高二 数学 选修 参数方程 第五讲：几种常考圆锥曲线的参数方程(下)圆锥曲线参数方程的应用

A
【失误因为防O范M】 A看B到，所垂以直O想M斜 AB率（0 ，之即积2为px(-t122 ） t12，) 看2 p到y(t垂2 直t1) 想 0向，量（的数量积为0），看M到
平 《行参想数所以共法x线》(t1， 这 t2思 一) 维 小y 障 节0碍 ），即想 ，t1参 参 数 量t2 （常 参量xy (x数是一法0) 家解⑨．．题，同学们可以参考孟九章老师二轮O 复习课的
几种常考圆锥曲线的参数方程(下)
圆锥曲线参数方程的应用
典题剖析
【解析】因为椭圆的参数方程为
x y
3 2
cos sin
（
为参数），所以可设点
M
的坐标为
(3
cos
,
2
sin
)
．
由点到直线的距离公式，得到点 M 到直线的距离为：
d
3cos 4sin 10 5
5
cos
3 5
sin
4 5
10
x
因为 AM (x 2 pt12, y 2 pt1) ， MB (2 pt22 x, 2 pt2 y) ，且 A，M，B，三点共线，
所以 ( x 2 pt12 )(2 pt2 y) ( y 2 pt1 )(2 pt22 x) ，化简，得 y(t1 t2 ) 2 pt1t2 x 0 ⑩，
B
将⑧，⑨代入⑩，得到
y
y x
2
p
x
0
，即
x2
y2
2 px
0
(x
0)
，这就是点
M
图6
的轨迹方程．
tan2
)
sin了做2．二 另手a22 ：结 ta本 论n题记 的下a22 结来ab 论． a2需b ．要同学们当
由此可见，平行四边形 MAOB 的面积恒为定值，与点 M 在双曲线上的位置无关．
技巧传播
1．在研究有关圆锥曲线的最值和定值问题时，使用曲线的参数 方程非常简捷方便，其中点到直线的距离公式对参数形式的点的坐 标仍适用，另外要注意公式sec2 φ－tan2 φ＝1的应用．
陷阱二： 没有主动运用参数法的意识．在相当多的省份的高考中，圆锥曲线是压轴题，用普通
方法去解决肯定困难，我们可以考虑用参数法去解决．
【易错要点】不能充分利用参数方程和题目中的垂直、共线等条件，找不等等量关系，消不去参数．
【正解】根据条件，设点
M，A，B
的坐标分别为 ( x,
y) ， (2
pt12 , 2
5
1 5
5 cosos0
3 5
， sin0
4 5
，
由三角函数性质知，当 0 0 时，d 取最小值 5 ．
此时，
3 cos
3 cos 0
9 5
，
2 sin
2 sin 0
8 5
．
点拨：利用椭圆的参数方 程，点到直线的距离公式， 辅助角公式，去解决这类 问题思路清晰，计算简便， 把难度较高的最值问题， 转化为三角问题，利用三 角函数的有界性，大大降 低了思维量和计算量．
pt1 )
， (2
pt
2 2
,
2
pt2 ) （
t1
t2
，且
t1
t2
0
），
则 OM ( x, y) ， OA (2 pt12, 2 pt1) ， OB (2 pt22, 2 pt2 )， AB (2 p(t22 t12 ), 2 p(t2 t1)) ．
y
因为 OA OB ，所以 OA OB 0 ，即 (2 pt1t2 )2 (2 p)2 t1t2 0 ，所以 t1t2 1⑧．
因此，当点
M
位于
9 5
,
8 5
时，点
M
与直线
x
2
y
10
0
的距离取最小值
5．
y
A
M
OB
x
图5
【解析】双曲线的渐近线方程为
y
b a
x
，不妨设
M
为双曲线右支上一点，其点坐标拨为：(用a se参c数,b方tan程 )法，求解例2，思
则直线
MA
的方程为
y
b tan
b a
(x
a
sec )
④，将
y
b a
x
代入④维缭，清乱解晰的得，参点计 数A 的算的横量引坐小入标．，为不是xA过同 其学a2 (s中们ec眼不花愿tan )
2．用参数法求动点的轨迹方程，其基本思想是选取适当的参数 作为中间变量，使动点的坐标分别与参数有关，从而得到动点的参 数方程，然后再消去参数，化为普通方程．
陷阱规避
陷阱一： 不理解圆锥曲线中参变量的含义，想当然的去解题。不理解含义只能解决简单的问题，
若是关于范围等问题，肯定出错．并且不理解参数的含义，那么数学解题方法中的一大技 巧：参数法，你肯定运用不好．
，
同理可证，点
B
的横坐标为
xB
a 2
(sec
tan ) ，设 AOx
，则
ta意个n接理受念ab 的：， ． 参但数是也我是们数心，中并只没要有有那一么
因此， MAOB 的面积为：
可怕，就不会觉得题目那么难
S
MAOB
OA
OB
sin 2
xA cos
xB cos
sin 2
a
2
(sec2 4 cos2