平面与平面的夹角

cos
rr |cosa,b|
2.直线与平面所成角： r uuur
s in | cosn,AB|
rC
rD
a
a
A r
D1
bB
Ar
n
B
O
r
n
PPT学习交流
37
3.二面角：
B
A C l
D
coscosuAuB ur,C uuD ur uuA uuuB rurC uuuuD uurr
B1 B
平面角是直角的二 面角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
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5
9
以二面角的棱上任意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两 条射线所成的角叫做二面角的平面角。
A
O
二面角的平面角必须满足：
1）角的顶点在棱上
2）角的两边分别在两个面内
l
3）角的边都要垂直于二面角的棱
B
QAB1 BC1,
a,
1 4
a,0)
则u A 可uB ur1设u B uC ua u r1= 11 2 ，ab2 b22 0， 则b B(02,21,a0)
z C1
B1 A1
2
C1 (0,0,
2) 2
D(
3 , 1 ,0) 44
E
作CEBC1于E, DFBC于1 F，
F
则〈 EC , FD 〉即为二面角 DBC 1C的大小 C
二面角
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1
一条直线上的一个点把这条直线分成两
个部分，其中的每一部分都叫做射线。
一个平面内的一条直线把这个平面分成
两个部分，其中的每一部分都叫做半平面。
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2
2
定义:
B
A
O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的图 形叫做二面角。 这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
x0
y
z
0
uu r 任 取 n2(0,1,1)
uruu r
cosn ur1,n uu r2|n un r11|g |nn u2 u r2|22即 所 求 二 面 角 得 余 弦 值 是 22
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27
三、面面角： 二面角的范围： [0,]
②方向向量法：
将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 （在二面角的面内且垂直于二面角的棱）的 夹角。如图，设二面角 l 的大小为 ，
设底面三角形的边长为a侧棱长为babbc即为二面角的大小bccebcdffdecccrtbcccebceeb所以acbdabccc中同理可求bdfdecfdecfdec即二面角的余弦值为解法二法向量同法一以c为原点建立空间直角坐标系cxyz在坐标平面yoz中的一个法向量为bd同法一可求b010二面角的大小等于即二面角的余弦值为证明
B
FA
M
C PPT学习交流
19
射影法
是不找平面角求二面角的一种方法: A
B
O
D
C
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20
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射 影为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的 面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
A
B
A`
D
M
C
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21
例题选
z C1
444
B1 A1
∴ cos〈 EC , FD 〉=
1
EC FD 4 2 EC FD 3 6 2
C
34
x
即二面角DBC 1C的余弦值为 2
2
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E F
By DA
32
解法二（法向量）同法一，以C为原 点建立空间直角坐标系 C-xyz Q CC1B 在坐标平面yoz中 ∴可取 n＝(1,0,0)为面 CC1B的法向量
B1
DG C H
A FB
G
DH
C
A
F
B
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23
例题选 过正讲方形ABCD的顶点A引SA⊥底面ABCD， 并使平面SBC，SCD都与底面ABCD成45度 角，(1)求二面角B—SC—D的大小？(2)求面
SCD与面SAB所成的二面角
1200
S
450或1350
A
E
D
O
B
C
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24
一题多解：
C uuD ur2(C uuA u ru A uB uru B uD ur)2
D
A
uuu ruuur uuu ruuur
B
(217)26242822CABDcosCA,BD C
E
cos
uuur CA,
uuur BD
1
2
cos
uuur uuur AC, BD
1
3
2
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29
例.正三棱柱 ABC A1B1C1中，D是AC的中点， 当AB1 BC1时，求二面角DBC1C的余弦值。
范围:[0, ]
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6
10
二面角的计算：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
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7
16
练习
１.如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，二面角C1-BD-C
的正切值是_______.
2
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8
练习
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16
例题选 三棱讲锥P-ABC中，PA ⊥平面ABC， PA=3，AC=4，PB=PC=BC
（1）求二面角A-PC-B的大小
P
BD= 5 3
2
D DE= 15 8
AE
C
3 COS =
4
B
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17
例题选 四棱讲锥P-ABCD的底面是边长为4的正方形， PD⊥面ABCD，PD=6，M,N是PB,AB的中点，
uuur B 1O(1， 1， 2)
D O
C1 B1
y
C
A(2， 0， 0)， C(0， 2， 0)， M(0， 0， 1)， A
B
B1(2， 2， 2)， O(1， 1， 0)。
x
u u u r u u u r
u u u r u u u u r
B 1 O M A 2 0 2 0 ， B 1 O M C 0 2 2 0
求二面角M-DN-C的平面角的正切值？
P
M
arctan 3 5 2
C
B
O H
N
D
A
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18
例题选
如图讲，三棱锥P-ABC中，面PBC⊥面 ABC，⊿PBC是边长为a的正三角形， ∠ACB= 90°， ∠BAC=30°，BM=MC
① 求证： PB ⊥AC ② 二面角C-PA-M的大小
P
D
arctan 2 3
设 平 面 B 1 M A 的 一 个 法 向 量 为 n r ( x ， y ， z ) D1
C1
由 u u u A r( 2 ， 0 ， 0 ) ， M ( u 0 u u ， 0 u r ， 1 ) ， B 1 ( 2 ， 2 ， 2 ) 得 A1 所 M A 以 nr( 2 M u， u0 uA ， r 1 0) ， ， M nB r1 M u uuB ( u2 r1， 2 ， 1 0)
O为AC和BD的交点，M为DD 1 的中点 z
（1）求证： 直线B1O 面MAC; （2）求二面u角uur uBu1uruMuuAurC 的余弦值.
