精编2019年高中数学单元测试试题-推理与证明专题考试题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 推理与证明专题（含
答案）
学校：
__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数 （1）1，5，9，13，17，（ ）； （2），，（ ）．
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
2．根据下面一组等式：
1234561,235,45615,7891034,111213141565,161718192021111,
s s s s s s ==+==++==+++==++++==+++++=…………
可得13521n s s s s -+++⋅⋅⋅+= ．
3．用数学归纳法证明(1)(2)(3)()2135(21)n
n n n n n n +++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-
()n N *∈时，从n k =到1n k =+时左边需增乘的代数式是 .
4．若从点O 所作的两条射线OM 、ON 上分别有点1M 、2M 与点1N 、2N ，则三角形面积之比为：
2
1
212
211ON ON OM OM S S N OM N OM ⋅
=
∆∆. 若从点O 所作的不在同一个平面内的三条射线OP 、OQ 和OR 上分别有点1P 、2P 与点1Q 、2Q 和1R 、2R ， 则类似的结论为：__
5．在共有2009项的等比数列{}n a 中，有等式
1352009
10052462008
a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅成立；类比上述性
质，在共有2013项的等差数列{}n b 中，相应的有等式 成立．
6．设M 1(0，0)，M 2(1，0)，以M 1为圆心，| M 1 M 2 | 为半径作圆交x 轴于点M 3 (不同于M 2)，记作⊙M 1；以M 2为圆心，| M 2 M 3 | 为半径作圆交x 轴于点M 4 (不同于M 3)，记作⊙M 2；……；
以M n 为圆心，| M n M n +1 | 为半径作圆交x 轴于点M n +2 (不同于M n +1)，记作⊙M n ；…… 当n ∈N*时，过原点作倾斜角为30°的直线与⊙M n 交于A n ，B n ．考察下列论断： 当n ＝1时，| A 1B 1 |＝2； 当n ＝2时，| A 2B 2 |
当n ＝3时，| A 3B 3 |
3
当n ＝4时，| A 4B 4 |
3
……
由以上论断推测一个一般的结论：对于n ∈N*，| A n B n |＝ ▲
7．已知 0(1,2,
,)i a i n >=，考察下列式子：
111()1i a a ⋅
≥； 121211()()()4ii a a a a ++≥； 123123
111
()()()9iii a a a a a a ++++≥. 我们可以归纳出，对12,,
,n a a a 也成立的类似不等式为 ▲ ．
8．设等边ABC ∆的边长为a ,P 是ABC ∆内任意一点,且P 到三边AB 、BC 、CA 的距离分别为1d 、2d 、3d ,则有321d d d ++为定值
a 2
3
;由以上平面图形的特性类比到空间图形:设正四面体ABCD 的棱长为a ,P 是正四面体ABCD 内任意一点,且P 到平面ABC 、平面ABD 、平面ACD 、平面BCD 的距离分别为1h 、2h 、3h 、h 4，则有321h h h +++h 4为定值______▲______.
9． 对于函数)0()(2>=x x x f 图象上任意两点),(2a a A ,),(2b b B ，直线段AB 必在曲线段AB
的上方，则由图象的特征可得不等式2
2222a b a b ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
.请分析x y lg =的图象特征，类
比上述不等式可以得到 .
10． 给出下列等式：
π2cos 4，
π2cos 8=，
π2cos 16=， ……
请从中归纳出第n ()
n ∈*N 个等式：2
222n +⋅⋅⋅+=个 ▲ ．
11．用数学归纳法证明: (31)
(1)(2)()2
n n n n n n +++++
++=
*()n N ∈的第二步中,当1n k =+时等式左边与n k =时的等式左边的差等于 ▲ . 12．观察下列等式： 12×3＝(12－13)×11， 12×4＝(12－14)×12， 12×5
＝(12－15)×13，
12×6＝(12－16)×14， ………………
可推测当n ≥3，n ∈N*时，
1
2×n
＝ ▲ ． 13．在直角三角形ABC 中，∠C 为直角，两直角边长分别为a ，b ，求其外接圆半径时，可采取如下方法：将三角形ABC 补成以其两直角边为邻边的矩形，则矩形的对角线为三角形外接圆的直径，可得三角形外接圆半径为a 2＋b 2
2；按此方法，在三棱锥S －ABC 中，三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为a ，b ，c ，通过类比可得三棱锥S －ABC 外接球的半径为 ▲ ．
14．观察下列等式：
=（﹣）×，
=（﹣）×，
=（﹣）×，
=（﹣）×，…可推测当n ≥3，n ∈N *时，= （﹣）×
．（3分）
15．已知结论：“在等边ABC ∆中，若D 是边BC 的中点， G 是ABC ∆外接圆的圆心，则
2AG
GD
=”。

若把该结论推广到空间，则有结论”在正四面体ABCD 中，若M 是BCD ∆三条中线的交点，O 为正四面体外接球的球心，则AO
OM
= ▲ .
