含有30度角的直角三角形的性质
人教版数学八年级上册13.3.2 第2课时 含30°角的直角三角形的性质 课件
又AC= AC ,∴△ABC≌△ADC(SAS),
∴AB= AD ,∴△ABD是 等边 三角形,
∴BC=
1 2
BD=12AB.
·导学建议· 知识点由等边三角形的性质,得到直角三角形中30度角所对 的直角边等于斜边的一半的性质,培养学生学会从已掌握的知 识探究新知识的方法. 定理的证明可以鼓励学生应用不同的方法进行证明,培养学 生的发散思维.
·真实情境· 《2022年版数学课程标准》中指出:情境创设的真实性.本 题以轮船航行为背景,将直角三角形30度角的性质融入其中.
解:如图,过点P作PC⊥BC于点C. ∵∠PAB=15°,∠PBC=30°,∴∠APB=15°,
∴∠PAB=∠APB,∴PB=BA,∴PC=1AB=15,即
2
点C距小岛P只有15海里,而小岛周围18海里
内有暗礁,
∴轮船继续向前航行,会有触礁的危险.
方法归纳交流 当题目中有15°的角出现时,常构造 含30°角的直角 三角形解决问题.
·导学建议· 与实际生活有关的问题,要提醒学生先从实际问题中抽象出 数学问题,然后再借助所学的数学知识加以解决.通过这些题目 可培养学生的数学建模能力及解决问题的能力.
是轴对称图形,沿AD折叠后,B与C重合,则BD= CD =
1 BC
2
,∠ADB=∠ADC= 90°,∠BAD=∠CAD= 30° .又
AB=BC,∴BD= 1 AB.
2
2.上述结果我们也可以采用如下方法证明:
如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°, 则∠B= 60° .
如图3,延长BC至D,使CD=BC,连接AD,
要把一块三角形的土地均匀分给甲 、乙、丙三家农户去 种植,如果∠C=90°,∠B=30°,要使这三家农户所得土地的大 小和形状都相同,请你试着分一分,在图上画出来.
含30度的角的直角三角形的性质
30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3cm，则AB的
长度是(D )
A．3cm
B．6cm
C．9cm D．12cm
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在 Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的长度是12cm.故选D.
则△ABD 是等边三角形．
又∵AC⊥BD, ∴BC = 1 BD．
2
∴
BC
=
1 2
AB．
B
整理课件
C
D
6
证明2： 在BA上截取BE=BC，连接EC.
∵ ∠B= 60° ，BE=BC. ∴ △BCE是等边三角形，
证明方法：
∴ ∠BEC= 60°，BE=EC.
截半法
∵ ∠A= 30°，
A
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
B D
A
E
C
想一想： 图中BC、DE 分别是哪个直角三角形的直角边？
它们所对的锐角分别是多少度？
整理课件
16
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= 1 AB,
1
DE= AD.
B
2
2
∴BC= 1 AB= 1 ×7.4=3.7(m). D
22
又AD=
1
AB,
2
A
E
C
∴DE=
1
1
AD=
∴CD= 1 AC= 1×20=10. 22
整理课件
18
方法总结：在求三角形边长的一些问题中，可以构造 含30°角的直角三角形来解决．本题的关键是作高， 而后利用等腰三角形及外角的性质，得出30°角，利 用含30°角的直角三角形的性质解决问题.
