乐课力七年级数学春季班第五讲全等三角形的判定
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52o
例题3
【基础】（ 2010年苏州中考 23题，6 分）如图， C是
线段 AB的中点，CD 平分∠ ACE ， CE平分∠ BCD ， CD=CE . ⑴求证： △ACD≌ △BCE. ⑵若∠ D=50° ，求∠ B 的度数.
例题3
【提高、尖子】（ 2010年南宁中考23 题,8分）如图，
已知 Rt △ABC ≌ Rt △ADE ， ∠ ABC= ∠ ADE
例题10
（1）已知：△ABC和△A1B1C1 中，AB A1B1，BC B1C1 ，
BAC B1A1C1 110，则△ABC与△A1B1C1 是否全等？
例题10 （B2A）C 已知B1：A1△C1AB9C0和 ，△则A1B△1CA1 中BC，与AB△AA1B1B1C1，1 是BC否全B1等C1？，
上，且BP = AC ；点 Q在 CE的延长线上，且CQ = AB 。求证：AP = AQ 且 AP ⊥ AQ。 ．
例题6
【基础、提高】 已知：如图，AB ∥DC ，AB=DC ， AE ⊥AD ，AF ⊥AB ，AE=AD ，AB=AF . 求证：AC = EF .
例题6 【尖子】 （1997年 荆州数学竞赛）已知：如图， AB
∥CD ， ∠D= 2∠B ，设 ， AD=a ， DC=b,求线段AB 的长.
例题7
（ 2008年成都中考）已知：如图， △ABC 中，
∠ ABC =45 °， CD ⊥AB 于D ， DE 平分 ∠ ABC， 且BE⊥AC 于E ，与CD 相交于点F . H是 BC边的中点， 连结 DH与BE 相交于点G . ⑴求证： BF=AC ⑵求证：CE 1 BF
A
E
D
F
B
C
例题13
（2）证明：在任意凸五边形中总可以选择三条对角 线，以这三条对角线为边可以构成一个三角形.
AB=DE；②AC=DF；③ ∠ ABC= ∠ DEF；④ BE=CF
例题4
【尖子】已知：如图，四边形ABCD 是边长为 a的正 方形，O 是其中心；四边形 OEFG是边长为 b 的正方 形，OE 交 BC于M ，OG 交CD 于N .求四边形 OMCN 的面积.
例题5
已知 BD、CE 是△ABC 的高，点 P在BD 的延长线
2
⑶ CE与BG 大小关系如何？试证明你的结论.
例题8
如图，公园有一条“Z ”字形道路ABCD ，其中 AB ∥CD ,在 E, M, F 处各有一个小石凳，且 BE =CF ， M为BC 的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？
说出你推断的理由．
例题9 下列 4个命题： ⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全 等； ⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ⑶三角形 6个边、角元素中，有 5个元素分别相等的 两个三角形全等； ⑷一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等； 上述命题是否正确？若正确，请说明理由；若不正确， 请举出反例.
D ，其中任何三点都不共线.证明：可从中选出三个点 构成一个三角形，使得该三角形中至少有一个内角不 超过45 ° .
例题13
D
（1）如图，已知 D、E 、F 为 △ABC内的三点且
E
BDEF、 C
为凸五边形.
F求证：AB AC BD DE EF FC 为
△ABC
内的三点且
BDEFC
AB AC BD DE EF FC
例题11
（2）如图，以△ABC 的边 AB、AC为边分别向外作
正方形 ABDE 和正方形 ACFG ，连结 EG，试判断
△ABC与 △AEG 面积之间的关系，并说明由．
例题12
（1）证明：凸多边形的内角中锐角的个数不能超 过 3个.
