】(1)设老师有x 名，学生有y 名。

依题意，列方程组1712
184x y x y =-⎧⎨=+⎩ ，
解得16284
x y =⎧⎨=⎩， ∵每辆客车上至少要有2名老师，
∴汽车总数不能超过8辆；
又要保证300名师生有车坐,汽车总数不能小于300
42=50
7(取整为8)辆，
综合起来可知汽车总数为8辆；
答：老师有16名，学生有284名；租用客车总数为8辆。

（2）租用x 辆乙，∴甲种客车数为：()8x -辆，
()40030081002400w x x x ∴=+-=+.
（3）租车总费用不超过3100元，租用乙种客车不少于5辆，
()40030083100x x ∴+-，解得：7x ，
为使300名师生都有座，()42308300x x ∴+-，
解得：5x ≥，
57,x x ∴取整数为5,6,7.
∴共有3种租车方案：
方案一：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆；
方案二：租用甲种客车2辆，乙种客车6辆；
方案三：租用甲种客车1辆，乙种客车7辆；
由（2）W 1002400,k 1000x =+=>，W 随x 的减小而减小，
57x 且x 为整数，∴当5x =时，W 2900=最小元，
故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车3辆，乙种客车5辆；
【点睛】
本题考查二元一次方程组的应用，一次函数以及一元一次不等式的应用，正确列出式子是解题关键.
22．解方程（或方程组）
（1）24(1)12x -=；
（2）4143314
312x y x y +=⎧⎪--⎨-=⎪⎩ 【答案】（1）x =1
x =1
（2）3114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
． 【解析】分析：（1）方程整理后，开方即可求出解；
（2）方程组整理后，利用加减消元法求解即可．
详解：（1）方程整理得：（x ﹣1）2=3，开方得：x ﹣1
x ﹣1=
x =1
x =1
（2）方程组整理得：414342x y x y +=⎧⎨-=-⎩
①②，①+②得：4x =12，解得：x =3，把x =3代入①得：y =114，则方程组的解为3114x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
． 点睛：本题考查了平方根和解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
23．某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A 、B 两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨.
(1)该企业有几种购买方案?
(2)哪种方案更省钱，说明理由.
【答案】（1）有2种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备；第二种是购买4台A 型污水处理设备，4台B 型污水处理设备；
(2) 购买3台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备更省钱. 理由见解析.
【解析】()1设该企业购进A 型设备x 台，则购进B 型设备()8x -台，根据企业最多支出89万元购买设备且要求月处理污水能力不低于1380吨，即可得出关于x 的一元一次不等式组，解之取其整数值即可得出结论；
（2）直接计算x=3和x=.5时的总价，进行比较即可.
【详解】解：设购买污水处理设备A 型号x 台，则购买B 型号(8-x)台，
根据题意，得
1210(8)89200160(8)1380
x x x x +-≤⎧⎨+-≥⎩ 解这个不等式组，得：2.5≤x≤4.5.
∵x 是整数
∴x=3或x=4.
当x=3时，8-x=5；当x=4时，8-x=4.
答：有2种购买方案：第一种是购买3台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备；第二种是购买4台A 型污水处理设备，4台B 型污水处理设备；
(2)当x=3时，购买资金为12×3+10×5=86(万元)，
当x=4时，购买资金为12×4+10×4=88(万元).
因为88>86，
所以为了节约资金，应购污水处理设备A 型号3台，B 型号5台.
答：购买3台A 型污水处理设备，5台B 型污水处理设备更省钱.
【点睛】
本题考查了一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质，解题的关键是：()1根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；()2根据总价=单价⨯数量，进行比较即可. 24．教科书中这样写道:“我们把多项式222a ab b ++及322a ab b -+叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形:先添加一个适当的项使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变这种方法叫做配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求化数式最大值.最小值等.
例如:分解因式
()()()()()222()2321414121231x x x x x x x x x +-=++-=+-=+++-=+-；例
如求代数式2246x x +-的最小值.()()2
22246223218x x x x x +-=+-=+-.可知当1x =-时，2246x x +-有最小值，最小值是8-，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式:245m m --= _____
（2）当,a b 为何值时，多项式22468a b a b +-++有最小值，并求出这个最小值.