含30度角的直角三角形的性质教案
课题 14．3．2．2等边三角形(第2课时)刘莹教学任务分析教学过程设计BD=2、如图1，∠ABC=30°，AC ⊥BC ，AB=4cm ， （1） 求AC 的长，（2） 如图2，若D 是AB 中点，连结DC ，求DC 的长 （3） 如图3，若D 是AB 中点，DE ⊥BC ，求DE 的长A B C如图1 A B E CD 如图2 4、如图是屋架设计图的一部分， 点D 是斜梁AB A的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ， AB=7．4 m ，∠A=30°，立柱BC 、DE 要多长？追问：（1）若D 变成AB 上使CD ⊥AB 于D 的点，其它条件不变，如图a ，你能分解出30°角的直角三角形吗？求出那些线段的长？（2）如图a ，BD 与AB 有何数量关系，此结论与AB 的长度有关吗？（课后讨论）课堂练习：1、填空：∵Rt △ACB 中，∠C=90°，∠A=30° ∴BC= （ ） C ．（1）、（3）D ．（2）、（4）C AD B学生仔细读题，分析其中的数量关系 教师提示：要准确选择直角三角形请个别学生板演详细过程，强调解题格式要规范A B E C D 如图3分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=1/2AD ，BC=1/2AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=1/4AB ．解：∵DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°，∴ BC=1/2AB ，DE=1/2AD ， ∴BC=1/2×7．4=3．7(m)． 又∵AD=1/2AB ，∴DE=1/2AD=1/2×3．7=1．85(m)． 答：立柱BC 的长是3．7 m ，DE 的长是1．85 m ．B AE C D 图a 学生思考、讨论、整理（1）5个Rt △ADE ，Rt △DCE ，Rt 形是正确解题的关键课堂练习反馈调控综合应用，巩固提高课本例题涉及的线段、角较多，学生不易找到解题的突破口，因此设计该分层推进的补充题，为解答以下例题做好铺垫帮助学生进一步认识直角三角形的性质因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，鼓励学生积极参与数学活动，激发学生。
人教版初中数学七年级下册含30度角的直角三角形的性质教案
课题 14．3．2．2等边三角形(第2课时)刘莹教学任务分析教学过程设计ACB=90°，∠A=30°CD ⊥AB ，AB=4，则BC= ，∠BCD= ， BD=2、如图1，∠ABC=30°，AC ⊥BC ，AB=4cm ， （1） 求AC 的长，（2） 如图2，若D 是AB 中点，连结DC ，求DC 的长 （3） 如图3，若D 是AB 中点，DE ⊥BC ，求DE 的长如图1如图2 4、如图是屋架设计图的一部分， 点D 是斜梁AB A 的中点，立柱BC 、DE 垂直于横梁AC ， AB=7．4 m ，∠A=30°，立柱BC 、DE 要多长？ 追问：（1）若D 变成AB 上使CD ⊥AB 于D 的点，其它条件不变，如图a ，你能分解出 30°角的直角三角形吗？求出那些线段的长？ （2）如图a ，BD 与AB 有何数量关系，此结论与AB 的长度有关吗？（课后讨论） 课堂练习：1、填空：C ．（1）、（3）D ．（2）、（4）学生仔细读题，分析其中的数量关系 教师提示：要准确选择直角三角形 请个别学生板演详细过程，强调解题格式要规范 如图3 分析：观察图形可以发现在Rt △AED 与Rt △ACB 中，由于∠A=30°，所以DE=1/2AD ，BC=1/2AB ，又由D 是AB 的中点，所以DE=1/4AB ． 解：∵DE ⊥AC ，BC ⊥AC ，∠A=30°， ∴ BC=1/2AB ，DE=1/2AD ， ∴BC=1/2×7．4=3．7(m)． 又∵AD=1/2AB ， ∴DE=1/2AD=1/2×3．7=1．85(m)． 答：立柱BC 的长是3．7 m ，DE 的长是1．85 m ． 图a 直角三角形是正确解题的关键课堂练习反馈调控综合应用，巩固提高课本例题涉及的线段、角较多，学生不易找到解题的突破口，因此设计该分层推进的补充题，为解答以下例题做好铺垫帮助学生进一步认识直角三角形的性质 因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，鼓励学生积极参与数学活动，A BCA B E CD C AD B A BE C D BA E C D。
含30°角的直角三角形的性质-人教版八年级数学上册教案
含30°角的直角三角形的性质-人教版八年级数学上册教案教学目标•掌握含30°角的直角三角形的性质•能够应用所学知识解决相关问题•提高学生对几何中角度的理解教学重点•直角三角形的性质•含30°角的直角三角形的性质教学难点•让学生理解并应用30°角的性质教学过程一、引入现在我们要学习的是含30°角的直角三角形的性质，我们先来看下面这个直角三角形：A/\\/ \\C /____\\ B这个三角形中，角A是90°角，角B和角C是锐角或钝角。
现在我们来看一下，如果角B是30度，会发生什么变化呢？A/\\/ \\30° /____\\ BC 60°二、讲解我们可以发现，在这个三角形中，角C变成了60度，角B变成了30度，而角A还是90度。