例题12
（2）（莫斯科数学竞赛）平面上有四个点 A、B 、C、
例题10
（B3A）C 已知B1：A1△C1AB7C0和 ，△则A1B△1CA1 中BC，与AB△AA1B1B1C1，1 是BC否全B1等C1？， 综合⑴⑵⑶，你能总结出什么结论？
例题11
（1）已知：如图， △ABC 中，AB=AC ，D 为 BC上
任一点， DF⊥AB ， DE⊥AC ， CH⊥AB . 求证： CH= DF+ DE .
bcae平分例题4基础提高2005年杭州中考如图在abc和def在同一条直线上下面有四个条件请你在其中选出3个作为题设余下的1个作为结论写出一个真命题并加以证明
例题1
【基础】如图，根据SAS ，如果已知ABቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAC,
＿ = ，即可判定 △ABD ≌ △ACE.
【提高】如图所示，点 C在线段 BE上，AC=CD ,
AC ⊥ CD， ∠B= ∠E=90°，AB=2，DE=1，则
BE=
.
【尖子】(漳州市中考题）如图3 ，已知： CE ⊥
AD 于E ， BF ⊥ AD 于F ，你能说明 △BDF和 △CDE全等吗？若能，请你说明理由.若不能，在
不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当 的条件，这个条件是 ，来说明这两个三角形全
等，并且出证明过程.
例题2
【基础】如图， BD垂直平分线段AC ，AE⊥BC ， 垂足为 E，交 BD于 P点，PE=3cm ，求P点到直 线 AB的距离.
例题2
【提高、尖子】如图，在等腰Rt △ABC中, ∠ C=90°，
AC=BC ， AD 平分 交 于 ∠ BAC 交 BC 于D ，
DE⊥AB于D,若AB=10cm ，求△BDE 的周长.
=90°，BC 与 DE相交于点 F，连结 CD、EB .
⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举.
⑵求证： CF=EF .
BE 平分
ABC
。求证：
BC / / AE
例题4
【基础、提高】 （2005年 杭州中考）如图，在 △ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一条直线上，下
面有四个条件，请你在其中选出 3个作为题设，余下 的 1个作为结论，写出一个真命题，并加以证明：①
例题3
【基础】（ 2010年苏州中考 23题，6 分）如图， C是
线段 AB的中点，CD 平分∠ ACE ， CE平分∠ BCD ， CD=CE . ⑴求证： △ACD≌ △BCE. ⑵若∠ D=50° ，求∠ B 的度数.
例题3
【提高、尖子】（ 2010年南宁中考23 题,8分）如图，
已知 Rt △ABC ≌ Rt △ADE ， ∠ ABC= ∠ ADE
例题10
（1）已知：△ABC和△A1B1C1 中，AB A1B1，BC B1C1 ，
BAC B1A1C1 110，则△ABC与△A1B1C1 是否全等？
例题10 （B2A）C 已知B1：A1△C1AB9C0和 ，△则A1B△1CA1 中BC，与AB△AA1B1B1C1，1 是BC否全B1等C1？，
上，且BP = AC ；点 Q在 CE的延长线上，且CQ = AB 。求证：AP = AQ 且 AP ⊥ AQ。 ．
例题6
【基础、提高】 已知：如图，AB ∥DC ，AB=DC ， AE ⊥AD ，AF ⊥AB ，AE=AD ，AB=AF . 求证：AC = EF .
例题6 【尖子】 （1997年 荆州数学竞赛）已知：如图， AB
∥CD ， ∠D= 2∠B ，设 ， AD=a ， DC=b,求线段AB 的长.
例题7
（ 2008年成都中考）已知：如图， △ABC 中，
∠ ABC =45 °， CD ⊥AB 于D ， DE 平分 ∠ ABC， 且BE⊥AC 于E ，与CD 相交于点F . H是 BC边的中点， 连结 DH与BE 相交于点G . ⑴求证： BF=AC ⑵求证：CE 1 BF
A
E
D
F
B
C
例题13
（2）证明：在任意凸五边形中总可以选择三条对角 线，以这三条对角线为边可以构成一个三角形.