（3）当,a b 为何值时.多项式22222427a ab b a b -+--+有最小值并求出这个最小值
【答案】（1）()()51m m -+；（2）2,3a b ==-时，最小值为-5；（3）4,3a b ==，最小值为17
【解析】（1）根据阅读材料，先将m 2−4m−5变形为m 2−4m ＋4−9，再根据完全平方公式写成（m−2）2−9，然后利用平方差公式分解即可；
（2）利用配方法将多项式22468a b a b +-++转化为()()22
235a b ++--，然后利用非负数的性质进行解答；
（3）利用配方法将多项式22222427a ab b a b -+--+转化为
22(1)(3)17a b b --+-+，然后利用非负数的性质进行解答．
【详解】（1）m 2−4m−5
＝m 2−4m ＋4−9
＝（m−2）2−9＝
（m−2＋3）（m−2−3）＝
（m ＋1）（m−5）．
故答案为()()51m m -+；
（2）22468a b a b +-++
＝a 2−4a ＋b 2＋6b ＋8
＝a 2−4a ＋4＋b 2＋6b ＋9-5
＝()()22235a b ++--，
当a ＝2，b ＝−3时，22468a b a b +-++有最小值，最小值为-5；
（3）∵22222427a ab b a b -+--+
=2222(1)2227a a b b b b b -++-+-+
=2222(1)21626a a b b b b b -+++++-+
=2222(1)(1)6917a a b b b b -++++-++
=22(1)(3)17a b b --+-+
∴当a ＝4，b ＝3时，多项式22222427a ab b a b -+--+有最小值1．
【点睛】
此题考查了因式分解的应用，以及非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
25．在解关于x，y的方程组
(1)18
(2)1
m x ny
n x my
+-=
⎧
⎨
++=
⎩
①
②
时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，
也可以用①×2+②×5消去未知数y．（1）求m和n的值；
（2）求原方程组的解．
【答案】（1）
2
5
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
;（2）
1
3
x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
.
【解析】（1）利用①×7﹣②×3消去未知数x得到7（m+1）＝3（n+2），利用①×2+②×5得到﹣2n+5m＝0，然后解关于m、n的方程组即可；
（2）由（1）得到
3518
7212
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
，然后利用加减消元法解方程组．
【详解】解：（1）根据题意得
7(1)3(2)
250
m n
n m
+=+
⎧
⎨
-+=
⎩
，解得
2
5
m
n
=
⎧
⎨
=
⎩
；
（2）原方程组为
3518 7212
x y
x y
-=
⎧
⎨
+=
⎩
①
②
，
①×7﹣②×3得﹣35y﹣6y＝123，解得y＝﹣3，
把y＝﹣3代入②得7x﹣6＝1，解得x＝1，
所以原方程组的解为
1
3 x
y
=
⎧
⎨
=-
⎩
．
【点睛】
考核知识点：解二元一次方程组.掌握方程组的一般解法是关键.