接下来，我们来探究一下这个三角形的一些性质。
首先是角A，我们知道在任何一个直角三角形中，角A都是90度。
所以在这个三角形中，角A也是90度。
接着是角B和角C，我们知道在一个三角形中，三个角的和为180度。
所以在这个三角形中，角B和角C的和为150度。
而当角B是30度时，我们可以得出角C是60度。
我们再次观察这个三角形，我们可以发现这个三角形也是一个等腰三角形。
因为AC和BC的长度相等，即∠CAB = ∠CBA.另外，这个三角形也是一个等边三角形。
因为AC=BC，而AC和BC垂直（由于∠A=90°），所以ACB=60°，那么∠CAB = ∠ACB = ∠BCA = 30°，即三个角都是30度。
由于这个三角形满足等边、等腰、直角三种特殊情况的性质，所以它被称为“三六九十”三角形（三个角分别是30度、60度、90度，边长比分别是1：√3：2）。
三、练习1.在三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，∠ABC = 30°，求∠BCA和∠CAB。
答案：∠CAB = ∠BCA = 60°2.在三角形ABC中，∠A = 90°，AB = AC，∠CAB = 30°，求∠ABC。
初中数学_含30度角的直角三角形的性质教学设计学情分析教材分析课后反思
含30度角的直角三角形性质教学设计教学内容：含30°角的直角三角形的性质（人教版八年级数学上P80-81）知识目标：1．理解掌握有一个角为30°的直角三角形的性质。
2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用．能力目标：1．经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，培养学生观察、分析、归纳问题的能力。
2．通过运用性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。
情感目标：引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲．重点：含30°角的直角三角形的性质的发现与应用．难点：含30°角的直角三角形性质的探索与证明．复习提问：等边三角形的性质与判定。
新课：（一）活动问题1.1、我们刚才回答了等边三角形是轴对称图形，沿着对称轴折叠，得到一个什么三角形？今天，我们来研究这个含30度角的的直角三角形，看它的边具有什么性质．板书课题：含30°角的直角三角形的性质2、观察你的30°角的直角三角尺，角有什么性质？边有什么数量关系？30°角所对的直角边是斜边的一半．（或者说：30°角所对的直角边是斜边的2倍）3.、用直尺把斜边和30°角所对的直角边量一量，你有什么发现？30°角所对的直角边是斜边的一半．（或者说：30°角所对的直角边是斜边的2倍）4、对于任意大小的含30°角的直角三角形，是不是也具备这个性质？大家画一画，量一量，说一说。
（二）活动问题21、刚才我们通过猜想，测量，得到了性质，那怎样推理证明呢？请同桌把两个含30°角的直角三角形拼一拼，组成平面图形，有几种拼法？学生动手拼图，互相交流，找一学生演示。
学生观察摆出的两个三角形．讨论并回答，同学们从不同的角度说明，拼成的是等边三角形．2、探究：在这些图形中，重点说拼成的等边三角形。
若学生不能单独回答可以先与同伴交流结论成立的理由。
《含30度角的直角三角形性质》说课稿
《含30度角的直角三角形性质》说课稿《含30度角的直角三角形性质》说课稿一、教材：1、教学内容：八年级第十三章第三节”等边三角形”第二课时“含30度角的直角三角形的性质”。
2、教材分析：本节内容是在学生学习了等边三角形的性质，由实验几何转向论证几何的基础上，学习含30度角的直角三角形的性质定理。
特别是定理证明的添设辅助线的方法相当重要，且难度较太。
3、学习目标：4、重点：含30度角的直角三角形性质定理的应用。
5、难点：含30度的直角三角形性质定理的证明思想方法。
二、教法与学法：为了达到教学目标，取得较好的教学效果，这节课的.教学采取了情景创设、提出问题、学生活动（观察、实验），教师启发点拨，师生归纳概括和学生掌握的再活动、再应用。
最大限度调动学生的积极性。
通过定理的证明，激发学生的求知欲，同时通过图形的变换，抓住关键，突出重点。
在课堂教学中充分发挥以教师为主导，以学生为主体，以训练为主线的“三主”作用。
通过学生自己动手帮助学生理解定理，便于记忆。
让学生通过教师的启发、分析、提问进行观察、对比、归纳、概括，达到共同参与的目的。
课堂形式活泼轻松，易于发挥。
通过图形的变换，培养学生的抽象能力和创新精神。
这样举一反三，易于迁移，引导学生发现并提出新问题，努力摆脱思维定势的影响，进行类比联想，促使学生的思维向多层次、多方位发散。
课堂设计从学生的生理、心理特点和思维特征出发，使课堂四十分钟充分发挥其效益。
三、教学步骤：1、引出定理，加以巩固。
由前面学过的三角形的内角和定理引出今天学习直角三角形的一些性质。
提出问题“直角三角形除了具备三角形的性质以外，还具备什么性质？”通过学生共同参与推出定理，并进行练习。
本教案把练习第一题作了适当的变动，目的是巩固定理，并为以后学习相似三角形打下基础。
2、启发诱导，证明定理。