AB=DE；②AC=DF；③ ∠ ABC= ∠ DEF；④ BE=CF
例题4
【尖子】已知：如图，四边形ABCD 是边长为 a的正 方形，O 是其中心；四边形 OEFG是边长为 b 的正方 形，OE 交 BC于M ，OG 交CD 于N .求四边形 OMCN 的面积.
例题5
已知 BD、CE 是△ABC 的高，点 P在BD 的延长线
2
⑶ CE与BG 大小关系如何？试证明你的结论.
例题8
如图，公园有一条“Z ”字形道路ABCD ，其中 AB ∥CD ,在 E, M, F 处各有一个小石凳，且 BE =CF ， M为BC 的中点，请问三个小石凳是否在一条直线上？
说出你推断的理由．
例题9 下列 4个命题： ⑴有两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全 等； ⑵有两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等； ⑶三角形 6个边、角元素中，有 5个元素分别相等的 两个三角形全等； ⑷一边及其他两边上的高对应相等的两个三角形全等； 上述命题是否正确？若正确，请说明理由；若不正确， 请举出反例.
D ，其中任何三点都不共线.证明：可从中选出三个点 构成一个三角形，使得该三角形中至少有一个内角不 超过45 ° .
例题13
D
（1）如图，已知 D、E 、F 为 △ABC内的三点且
E
BDEF、 C
为凸五边形.
F求证：AB AC BD DE EF FC 为
△ABC
内的三点且
BDEFC
AB AC BD DE EF FC
例题11
（2）如图，以△ABC 的边 AB、AC为边分别向外作
正方形 ABDE 和正方形 ACFG ，连结 EG，试判断
△ABC与 △AEG 面积之间的关系，并说明由．
例题12
（1）证明：凸多边形的内角中锐角的个数不能超 过 3个.
例题12
（2）（莫斯科数学竞赛）平面上有四个点 A、B 、C、
例题10
（B3A）C 已知B1：A1△C1AB7C0和 ，△则A1B△1CA1 中BC，与AB△AA1B1B1C1，1 是BC否全B1等C1？， 综合⑴⑵⑶，你能总结出什么结论？
例题11
（1）已知：如图， △ABC 中，AB=AC ，D 为 BC上
任一点， DF⊥AB ， DE⊥AC ， CH⊥AB . 求证： CH= DF+ DE .
bcae平分例题4基础提高2005年杭州中考如图在abc和def在同一条直线上下面有四个条件请你在其中选出3个作为题设余下的1个作为结论写出一个真命题并加以证明
例题1
【基础】如图，根据SAS ，如果已知ABቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAC,
＿ = ，即可判定 △ABD ≌ △ACE.
【提高】如图所示，点 C在线段 BE上，AC=CD ,
AC ⊥ CD， ∠B= ∠E=90°，AB=2，DE=1，则
BE=
.
【尖子】(漳州市中考题）如图3 ，已知： CE ⊥
AD 于E ， BF ⊥ AD 于F ，你能说明 △BDF和 △CDE全等吗？若能，请你说明理由.若不能，在
不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当 的条件，这个条件是 ，来说明这两个三角形全
等，并且出证明过程.
例题2
【基础】如图， BD垂直平分线段AC ，AE⊥BC ， 垂足为 E，交 BD于 P点，PE=3cm ，求P点到直 线 AB的距离.
例题2
【提高、尖子】如图，在等腰Rt △ABC中, ∠ C=90°，
AC=BC ， AD 平分 交 于 ∠ BAC 交 BC 于D ，
DE⊥AB于D,若AB=10cm ，求△BDE 的周长.
=90°，BC 与 DE相交于点 F，连结 CD、EB .
⑴图中还有几对全等三角形，请你一一列举.
⑵求证： CF=EF .
BE 平分
ABC
。求证：
BC / / AE
例题4
【基础、提高】 （2005年 杭州中考）如图，在 △ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一条直线上，下
面有四个条件，请你在其中选出 3个作为题设，余下 的 1个作为结论，写出一个真命题，并加以证明：①