广东省广州市海珠区2021-2021学年第一学期期末联考高一数学试题(PDF版含答案)

- 第一学期期末联考试题
高一数学
本试卷共 4 页，共 22 小题，满分 150 分，考试用时 120 分钟。

注意事项：
2021.01.20
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1．设集合 A = {2, 3, 4, 5, 6}， B = {x | x = 2k +1, k ∈ Z } ，则 A
A ．{2, 3}
B ．{3, 4}
C ．{3, 5}
D ．{3, 6}
2．已知角α 4 3 的终边与单位圆的交点为( , 5 5
) ，则
sin α - cos α = sin α + cos α A ． -7 B ． - 1 7 C ． 1 7
D ． 7
3．命题“ ∀x ∈ R ， x +1 ≥ 0 ”的否定是 A ． ∀x ∈ R ， x +1 ≤ 0
C ． ∃x ∈ R ， x +1 ≤ 0
4． sin15
B ． ∀x ∈ R ， x +1 < 0 D ． ∃x ∈ R ， x +1 < 0 A ． - 1
2
B ． -
3
2
C ． 1
2
D ．
3
2
5．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v （单 位：m / s ）与耗氧量单位数O 的函数关系式为v = 1
log
2 O
3 k
（ k 为常数）
．若一条鲑鱼静 止时耗氧量O 为100 个单位数，那么鲑鱼的耗氧量O 是8100 个单位数时，它的游速为
A ．1m / s
B ．
3 m / s C ． 2m / s D ． 2 9 m / s 2 6．已知函数 f (x ) = ln x - cos x 的零点为 x 0 ，则 x 0 所在的区间是 A ． (0,1)
B ． (1, 2)
C ． (2, 3)
D ． (3, 4)
7．已知sin( π + α ) = 12 , π < α < 2π
，则cos α 的值为
3 13 6 3
A ．
12 3 - 5 26
B ．
-12 3 + 5
26
C ．
12 - 5 3 26
D ．
-12 + 5 3
26
8．已知正数a , b 满足 a 9 ⨯ b 27 = 3，则ab 的最小值为 A ． 6
B ．12
C ．18
D ． 24
B = cos 75 - cos15 sin 75 =
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分. 9. 若a , b , c 为实数，则下列命题正确的是 A ．若a > b ， c > d ，则a - c > b - d C ．若a > b ，则 b < a
a b
B ．若a < b ，则2a < 2b
D ．若a > b ，则a (c 2 +1) > b (c 2 +1)
10.“不等式kx 2
+ kx + 3 > 0 对一切实数 x 都成立”的充分不必要条件是
4
A ． k < 0或k > 3
B ． 0 ≤ k < 3
C ． 0 < k < 3
D ． k = 0
11．下图是函数 f (x ) = A sin(ωx + ϕ)(ω > 0, 0 < ϕ < π) 的部分图象，则
A ．函数解析式为 f (x ) = 3sin(2x + π
)
4
B ．函数 f (x )的图象的两条相邻对称轴的距离为 π
4
C ．将函数 f (x )的图象向右平移 π
个单位长度，得到
8
的图象的对应函数是奇函数
D ．将函数 f (x )的图象向左平移 π
个单位长度，得到的图象的对应函数是偶函数
8
12．已知函数 f (x ) = -3a |x |
+ 3 (0 < a < 1) ，则
A ．函数 f (x )有最大值，且在(-∞, 0) 上是增函数
B ．函数 f (x )有最小值，且在(-∞, 0) 上是减函数
C ．方程 f (x ) - m = 0 有两个实数根时， m 的取值范围为(0, 3)
D ．不等式 f (x ) - m < 0 在 x ∈ R 上恒成立时， m 的取值范围为(3, +∞)
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．函数 f (x ) = ln x +
的 定 义 域 为 ．
1- 2x
14．已知集合 A = {x | x < 1, 或 x > 5} ， B = {x | 0 < x < a }，若
范围为
．
R
A ⊆
B ，则实数a 的取值
15. 已知定义域为R 的函数 f (x )在(-∞, 0] 上单调递增，且 f (x )- f (-x ) = 0 ，若
f (1) =- 1 ，则不等式 f (2x -1) ≤ - 1
的解集为
．
2
2
16．如图，在矩形 ABCD 中， AD = 5 ， AB = 20 ，点 E 在 DC 上，点 F 在 AB 上，
AE ⊥ EF ，则∆AEF 的面积的最小值是
． D
E
C
A
F
B
2 2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10 分）
在① sin α
cos α =
2 3 ，② cos 2 α = 4 ，③
tan α
2 α = 2
三个条件中任选一个，
2
2
7
2 7
补充在下面问题中，并对其求解． 1- tan 2
2
问题：若锐角α 满足
，求sin(2π -α ) - cos(π + α ) 的值.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18. (12 分)
1
已知函数 f (x ) = - x .