针对新教材的要求和特点，通过学生动手操作得出直角三角形斜边上的中线等于它的一半这个命题，借助投影给学生一个旋转的直观认识，并加以论证。
【教案】 含30°角的直角三角形的性质.doc
含30°角的直角三角形的性质【教学目标】1.知识与技能：使学生理解含30°角的直角三角形的性质。
2.过程与方法：（1）通过探究含30°角的直角三角形的性质，使学生进一步认识到数学来源于生活实践。
（2）体验用操作、归纳得出数学结论的过程。
（3）会用这一性质解决相关数学问题。
3.情感、态度与价值观：（1）通过拼等边三角形这一探究活动，培养学生的合作交流、乐于探究、大胆猜想等良好品质。
（2）使学生经历观察、探究、归纳、推理和证明的全过程，培养学生科学、严谨、求真的学习态度。
【教学重点：】理解含30°角的直角三角形的性质及应用。
【教学难点：】含30°角的直角三角形性质的探究。
【教学过程】活动一：旧知准备问题：已知△，∠60°，（）。
请你在括号内补充一个条件，使△能成为等边三角形。
学生活动：学生补充条件并说明。
教师活动：教师找学生补充条件，根据学生的叙述板书。
设计意图：此题的设计意图是通过问题形式回顾旧知，促使学生经常温故知新，同时为新课应用判定做铺垫。
传统的回顾旧知，一般是直接找学生背诵等边三角形的判定，容易产生误导：学习就是背诵定理、性质。
最终会造成学生会背性质、定理，却不能应用解决实际问题。
著名数学家哈墨斯曾经说过：“问题是数学的心脏！”这里通过一个半开放性的问题，可以使不同的学生想到不同的条件，如：∠60°（或∠60°）、、、等多种答案，对等边三角形的判定有一个深入的理解，而非机械记忆定理、性质所能解决的。
同时不同层次的学生也会在不同层面上体验到成功。
充分培养学生的创新精神和发散思维，使学生遇到问题学会思考，避免对性质、定理的学习停留在简单的对字面意思的理解上，有效克服学生的简单机械记忆。
活动二：探究直角三角形的性质１.拼一拼：你能用两个含有30°角的三角板摆放在一起构成一个等边三角形吗？你能借助这个图形，找到30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系吗？组内交流自己的想法。
含30度角直角三角形的性质教案
三、教学难点与重点
1.教学重点
-重点一：理解含30度角直角三角形的性质，即30度角所对的直角边是斜边的一半。
-举例：在直角三角形ABC中，若∠ACB=90°，∠A=30°，则BC=2AB。
含30度角直角三角形的性质教案
一、教学内容
本节课选自《初中数学》八年级下册第五章“特殊的三角形”，围绕含30度角直角三角形的性质进行教学。内容包括：
1.探索并掌握含30度角的直角三角形中，30度角所对的直角边是斜边的一半的性质。
2.应用含30度角直角三角形的性质解决实际问题，如计算直角三角形各边的长度。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用尺子和量角器来实际测量和验证含30度角直角三角形的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“含30度角直角三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《含30度角直角三角形的性质》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要测量角度或计算距离的情况？”（如测量窗台高度）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索含30度角直角三角形的奥秘。
五、教学反思
在今天的含30度角直角三角形的性质教学中，我尝试了多种教学方法和策略，下面是我对这节课的一些思考。
含30度角直角三角形的性质
一、等边三角形的性质
1．等边三角形的三条边相等；
2．等边三角形的内角都相等，且都等于60 °；
3．等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴； 4．等边三角形每条边上中线，高线和所对角的平 分线都相互重合。
二、 等边三角形的判定
1．三边相等的三角形是等边三角形； 2．三个角都相等的三角形是等边三角形； 3．有一个内角等于60 °的等腰三角形是等边三角形．
1AB．
2
2
含30°角直角三角形的性质
性质：在直角三角形中,如果一个锐角等
于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
A
几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠A＝30°
∴BC= 1AB(或AB = 2BC)
2
B
C
巩固练习
A
1.如图：在Rt△ABC中 ∠A=300,
（1）BC=4,则AB=_____cm
A
30 °
B
C
D
证明：
延长BC至D，使CD=BC，连接AD ∵ ∠ACB=90°
∴∠ACD=90°．
在 △ABC和△ADC中
AC = A C
∠ACB=∠ACD
BC = CD
∴△ABC≌△ADC(SAS)． ∴AB=AD, ∵ ∠BAC=30° ∴ ∠B=60° ∴△ABD是等边三角形
∴BC=
1
BD=
（2）若AB+BC=15,则AB=_____cm
C
B
2. 在△ABC中,∠C=900,
