高二【数学(人教A版)】导数在研究函数中的应用小结(2)-课件

x
．
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问题 3 能否通过求解例１的过程完善利用导数研究函数性质的步骤呢？
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问题 3 能否通过求解例１的过程完善利用导数研究函数性质的步骤呢？
（1）求出函数 f (x)的定义域，确定函数图象的大致范围； （2）用导数 f (x)研究 f (x)的单调性、极值； （3）利用函数 f (x)单调性、极值等性质，画出 f (x)的大致图象； （4）利用函数 f (x)图象进一步研究函数的最大（小）值、值域、零点等性质．
二 例题讲解
例１ 利用函数的单调性，证明不等式 xsin x, x(0,π)，并通过函数
图象直观验证．
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问题 2 为了证明不等式 xsinx, x(0,π)，构造什么函数呢？
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问题 2 为了证明不等式 xsin x, x(0,π)，构造什么函数呢？ 可以构造函数 f (x) xsinx, x(0,π)来证明不等式 xsin x , x(0,π)．
瓶子半径r 的取值范围为0,6 ．
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追问 7： “瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大（小）？”是 关注函数 f (r)0.243πr30.8πr2, r0,6 的什么性质？
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追问 7： “瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大（小）？” 是关注函数 f (r)0.243πr30.8πr2, r0,6 的什么性质？
关注函数最大（小）值．
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下面我们就遵循着总结的利用导数研究函数的步骤来研究函数
f
(r)
0.2
4 3
πr3 0.8πr 2,
r0,6 ．
首先利用导数 f (x)研究 f (x)的单调性、极值；再利用函数单调
性、极值等性质，画出 f (x)的大致图象；利用函数 f (x)图象进一步研
究函数的最大（小）值．
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例２ 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8πr2 分，其中r （单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利 0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6 cm．
瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？
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追问 8： 单位圆中哪些几何元素对应 x 及sin x ？ 根据弧度制定义，PQ长度对应于 x 值，由正弦函数定义，
线段PH 长度对应于sinx 值．
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追问 8： 单位圆中哪些几何元素对应 x 及sin x ？
当 x(0,π2)时易得 当 x[π2,π)时有
xsinx ；
x
π
2
1sin
国家中小学课程资源
年 级：高二 主讲人：可编辑
学 科：数学（人教A版） 学 校：可编辑某某学校
一 新课引入
上节课在复习利用导数研究函数单调性、极值、最大（小）值等性质的基 础上，亲历画出函数大致图象的过程，感受导数在研究函数性质中的作用，提 炼出函数作图的基本步骤，厘清这些步骤与求函数单调区间，极值等问题之间 的联系．
如何？
函数 f (x) xsinx, x(0,π)，当 x0时， f (x) xsin x0；
当
x
π
时，
f
(x)π，
f
(x)
的图象还经过点(π2
,
π
2
1)
，函数值随自
变量增大而增大．
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追问5：你能根据上述分析画出函数的大致图象吗？
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追问5：你能根据上述分析画出函数的大致图象吗？
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是什么？
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追问 5： 根据上述分析，每瓶饮料制造商的利润关于半径r 的函数关系
是什么？ 函数关系是 f (r)0.243πr30.8πr2．
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追问 6： 函数 f (r)0.243πr30.8πr2的定义域是什么？
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追问 6：
函数
f
(r)
0.2
4 3
πr3
0.8πr2
的定义域是什么？
f (r)0.243πr30.8πr2, r0,6 ， f (r)0.8πr20.82πr
0.8π(r2 2r)
令 f (r)0，解得r 2．
当r(0,2)时， f (r)0；当r(2,6)时， f (r)0． 因此，当半径r 2时， f (r)0，函数 f (r)单调递增，即半径越大，利润越 高；当半径r 2时， f (r)0；函数 f (r)单调递减，即半径越大，利润越低． 半径为6 cm时，利润最大．半径为2 cm时，利润最小．
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追问 8：通过计算发现 f (2)0，你能解释它的实际意义吗？
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追问 8：通过计算发现 f (2)0，你能解释它的实际意义吗？ “ f (2)0”表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．
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追问 9：请同学们画出函数 f (r)的图象，从函数图象你还能得到什么结
通常，可以按如下步骤画出函数 f (x)的大致图象： （1） 求出函数 f (x)的定义域； （2） 求导数 f (x) 及函数 f (x)的零点； （3） 用 f (x)的零点将函数 f (x)的定义域划分为若干区间，列表给
出 f (x)在各区间上的正负，并得出函数 f (x)的单调性与极值； （4） 确定 f (x)的图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； （5） 画出 f (x)的大致图象．
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追问 7： 回顾三角函数一章的学习，通过图象直观验证 xsin x , x(0,π)可
以借助什么工具呢？
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追问 7： 回顾三角函数一章的学习，通过图象直观验证 xsin x , x(0,π)可
以借助什么工具呢？
我们可以借助单位圆验证 xsin x , x(0,π)．
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追问 8： 单位圆中哪些几何元素对应 x 及sin x ？
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五 课后作业
3. 已知某商品的生产成本C 与产量q的函数解析式为C 1004q，单价 p与产 量q的函数解析式为 p2518q．产量q为何值时，利润最大？
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同学们感受到利用导数研究函数问题的魅力与威力了 吗？
因为喜欢数学而学习数学，因为学习数学更喜欢数学. 我们一起加油！
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（1）求出函数 f (x)的定义域，确定函数图象的大致范围； （2）用导数 f (x)研究 f (x)的单调性、极值； （3）利用函数 f (x)单调性、极值等性质，画出 f (x)的大致图象； （4）利用函数 f (x)图象进一步研究函数的最大（小）值、值域、零点等性质．