x
（1）证明：函数 f (x ) 在区间(0, +∞) 上单调递减；
（2）已知 a = f (0.23
),b = f (log 3), c = f (log 5) ，试比较三个数a , b , c 的大小，并
说明理由．
19．(12 分)
已知函数 f (x ) = 2 3 sin x cos x - 2sin 2
x +1. （1）求函数 f (x ) 的最小正周期； （2）求函数 f (x ) 的单调递减区间；
（3）在∆ABC 中，若 A
f ( ) 2 = 2 ， π ≤ B ≤ π ，求cos B + cos C 的取值范围． 6 2
3
1 20.（1
2 分）
已知 f (x ) = 1+ log a (x + 2) (a > 0,且a ≠ 1) ， g (x ) = f (x - 2) （1）若函数 f (x ) 的图象恒过定点 A ，求点 A 的坐标；
（2）若函数 g (x ) 在区间[a , 2a ]上的最大值比最小值大 1
，求a 的值.
2
21．(12 分)
某电动摩托车企业计划在2021年投资生产一款高端电动摩托车．经市场调研测算，生 产该款电动摩托车需投入设备改造费1000 万元，生产该款电动摩托车 x 万台需投入资
⎧mx 2 + 2600x , 0 < x < 4, ⎪
金 P (x ) 万元，且 P (x ) = ⎨5001x 2 - 5010x + 25 生产1万台该款电动摩托车需投
⎪
⎩ x
, x ≥ 4. 入资金3000 万元；当该款电动摩托车售价为5000 （单位：元/台）时，当年内生产的
该款摩托车能全部销售完．
（1）求2021年该款摩托车的年利润 F (x )（单位：万元）关于年产量 x （单位：万台）
的函数解析式；
（2）当2021年该款摩托车的年产量 x 为多少时，年利润 F (x ) 最大？最大年利润是多
少？
（年利润= 销售所得- 投入资金-设备改造费）
22.（12 分）
已知函数 f (x ) = 2x 2
- x + k 与 h (x ) = x 2
- x + k ln x 有相同的定义域． （1）解关于 x 的不等式 f (x ) > 0 ；
（2）若方程 f (x ) = 0 有两个相异实数根 x 1, x 2 （ 0 < x 1 < x 2 ），且h (x ) 在区间[x 1, x 2 ]
上单调递减，证明： h (x 1 ) - h (x 2 ) < - 2k ．
4
（参考结论： ln x < x -1(x ∈ (0,1) ）
4 3 海珠区 2020 学年第一学期期末联考
高一数学参考答案与评分标准
评分说明：
1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C
A
D
B
C
B
A
D
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 3 分.
题号 9 10 11 12 答案 BD
CD
ACD
BC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．
13. (0, 1 ) 14. (5, +∞) 15.{x | x ≤ 0 ， 或 x ≥ 1} 16. 25
2
四、解答题：本大题共 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17.（10 分） 解：选择条件①： 由条件①，得2sin
α
cos α =
4 3
， 2 2 7
所以sin α = .
7
由sin 2 α + cos 2 α = 1 ，
得cos 2
α = 1 ，
49
因为α 是锐角，所以cos α > 0 ，
所以cos α = 1
.
7
因为sin(2π -α ) = - sin α ，
4 3 3 3 α cos(π + α ) = - cos α ，
所以sin(2π -α ) - cos(π + α ) = -sin α + cos α = 1- 4 3 . 7
选择条件②： 由条件②，得
1+ cos α = 4
， 2 7 所以cos α = 1 .
7
由sin 2 α + cos 2 α = 1 ， 得sin
2
α =
48
，
49
因为α 是锐角，所以sin α > 0 ， 所以sin α = .
7
因为sin(2π -α ) = - sin α ，
cos(π + α ) = - cos α ，
所以sin(2π -α ) - cos(π + α ) = -sin α + cos α = 1- 4 3 . 7
选择条件③：
2 tan α 由条件③，得
2 = 4 ，
1- tan 2 α
2
所以 tan α = 4 3 ， sin α
所以
= 4 . cos
由sin 2 α + cos 2 α = 1 ， 得sin
2
α = 48
， cos
2
α = 1
，
49
49
因为α , β 是锐角，所以sin α > 0 ， cos α > 0 ，
所以sin α = 4 3 ， cos α = 1
.