∠B=150，DE是AB的 垂直平分线，BE=5,
Ａ Ｄ
则AE=______,AC=_ABC是等边三角形， AD⊥BC,DE⊥AB,若AB=8cm, BD=＿＿＿，BE=____
含30度角的直角三角形三边关系比例
含30度角的直角三角形三边关系比例一、直角三角形的性质直角三角形是指其中有一个角为90度的三角形。
在直角三角形中，三条边之间有着特定的关系比例，其中包括含30度角的直角三角形。
下面我们将重点讨论含30度角的直角三角形中三边的关系比例。
二、含30度角的直角三角形的特点1. 角度关系含30度角的直角三角形中，另外一个角度是60度，而最后一个角度即为90度。
2. 边长关系设直角三角形的三条边分别为a、b、c，其中a为斜边，b、c为两个直角边。
根据三角函数中正弦、余弦和正切的定义，我们可以得出以下关系：sin30°=b/c，即b=1/2c；cos30°=a/c，即a=√3/2c；tan30°=b/a，即b=a/√3=√3/3。
三、含30度角的直角三角形的应用含30度角的直角三角形在实际生活中有着广泛的应用，在工程学、建筑学等领域都有着重要的地位。
下面我们就会列举一些含30度角的直角三角形的应用例子。
1. 光学仪器在光学仪器中，含30度角的直角三角形被广泛用于折射、反射等光学现象的研究中。
比如反射三棱镜中的反射角度就是30度，而折射角度也与此有关。
2. 地形测量在地形测量中，含30度角的直角三角形经常用于测量斜坡的倾角、高度差等地形信息，为地理学家、土木工程师等提供重要的数据支持。
3. 建筑设计在建筑设计中，含30度角的直角三角形被用于设计坡顶、楼梯的护栏、天窗等部分，为建筑师提供了良好的设计基础。
四、结语含30度角的直角三角形是一种重要的几何图形，其三边关系比例对于许多实际问题的解决具有重要意义。
通过深入了解和研究含30度角的直角三角形，我们可以更好地应用数学知识于实际生活中，为人类社会的发展和进步做出贡献。
希望本文能够给读者带来有益的启发，激发大家对数学的兴趣。
五、含30度角的直角三角形的计算在含30度角的直角三角形中，我们可以利用三角函数来计算三边的关系比例。
如果已知斜边或直角边的长度，我们可以通过代入三角函数公式来计算其他边的长度。
第07讲 含30度直角三角形与斜边上的中线-新八年级数学暑假(苏科版)(学生版)
第07讲含30度直角三角形与斜边上的中线【学习目标】重难点：含30度角的直角三角形的性质定理和直角三角形斜边上中线的发现与证明【基础知识】一．含30度角的直角三角形（1）含30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）此结论是由等边三角形的性质推出，体现了直角三角形的性质，它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数．（3）注意：①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角（30°）的特殊定理，非直角三角形或一般直角三角形不能应用；②应用时，要注意找准30°的角所对的直角边，点明斜边．二．直角三角形斜边上的中线（1）性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）（2）定理：一个三角形，如果一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是以这条边为斜边的直角三角形．该定理可以用来判定直角三角形．【考点剖析】一．选择题（共5小题）1．（真题•云浮期末）已知直角三角形中30°角所对的直角边为2cm，则斜边的长为（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm2．（真题•兴化市期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB的中点，若CD＝4，那么AB的长是（）A．4 B．8 C．12 D．243．（真题•宁德期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝12，则CD的长是（）A．12 B．6 C．4 D．34．（真题•江岸区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，点D、E、F分别为边AC、AB、CB 上的点，且△DEF为等边三角形，若AD CD．则的值为（）A．B．C．D．5．（真题•丹阳市期末）如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝70°，点E是AC的中点．则∠EBD的度数为（）A．20°B．35°C．40°D．55°二．填空题（共5小题）6．（真题•滨海县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，AB＝6，则CD的长是．7．（2022春•济源期中）直角三角形的两边长为5、12，则斜边上的中线长为．8．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，若AB＝6，则CD＝．9．（真题•海门市期末）等腰△ABC中，底角∠B＝15°，腰长为30cm，则腰AB上的高为cm．10．