16． 将正偶数按如下所示的规律排列： 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
则第n （n ≥4）行从左向右的第4个数为___▲___
17．用数学归纳法证明“(1)(2)()213(21)n
n n n n n ++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-”，从“k 到k +1”左端需增乘的代数式为 2（2k +1） . 18．下列不等式：
121⋅≥2
1
11⋅，
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅31131≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅412121 ，⎪⎭⎫ ⎝⎛++⋅5131141≥⎪⎭
⎫
⎝⎛++⋅61412131，…，由此猜测第1+n 个不等式为 ▲ （*n N ∈） 三、解答题
19． （本小题满分14分）
⑴用综合法证明：()2
2
2
,,,a b c ab bc ca a b c R ++≥++∈；
⑵用反证法证明：若c b a ,,均为实数，且2
22π
+
-=y x a ，3
22π
+
-=z y b ，
6
22π
+
-=x z c ，求证c b a ,,中至少有一个大于0.
20．已知数列}{n a 满足),(12
1
21*21N n na a a n n n ∈+-=
+且.31=a （1）计算432,,a a a 的值，由此猜想数列}{n a 的通项公式； （2）用数学归纳法对你的结论进行证明．（本小题满分15分）
21．已知)(1
31211)(+∈+⋅⋅⋅+++=N n n n f ． 经计算得()232=f ，()244>f ，()258>f ，()2616>f ，()2
7
32>f ，通过观察，我们
可以得到一个一般性的结论． （1）试写出这个一般性的结论；
（2）请用数学归纳法证明这个一般性的结论；
（3）对任一给定的正整数a ，试问是否存在正整数m ，使得111
123a m
+
++⋅⋅⋅+>？ 若存在，请给出符合条件的正整数m 的一个值；若不存在，请说明理由．（本小题共16分）
22．设数列{}122,3,3,34444n a ：，-，-，-，-，-，-，，
-1
-1
-1-1k k k k k 个
（），，（）,即当1122
k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时,1
1k n a k -=（-）,记12n n S a a a =++()
n N +∈,对
于l N +
∈,定义集合{
}
l P 1n n n S a n N n l +
=∈≤≤是的整数倍，，且
(1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数. （2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分. 23．空间内有n 个平面，设这n 个平面最多将空间分成n a 个部分.
(1)求1234,,,a a a a ；
(2)写出n a 关于n 的表达式并用数学归纳法证明.
24．已知f n (x)＝(1＋x)n ，n ∈N *.
(1) 若g(x)＝f 4(x)＋2f 5(x)＋3f 6(x)，求g(x)中含x 2项的系数；
(2) 若p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2…a n ＋1)≥(1＋a 1)(1＋a 2)…(1＋a n )．
25． 通过计算可得下列等式：
1121222+⨯=-
1222322+⨯=- 1323422+⨯=-
┅┅
12)1(22+⨯=-+n n n
将以上各式分别相加得：n n n +++++⨯=-+)321(21)1(2
2
即：2
)
1(321+=
++++n n n 类比上述求法：请你求出2
2
2
2
321n ++++ 的值.
26．在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=n n n
a a S 121 （1） 求321,,a a a ；（2） 由（1）猜想数列{}n a 的通项公式；（3） 求n S
27．△ABC 三边长,,a b c 的倒数成等差数列，求证：角B 0
90<.
28．已知：空间四边形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，判断直线EF 与平面ABD 的关系，并证明你的结论.
29．类比正弦、余弦有关公式的形式，对于给定的两个函数
()()2
,2x
x x x e e x C e e x S --+=-=，写出一个正确的运算公式。

30．用数学归纳法证明：l 3+23+33+…+n 3=14n 2(n +1)2(n ∈N ﹡
)．。