七年级下学期期末数学试卷
一、选择题（每题只有一个答案正确）
1．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD 是一个筝形，其中AD CD =，AB CB =，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：
AC BD ⊥①；12AO CO AC ==②；ABD ③≌CBD ； ④四边形ABCD 的面积1
2AC BD =⨯其中正确的结论有( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】D
【解析】分析：先证明△ABD 与△CBD 全等，再证明△AOD 与△COD 全等即可判断．
详解：在△ABD 与△CBD 中，
AD CD
AB BC DB DB
⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，
∴△ABD ≌△CBD （SSS ），
故③正确；
∴∠ADB=∠CDB ，
在△AOD 与△COD 中，
AD CD
ADB CDB OD OD
⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，
∴△AOD ≌△COD （SAS ），
∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC ，
∴AC ⊥DB ，
故①②正确；
四边形ABCD 的面积=S △ADB+S △BDC=12DB×OA+12DB×OC=12
AC•BD ， 故④正确；
故选D ．
点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS 证明△ABD 与△CBD 全等和利用SAS 证明△AOD 与△COD 全等．
2．如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点E ，D ，B ，F 在同一条直线上．若∠ CBD=55°，则∠ EDA 的度数是( )
A ．145︒
B ．125︒
C ．100︒
D ．55︒
【答案】B 【解析】根据平行线的性质求得∠ADF 的度数，则∠ADE 即可求得．
【详解】∵AD ∥CB ，
∴∠CDB=∠ADF=55°，
∴∠ADE=180°-∠ADF=180°-55°=125°．
故选B ．
【点睛】
本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等．
3．用加减法解方程组235327x y x y -=⎧⎨-=⎩
①②，下列解法错误的是（ ） A ．()23⨯-⨯-①②，消去y B ．23⨯-⨯①②，消去y
C ．()32⨯-⨯①＋②，消去x
D ．32⨯-⨯①②，消去x
【答案】A
【解析】根据加减消元法判断即可. 【详解】解：A 选项，2①×得4610x y -=，()3⨯-②得9621x y -+=-，()23⨯-⨯-①②得131231x y -=，没有消去y ，故A 错误；
B 选项，2①×得4610x y -=，3⨯②得9621x y -=，23⨯-⨯①②得511x -=-，消去y ，故B 正确；
C 选项，(3)⨯-①得6915x y -+=-，2⨯②得6414x y -=，()32⨯-⨯①＋②得51y =-，消去x ，故C 正确；
D 选项，3⨯①得6915x y -=，2⨯②得6414x y -=，32⨯-⨯①②得51y -=，消去x ，故D 正确.
故选：A
【点睛】
本题考查了加减消元法，灵活运用加减消元是解题的关键.
4．下列算式能用平方差公式计算的是( )
A ．(2a+b)(2b ﹣a)
B ．(﹣2x ﹣1)(﹣2x ﹣1)
C ．(3x ﹣y)(﹣3x+y)
D ．(﹣m ﹣n)(﹣m+n)
【答案】D
【解析】分析：根据平方差公式：()()22a b a b a b +-=-的特征可知D 选项正确. 详解：A 选项（2a+b ）(2b-a )不符合平方差公式，故A 错；
B 选项两个整式中各项均相同，不符合平方差公式，故B 错；
C 选项两个整式中各项均互为反项，不符合平方差公式，故C 错；
D 选项中两个整式中一项是相同项，另一项互为相反项，符合平方差公式，故D 正确.
故选D.
点睛：平方差公中的两个整式都是二项式，且有一个相同项，一个相反项，抓住平方差公式的特征是判断的关键.
5．常见的“幂的运算”有：①同底数幂的乘法，②同底数幂的除法，③幂的乘方，④积的乘方．在“（a2·a3）2=（a5）2=a10”的运算过程中，运用了上述幂的运算中的（）（填序号）．
A．①②B．②③C．③④D．①③
【答案】D
【解析】根据幂的乘方法则：底数不变，指数相乘，()n m mn
=（m，n是正整数）；同
a a
底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，m n m n
⋅=（m，n是正整
a a a+
数）进而得出答案即可.
【详解】解：（a2·a3）2
=（a5）2（利用同底数幂的乘法得到）
=a10（利用幂的乘方得到）
故运算过程中，运用了上述的运算中的①和③.
故答案为：D
【点睛】
本题主要考查了幂的乘方与积的乘方和同底数幂的乘法运算，根据定义得出是解题关键. 6．不等式﹣2x﹣1≥1的解集是（）
A．x≥﹣1 B．x≤﹣1 C．x≤0D．x≤1
【答案】B
【解析】试题分析：先移项合并同类项，然后系数化为1求解．
解：移项合并同类项得：﹣2x≥2，
系数化为1得：x≤﹣1．
故选B．
7．如图，AB∥EF，则α、β、γ的关系是（）
A ．β+γ﹣α＝90°
B ．α+β+γ＝360°
C ．α+β﹣γ＝90°
D ．β＝α+γ
【答案】B 【解析】如图，作GH ∥AB ．利用平行线的性质即可解决问题．
【详解】如图，作GH ∥AB ．
∵AB ∥EF ，GH ∥AB ，
∴GH ∥EF ，
∴∠BCG +∠CGH ＝180°，∠FDG +∠HGD ＝180°，
∴∠BCG +∠CGH +∠HGD +∠FDG ＝360°，
∴α+β+γ＝360°，
故选B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题，属于中考常考题型．
8．如图，DF 是BDC ∠的平分线，//AB CD ，若118ABD ∠=，则1∠的度数为（ ）
A ．29
B ．31
C ．35
D ．40
【答案】B
【解析】根据平行线的性质得出∠BDC ，进而利用角平分线的定义得出∠ADC ，利用平行线的性质解答即可．
【详解】∵,118A AB C BD D ∠=∥
∴62BDC ∠=
∵DF 是∠BDC 的平分线，
∴31ADC ∠=
∵//AB CD
∴131∠=
故选B.