（真题•海门市期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝12cm，点D在边AC上，以BD 为边在BD左上方作等边△BDE，若∠CBD＝45°，则点E到AB边的距离为cm．三．解答题（共5小题）11．（真题•丹阳市期末）如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线OM与边AC的垂直平分线ON交于点O，这两条垂直平分线分别交BC于点D、E．（1）若∠ABC＝30°，∠ACB＝40°，求∠DAE的度数；（2）已知△ADE的周长11cm，分别连接OA、OB、OC，若△OBC的周长为27cm，求OA的长．12．（真题•淮安区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，AC＝CD＝1，求直角边BC的长．13．（真题•东台市月考）如图，BN、CM分别是△ABC的两条高，点D、点E分别是BC、MN的中点．（1）求证：DE⊥MN；（2）若BC＝10，MN＝6，求DE．14．（真题•崇川区校级月考）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，且交AC于点D，DE垂直平分AB于点E，DE＝3cm．求线段AC的长．15．（真题•鼓楼区期末）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上的高，F是BC的中点．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）若∠A＝60°，DE＝2，求BC的长．【过关检测】一．选择题（共9小题）1．（真题•博兴县期中）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°．首先以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若BG＝1，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（）A．无法确定B．C．1 D．22．（真题•如皋市期中）如图，在△ABC中，∠B＝60°，点D在边BC上，且AD＝AC，若AB＝6，CD ＝4，则BD的长为（）A．3 B．2.5 C．2 D．13．（真题•崇川区校级期末）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC交边AC于点D，E为BD的中点，若BC＝2，则CE的长为（）A．B．2 C．D．34．（2021•苏州模拟）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3 B．4 C．5 D．65．（2021•苏州模拟）如图，已知∠ACB＝60°，PC＝12，点M，N在边CB上，PM＝PN．若MN＝3，则CM的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.56．（真题•信都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E是AC边上的动点（点E与点C、A 不重合），设点M为线段BE的中点，过点E作EF⊥AB，垂足为点F，连接MC、MF．若∠CBA＝50°，则在点E运动过程中∠CMF的大小为（）A．80°B．100°C．130°D．发生变化，无法确定7．（真题•安陆市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜边AB上的高，AD＝3，则BD的长是（）A．12 B．9 C．6 D．38．（真题•南平期末）四边形ABCD中，△ACD是边长为6的等边三角形，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，则对角线BD的长的取值范围是（）A．3＜BD≤3+3B．3＜BD＜6 C．6＜BD≤3+3D．3＜BD≤39．（真题•姜堰区期末）如图，公路AC、BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开，若测得AB 的长为3.6km，则M、C两点间的距离为（）A．1.8km B．3.6km C．3km D．2km二．填空题（共5小题）10．（2022•盐城一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，连接CD，若CD＝5，BE＝4，则AC＝．11．（2022春•大丰区校级月考）一副三角板按如图所示的位置摆放，△BDE的直角边BD恰好经过Rt△ABC斜边AC的中点M，BE交AC于点F，则∠BFM＝°．12．（真题•江都区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB的中点，CD＝6，则AB＝．13．（真题•赣榆区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝12．若AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN＝．14．（2022•邳州市一模）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，若AC＝2，则CD的长为．