7
7 因为sin(2π -α ) = - sin α ，
cos(π + α ) = - cos α ，
所以sin(2π -α ) - cos(π + α ) = -sin α + cos α = 1- 4 3 . 7
[说明] 求出sin α =
4 3
， cos α = 1
各得 3 分，其中sin 2 α + cos 2 α = 1 记 1 分.
7 7
x x - +
x x > 2 2 2 A
18. (12 分)
解：（1）证明： ∀x 1, x 2 ∈(0, +∞) ，且 x 1 < x 2 ，则
f (x ) - f (x ) = ( 1 - x ) - ( 1 - x ) = (x - x ) + ( 1 - 1 ) 1 2 x 1 x 2 2 1 x x
1 2 1 2 = (x 2 - x 1 ) + ( x 2 - x 1 x x ) = (x - x )(1+ 1 ) .
2 1
x x
1 2 1 2
1
由 x 1, x 2 ∈(0, +∞) ，得 x 1 > 0, x 2 > 0 ，所以1+ 1 2
> 0 ，
由 x 1 < x 2 ，得 x 2 - x 1 > 0 ， 1 所以(x 2 x 1 )(1 ) 0 ，
1 2
所以 f (x 1 ) - f (x 2 ) > 0 ，即 f (x 1) > f (x 2 ) ， 所以，函数 f (x ) 在区间(0, +∞) 上单调递减. （2）因为0 < 0.23 < 1，1 < log 3 ，
所以log 3 > 0.23
.
又因为函数 f (x ) 在区间(0, +∞) 上单调递减， 所以 f (log 3) < f (0.23
) . 因为log 2 5 > log 2 3，
函数 f (x ) 在区间(0, +∞) 上单调递减， 所以 f (log 2 5) < f (log 2 3) ， 综上所述： c < b < a . 19.(12 分)
解：因为 f (x ) = 2 3 sin x cos x - 2sin 2
x +1 = 2 3 sin x cos x + (1- 2sin 2
x )
= 3 sin 2x + cos 2x
= 2sin(2x + π
) .
6
（1）所以 f (x ) 的最小正周期为T =
2π
= π . 2
（2）令 π + 2k π ≤ 2x + π ≤ 3π
+ 2k π ，
2 6 2 得 π + k π ≤ x ≤ 2π
+ k π ， 6 3
所以函数 f (x ) 的单调递减区间为[ π + k π, 2π
+ k π](k ∈ Z ) .
6 3 （3）因为 f ( ) = 2 ，所以2sin( A + 2 π ) = 2 ，
sin( A + 6
π ) = 1 ， 6
3 因为在∆ABC 中， 0 < A < π ，所以 π < A + π <
7π ，
6 6
6
由 A + π = π ，得 A = π ，
6 2 3
π 2π
所以 B + C = π - = ，
3 3
所以cos B + cos C = cos B + cos(
2π
- B ) 3
= 1 cos B + 3
sin B 2 2
= sin(B + π
) .
6 因为 π ≤ B ≤ π ，所以 π ≤ B + π ≤ 2π ，
6 2 3 6 3 所以 3 ≤ sin(B + π
) ≤ 1，
2 6
所以cos B + cos C 的取值范围为[ ,1] . 2
20.（12 分）
解：（1）当 x + 2 = 1，即 x = -1 时， y = 1+ log a 1 =
1，所以点 A 的坐标为(-1,1) .
（2）因为 f (x ) = 1+ log a (x + 2) ，所以 g (x ) = 1+ log a x . 当0 < a < 1时，函数 g (x ) 在区间[a ，2a ]上是减函数，所以当 x = a 时，函数 g (x ) 有最大值，且 g max (x ) = 2 ，
当 x = 2a 时，函数 g (x ) 有最小值，且 g min (x ) = 1+ log a 2a ，
因为 g max (x ) -
g min (x ) = 1
， 2 所以2 - (1+ log 2a ) = 1
，
a
2
所以a = 1
.
4
当 a > 1时，函数 g (x ) 在区间[a ，
2a ]上是增函数， 所以当 x = a 时，函数 g (x ) 有最小值，且 g min (x ) = 2 ， 当 x = 2a 时，函数 g (x ) 有最大值，且 g max (x ) = 1+ log a 2a ，
因为 g max (x ) -
g min (x ) = 1
， 2 所以(1+ log 2a ) - 2 = 1
，
a
2
所以a = 4 .