【点睛】
此题考查平行线和角平分线的性质，解题关键在于掌握运算法则.
9．如图，动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点（1，1），第2次接着运动到点（2，0），第3次接着运动到点（3，2），…，按这样的运动规律，经过第2019次运动后，动点P 的坐标是（ ）
A ．（2018，0）
B ．（2018，2）
C ．（2019，2）
D ．（2019，0）
【答案】C 【解析】根据已知提供的数据从横纵坐标分别分析得出横坐标为运动次数，纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮这一规律，进而求出即可．
【详解】根据动点P 在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点(1,1)，
第2次接着运动到点(2,0)，第3次接着运动到点(3,2)，
∴第4次运动到点(4,0)，第5次接着运动到点(5,1)，…，
∴横坐标为运动次数，经过第2019次运动后，动点P的横坐标为2019，
纵坐标为1，0，2，0，每4次一轮，
∴经过第2019次运动后，动点P的纵坐标为：2019÷4=504余3，
故纵坐标为四个数中第3个，即为2，
∴经过第2019次运动后，动点P的坐标是：(2019,2)，
故答案为：C.
【点睛】
本题考查点的运动规律，解题的关键是读懂题意，得到规律
10．如图，把6张长为a、宽为b（a＞b）的小长方形纸片不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示，设这两个长方形的面积的差为S．当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a、b满足（）
A．a＝1.5b B．a＝2.5b C．a＝3b D．a＝2b
【答案】D
【解析】表示出左上角与右下角部分的面积，求出之差，根据差与BC无关即可求出a
与b的关系式．
【详解】解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF=a，右下角阴影部分的长为PC，宽为2b，
∵AD=BC，即AE+ED=AE+4b，BC=BP+PC=a+PC，
∴AE+4b=a+PC，
∴AE=a-4b+PC，
∴阴影部分面积之差S=AE•AF-PC•CG=aAE-2bPC=a（a-4b+PC）-2bPC=（a-2b）PC+a2-4ab，则a-2b=0，即a=2b．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是结合图形列出面积差的代数式，并熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则．
二、填空题题
11．已知关于x的不等式组
{
321
x a
x
-≥
-≥-
的整数解共有5个，则a的取值范围
是．
【答案】-3＜a≤-1
【解析】∵解不等式组得：a≤x≤1，
∵不等式组的整数解有5个,
∴整数解为：1，1，0，-1，-1，
∴-3＜a≤-1．
故答案为-3＜a≤-1．
12．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B等于_____．
【答案】70°或20°．
【解析】此题根据△ABC中∠A为锐角与钝角分为两种情况，分情况讨论即可．【详解】解：根据△ABC中∠A为锐角与钝角，分为两种情况：
①当∠A为锐角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，
∴∠A＝9050
︒-︒=40°，
AB AC
=
∴∠B＝∠C
∴∠B＝18018040
70
22
A
︒-∠︒-︒
==︒；
②当∠A为钝角时，
∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得到锐角为50°，∴∠1＝9050
︒-︒=40°，
∴∠BAC＝180118040
︒-∠=︒-︒=140°，
AB AC
=
∴∠B＝∠C＝180140
20
2
︒-︒
=︒．
故答案为：70°或20°．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质,分类讨论的应用是正确解答本。