三．解答题（共6小题）15．（真题•溧水区期末）在一个三角形中，如果一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形吗？证明你的结论．16．（真题•京口区校级期中）如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．17．（真题•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，若AC＝12．（1）求证：BD⊥BC．（2）求DB的长．18．（真题•淮安期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD、CE三等分∠ACB，且CD是AB边的中线，CE是BD边的中线，当DE＝2时，求AC的长．19．（真题•天宁区校级月考）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，O为BD的中点．（1）∠OAC和∠OCA相等吗？请说明理由；（2）若P为AC中点，试判断OP与AC的关系．20．（真题•姑苏区校级期中）已知在△ABC中，∠B＝60°，AD＝14，CD＝12，S△ADC＝30，求BD的长．。
含30°角的直角三角形的性质教案
你能借助拼图找到直角尺的较短直角边与斜边之间的数量关系吗？
本节课我们再次学习直角三角尺摆放在一起.你能借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系吗？
展示交流与汇报
小组讨论做出猜想，回答问题：
问题：请说一说你猜想的命题中，条件和结论分别是什么？并结合图形，用符号语言表述出来.
学习重点：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.
学习难点：
巧妙运用性质解题.
学具准备：
多媒体课件、三角尺
课时：
1课时
学习过程
课时目标
环节
学案
批注
课前三分钟
展示：将两个大小相同的含30°角的三角尺摆放在一起（较长直角边靠在一起且直角顶点重合），可拼成一个什么样的三角形？
思考：这个命题是真命题吗？请进行证明．
（小组讨论后，选派一人进行表述）
总结巩固
与评价
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
符号语言：
∵在Rt△ABC中，
∠C=90°，∠A=30°，
∴BC=AB．
学习
收获与检测
1. Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2cm，则AB的长度是（）
含30°角的直角三角形的性质教案
课题：
含30°角的直角三角形的性质
三维目标：
【知识与技能】
1.熟练掌握含30°角的直角三角形的性质.
2.会利用性质解题.
【过程与方法】
通过直尺量取得到直观结论，然后加以证明。
【情感态度】
本节课使学生经历了“实验——猜想——证明”的过程，使同学们初步体验了自然科学的一般研究方法，提高了学生研究和学习的兴趣.
13.3.2(2) 含30度角的直角三角形的性质(课件)八年级数学上册(人教版)
120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝
∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，
∵∠B＝30°，BD＝10，
∴AD= BD=5
∴CD＝AD＝5．
一半，反之亦然．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，AC＝8，点D在边AB
上，且BD＝ ，点P是△ABC边上的一个动点，若AP＝2PD时，则PD的
长是 3
3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，CD是△ABC的高，
且BD＝1，则AD的长是 3 ．
图1
图3
当堂测试
4.如图,已知△ABC是等边三角形,D,E分别为BC、AC上的点,且CD=AE,AD、
证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，
1
∴∠BAC＝60°，AC= AB
2
∵DE是AB的垂直平分线
∴AD=DB= AB
∴AD＝AC，∴△ADC是等边三角形；
分层作业
【基础达标作业】
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、
BC于点D、E连接CD、AE．求证：点E在线段CD的垂直平分线上．
∵∠C=90º，
1
1
∴AC= 2 AE=2
BE=2.5.
B
E
C
随堂练习
2.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120º,D是BC的中点,DE⊥AB于E
点,求证：BE=3EA.
证明∵AB=AC,∠BAC=120º,
∴∠B=∠C=30º.
∵D是BC的中点, ∴AD⊥BC
B
∴∠ADC=90º,∠BAD=∠DAC=60º.
含30°角的直角三角形的性质课件
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