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在求解例题的过程中，我们亲历了对现实问题进行数学抽象，用数学 语言表达问题，用数学方法构建模型解决问题的数学建模过程，感悟数学 的科学价值与应用价值，提升数学抽象与数学建模核心素养．
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四 课堂小结
这节课我们复习巩固利用导数研究函数单调性、极值、最大（小）值等 性质的方法，提炼出利用导数解决实际问题的步骤与方法．
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四 课堂小结
这节课我们复习巩固利用导数研究函数单调性、极值、最大（小） 值等性质的方法，提炼出利用导数解决实际问题的步骤与方法．
问题５ 利用导数解决实际问题的步骤与方法是什么？
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解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 f (r)0.243πr30.8πr2, r0,6 ，
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解：由题意可知，每瓶饮料的利润是 f (r)0.243πr30.8πr2, r0,6 ， f (r)0.8πr2 0.82πr 0.8π(r2 2r)
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解：由题意可知，每瓶饮料的利润是
论？
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追问 9：请同学们画出函数 f (r)的图象，从函数图象你还能得到什么结
论？
从图象上容易看出，当r 3时，f (3)0，即瓶子的
半径是3 cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；
当r 3 时，利润才为正值．
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追问 10： 通过此问题的解决，如何回答开始时的问题呢？
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追问 10： 通过此问题的解决，如何回答开始时的问题呢？ 市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大包装的高，要想保持一定的 利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包 装的要贵些．在每单位饮料获利不变的前提下，由例２的结论可知，饮料瓶越 大饮料公司的利润越大．
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追问 4： 出售一瓶瓶子的半径为r 的饮料，制造商还要负担什么成本
吗？
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追问 4： 出售一瓶瓶子的半径为r 的饮料，制造商还要负担什么成本
吗？
出售一瓶瓶子的半径为r 的饮料，制造商还要负担瓶子的制造成本是 0.8πr2分．
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追问 5： 根据上述分析，每瓶饮料制造商的利润关于半径r 的函数关系
追问 6：函数 f (x) xsinx, x(0,π)的值域是什么？
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追问 6：函数 f (x) xsinx , x(0,π)的值域是什么？ 由函数单调性可知，f (0) f (x) f (π)，即函数值域为(0,π)．由函数图象也 可以直观得出函数值域．这样也就证明了当 x(0,π) 时 f (x)0 恒成立，即 xsinx , x(0,π)．
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追问 3：如何描述函数 f (x) xsinx, x(0,π)单调性及极值呢？ 函数 f (x) xsinx, x(0,π)在定义域上单调递增，没有极值．
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追问 4：函数 f (x)的图象经过哪些特殊点？图象的变化趋势
如何？
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追问 4：函数 f (x)的图象所经过哪些特殊点？图象的变化趋势
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五 课后作业
1.将一条长为l 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形．要使两个正方形的面
积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？
2.将一个边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 x的小正方形，做成
一个无盖方盒．
(1) 试把方盒的容积V 表示为 x的函数； (2) x多大时，方盒的容积V 最大？
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一 新课引入
上节课在复习利用导数研究函数单调性、极值、最大（小）值等性质的基 础上，亲历画出函数大致图象的过程，感受导数在研究函数性质中的作用，提 炼出函数作图的基本步骤，厘清这些步骤与求函数单调区间，极值等问题之间 的联系．
问题 1 画函数 f (x)大致图象的步骤是什么？
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追问 1：可以通过 f (x) xsinx, x(0,π)的函数值的何种取值范围证明
原不等式成立？
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追问 1：可以通过 f (x) xsinx, x(0,π)的函数值的何种取值范围证明
原不等式成立？
通过 f (x) xsinx, x(0,π)的函数值恒大于0证明原不等式成立．
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追问 3： 出售一瓶瓶子的半径为r 的饮料制造商获利为多少分？
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追问 3： 出售一瓶瓶子的半径为r 的饮料制造商获利为多少分？
由一瓶瓶子的半径为r
的饮料的容积为
4 3
πr3
，又由已知每出售1
mL
的饮
料，制造商可获利0.2分，所以每出售一瓶瓶子的半径为r 的饮料制造商获利
0.2
4 3
πr3．
追问 2：按照上节课归纳总结的研究思路，在明确定义域的前提下，下一步 应该研究什么？
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追问 2：按照上节课归纳总结的研究思路，在明确定义域的前提下，下一步 应该研究什么？
在明确定义域的前提下求导数 f (x)及函数 f (x)的零点，进而得出 f (x)的单调
性与极值．
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追问 2：按照上节课归纳总结的研究思路，在明确定义域的前提下，下一步 应该研究什么？
在明确定义域的前提下求导数 f (x)及函数 f (x)的零点，进而得出 f (x)的单调
性与极值．
f (x)1cosx, x(0,π)，易知 f (x)0在 x(0,π)恒成立， f (x)在 x(0,π)不存
在零点．
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追问 3：如何描述函数 f (x) xsinx , x(0,π)单调性及极值呢？
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问题4 饮料瓶大小对饮料公司利润是否有影响？
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问题4 饮料瓶大小对饮料公司利润是否有影响？ 追问1： 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵 些？你想从数学上知道它的道理吗？
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问题4 饮料瓶大小对饮料公司利润是否有影响？ 追问1： 你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵 些？你想从数学 上知道它的道理吗？ 追问2： 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？