备战高考数学复习知识点讲解课件3---突破双变量“存在性或任意性”问题

m＋1

Hale Waihona Puke m＋2f(x)的值域为
，
，
3
2
又因为 g(x)＝(m－1)x 在[1，2]上单调递减，所以 g(x)的值域为[2m－2，m
－1]，
m＋1

m＋2

所以
，
⊆[2m－2，m－1]，
3
2
m＋1

≥2m－2，
2
所以
方程无解.
m＋2
3 ≤m－1，
当 m>1 时，m－1>0，所以 f(x)在[0，1]上单调递减，所以 f(x)的值域为
5
5

综上，实数 m 的取值范围为3，2.


理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略
是“等价转化”，即“函数f(x)的值域是g(x)的值域的子集”，从而利用包
含关系构建关于m的不等式组，求得参数的取值范围.
类型二
形如“存在 x1∈A 及 x2∈B，使得 f(x1)＝g(x2)成立”
m＋2
m＋1

，

.
2
3
又因为 g(x)＝(m－1)x 在[1，2]上单调递增，所以 g(x)的值域为[m－1，2m

m＋2
m＋1

－2]，所以
，
⊆[m－1，2m－2]，
2
3
m＋1

≤2m－2
2
5
5
所以
，解得 ≤m≤ ，
3
2
m＋2
3 ≥m－1
当m＝1时，f(x)＝1，g(x)＝0，显然不满足题意.


并且两个值域有公共部分.
3
1
4
先求没有公共部分的情况，即 2－2k>1 或 2－ k<0，解得 k< 或 k> ，所以
2
2
3
要使两个值域有公共部分，k
1
4

的取值范围是2，3.


本类问题的实质是“两函数f(x)与g(x)的值域的交集不为空集”，上述解法
的关键是利用了补集思想.另外，若把此种类型中的两个“存在”均改为
g(x)min<f(x)min，
2＋x
4
由 g(x)＝ln
，得 g(x)＝ln(－1－
)在[0，1]上单调递增，
2－x
x－2
所以g(x)min＝g(0)＝0，
因为f(x)＝m(x－ 4－x )＋2，
所以当m＝0时，f(x)＝2＞0恒成立；
当m＞0时，f(x)在[0，4]上单调递增，可得f(x)min＝f(0)＝－2m＋2，
2x＋m
(2022·广东省揭阳第一中学期末)已知函数 f(x)＝ x
(0≤x≤1)，
2 ＋1
函数 g(x)＝(m－1)x(1≤x≤2).若对任意的 x1∈[0，1]，都存在 x2∈[1，2]，
使得 f(x1)＝g(x2)，则实数 m 的取值范围为(

5

A.1，3





B. 2，3



后求解参数的范围.
备战高考数学复习知识点讲解课件
第3讲
突破双变量“存在
性或任意性”问题
解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词
的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关
系)，目的在于培养学生的审题能力和转化思想，形成良好的逻辑推理素养.
类型一
形如“对任意 x1∈A，都存在 x2∈B，使得 g(x2)＝f(x1)成立”


理解量词的含义，将原不等式转化为f(x)max ≤g(x)max ；利用函数的单调性，
求f(x)与g(x)的最大值，得到关于a的不等式，从而求得a的取值范围.
类型四
形如“存在 x1∈A，对任意 x2∈B，都有 f(x1)<g(x2)成立”
2＋x
已知函数 f(x)＝m(x－ 4－x)＋2，g(x)＝ln

5

C.2，2


5
5

D.3，2


√
)
【解析】 由题意可得 f(x)在[0，1]上的值域是 g(x)在[1，2]上的值域的子集，
2x＋m 2x＋1＋m－1
m－1
因为 f(x)＝ x
＝
＝1＋ x
，
x
2 ＋1
2 ＋1
2 ＋1
当 m<1 时，m－1<0，
所以 f(x)在[0，1]上单调递增，所以
，∃x1∈[0，1]，对
2－x
于∀x2∈[0，4]都有 g(x1)<f(x2)，则实数 m 的取值范围是(


1

A.－2，1


1
B.4ln


1
1
3－ ，1－ ln 3
2
2



1

C.－2，1


1
D.4ln


1
1
3－ ，1－ ln 3
2
2

√
)
【解析】
由 ∃x1 ∈ [0 ， 1] ， 对 于 ∀x2 ∈ [0 ， 4] 都 有 g(x1) ＜ f(x2) ， 可 得
已知函数

1

0， ，若存在
2

取值范围.

1

f(x)＝2x，x∈ 0，2，函数



1

x1∈0，2及



1

x2∈0，2，使得


g(x)＝kx－2k＋2(k>0)，x∈
f(x1)＝g(x2)成立，求实数 k 的
【解】


3k
由题意，
易得函数 f(x)的值域为[0，1]，g(x)的值域为2－2k，2－ 2 ，
由－2m＋2>0，解得m<1，即0＜m<1成立；
当m＜0时，f(x)在[0，4]上单调递减，可得f(x)min＝f(4)＝4m＋2，


由4m＋2>0，解得m>－ ，即－


综上，m的取值范围是


1


－
，1


2


.
<m<0.
解决本题的关键是对条件的理解及转化，将条件转化为g(x)min<f(x)min，然
【解析】
依题意知 f(x)max≤g(x)max.

4 1

，1
因为 f(x)＝x＋x在2
上单调递减，


1 17
所以 f(x)max＝f( )＝ .
2
2
又 g(x)＝2x＋a 在[2，3]上单调递增，
所以 g(x)max＝8＋a，
17
1
因此 ≤8＋a，则 a≥ .
2
2
1



【答案】 2，＋∞
“任意”，则“等价转化”策略是利用“f(x)的值域和g(x)的值域相等”来
求解参数的取值范围.
类型三
形如“对任意 x1∈A，都存在 x2∈B，使得 f(x1)≤g(x2)成立”
1

4


x
已知函数 f(x)＝x＋x，g(x)＝2 ＋a，若∀x1∈2，1，∃x2∈[2，3]，


使得 f(x1)≤g(x2)，则实数 a 的取值范围是________.