1
综上所述： a = 或a = 4 . 4
21．(12 分)
解：（1）由题意 P (1) = m ⨯12 + 2600 = 3000 ，所以m = 400 ， 当0 < x < 4时，
F (x ) = 5000x - (400x 2 + 2600x )
-1000 = -400x 2 + 2400x -1000 ； 当 x ≥4 时，
5001x 2 - 5010x + 25 -x 2 + 4010x - 25
F (x ) = 5000x - -1000 =
， x x ⎧-400x 2
+ 2400x -1000, 0 < x < 4, ⎪
所以 F (x ) = ⎨ -x 2 + 4010x - 25
⎪
⎩ x
, x ≥ 4. （2）当0 < x < 4 时， F (x ) = -400(x - 3)2 + 2600 ，
所以当 x = 3时， F (x )max = 2600 . 当 x ≥4 时，
-x 2 + 4010x - 25 25 ⎛ 25 ⎫ F (x ) = = -x - x x + 4010 = - x + x ⎪ + 4010 ， 因为 x ≥ 4 ，所以 x + 25
≥
x
⎝ ⎭
= 10 ，
当且仅当 x = 25
时，即 x = 5 时等号成立，
x
所 以 F (x ) ≤ -10 + 4010 = 4000 ， 所以当 x = 5 时， F (x )max = 4000 ， 因为2600 < 4000 ，
所以，当2021年该款摩托车的年产量为5 万台时，年利润 F (x ) 最大，最大年利润是
4000 万元．
22.（12 分） 解:（ 1） 已知函数 f (x ) 与h (x ) 有相同的定义域， 所以 f (x ) 与 h (x ) 的定义域都是(0, +∞) . 方程 f (x ) = 2x 2
- x + k = 0 的判别式∆ = 1- 8k .
①当∆ = 1- 8k < 0 即 k > 1
时， f (x ) > 0 在(0, +∞) 上恒成立.
8 ②当∆ = 1- 8k = 0 即 k = 1 时， f (x ) = 0 的根为 x = 1
，
8 所以 f (x ) > 0 的解集为{x | x > 0, 且 x ≠ 1}. 4 ③当∆ = 1- 8k > 0 即 k < 1
时， f (x ) = 0 的两根为 x 4 = 1 ， x
= 1
， 8
若 0 < k < 1
，则0 < x < x ，
1 4 2
4 8
1 2
所以 f (x ) > 0 的解集为{x | 0 < x < x 1, 或 x > x 2} ；
若 k ≤ 0 ，则 x 1 ≤ 0 < x 2 ，所以 f (x ) > 0 的解集为{x | x > x 2} .
1-
1-1 综上所述：
当 k ≤ 0 时， f (x ) > 0 的解集为{x | x >
1+ 1
} ；
4
1+当 0 < k < 时， f (x ) > 0 的解集为{x | 0 < x < 8 当 k = 时， f (x ) > 0 的解集为{x | x > 0, 且 x ≠ 8 当 k > 1
时， f (x ) > 0 的解集为{x | x > 0} .
8 4 1
}；
4 , 或 x > } ；
4 （ 2）由（ 1）知,若方程 f (x ) = 0 有两个相异实数根 x 1, x 2 （ 0 < x 1 < x 2 ），
则0 < k < 1 ，且 x + x = 1 , x x = 1
k .
8 1 2
2 1 2 2
因为h (x ) 在[x 1, x 2 ] 上是减函数，
所以h (x 1 ) > h (x 2 )， 所以 h (x ) - h (x ) = h (x ) -h (x ) = (x 2 - x + k ln x ) -(x 2 - x + k ln x )
1
2
1 2 1 1 1 2 2 2
= (x 1 - x 2 )(x 1 + x 2 -1) + k (ln x 1 - ln x 2 )
= - 1 (x - x ) + k ln x 1
2 1 2 x = - 1
+ k ln x 1
2 4 4
x 2 = + k ln x 1 .
4 x 2
因为 x ∈ (0,1) 时， ln x < x -1，
又0 < x
1 < 1，
x 2
所以ln x 1 < x 1 -1.
x 2 x 2
1-因为 x 1 -1 2 - 8k - 2 1- 8-1
x 2 8k 1- 4k -= -1 = - 2 ， 4k 且0 < k < 1
， 8 所以k ln x 1 < x 2
4k
- 2k .
4 1
所以 h (x 1 ) - h (x 2 ) <
+ - 2k = - 2k ，
4 4 4 所以 h (x 1 ) - h (x 2
) < 1 - 2k . 4
1-2。