D1
①证明：以 DA、 DC、 DD为1 正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
uuu r
uuuu r
所 以 M A(2， 0， 1)， M C(0， 2， 1)，
13
例题选 ⊿A讲BC中,AB⊥BC,SA ⊥平面ABC,DE垂 直平分SC,又SA=AB,SB=BC,求二面角EBD-C的大小?
S
E
A
D
C
3
B
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14
垂线法(三垂线 定理或逆定理)
垂连求角
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15
三垂线法:首先找其中一个半平面 的垂线,找不到垂线找垂面(指其中 一个半平面的垂面),找到垂面作垂 线,构造三垂线定理或逆定理条件 得平面角.
垂 面 法 :ASD
射影面积法 法向量法
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25
三、面面角： 二面角的范围： [0,]
①法向量法
ur uur
n1，n 2
uur uur
u ur n1，n2
n2
u ur
n2
uuruur
n1， n2
ur uur
n1，unur2 n1
u ur
n1
l
l
cos
ur uur
cosn1,n2 co s
S (0, 0,1)
ru u u r 易 知 面 S B A 的 法 向 量 n 1 A D ( 0 , 1 , 0 )
u u u r
u u u r
C D ( 1 ,0 ,0 ) ,S D ( 0 ,1 , 1 )
u u r
u u r u u u ru u r u u u r
设平面 S C D 的 法 向 量 n 2 ( x ,y ,z ) , 由 n 2 C D ,n 2 S D ,得 ：
M
即22xx 02yzz00
取z=2得x=1，y=-2
A
D
O
B1
y
C B
所 nr以 (1平 ， 面 2， B 21)MA的 一 个 法 向 量 为 x
cos u Bu1uO r， nr 1629466
所 以 二 面 角 B 1M AC 的 余 弦 PPT学值 习交为 流 6 6。
35
小结：
1.异面直线所成角：
A1
解得 x 3y 6 z 所以，可取m(3, 3, 6)
2
∴ cos〈 m,n〉=
mn 3 mn 3 2
2 2
C
∴二面角 DBC 1C的大小等于〈m,n〉
x
D
By A
2
即二面角 DBC 1C的余弦值PPT学为习交流2
33
例.已知正方体AB C A 1B D 1 C 1D 1的边长为2，
在正讲方体AC1中，E,F分别是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
D1
E
C1
DG C
A1 D
B1 a r c c o s 6
6A FB
G
E
C
A
FB
A1
C
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F
22
在正方体AC1中，E,F分别是中点,求截面 A1ECF和底面ABCD所成的锐二面角的大小
D1 A1
E
C1
２. 在二面角α-l-β的一个平面α内有一条直线AB，它 与棱 l 所成的角为45°，与平面β所成的角为30°，则 这个二面角的大小是________________.
或 3 44
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9
练习
3 、 在二面角α-a-β内，过a作一个半平面γ，使二面角αa-γ=45°，二面角γ-a-β=30°，则γ内的任意一点P到平 面α与平面β的距离之比为
2
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10
二二面面角角的的求求法法 (1)垂面法
(2)垂线法
(3)射影法
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11
垂面法(定义法)
定义法:根据定义,找到二面角的棱垂面即 可得平面角,解三角形求其大小.
PPT学习交流
12
例题选
在讲正方体AC1中，求二面角D1—AC—D 的大小？
D1
C1
A1
B1
DO
C
A
B
PPT学习交流
ur uur cosn1,n2
注意法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；
同进同出，二面角等于法向PP量T学习夹交流角的补角
26
u u u r u u u r u u u r 解 : 设 S A 1 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 [ O ; A B , A D , A S ]
A (0,0,0), C (1,1,0), D (0,1,0),
By
在 RtCC1B中，CE1BE
CC
2 1
BC 2
b2 a2
1 2
x
DA
uuur CE
1
uuur EB
2
E(0, 1 , 3 PPT学习交流
2) 3
uEuCur (0,1, 2) 33
31
由于BDAC且 CC1 面ABC，所以 BDC1D
在
RtC1BD中，同理可求
F
(0,
1 2
,
2) 4
∴ FD( 3,1, 2)
C1
B1
A1
C D
B A
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30
解法一(方向向量）：如图，以C为原点建立空间直角坐标系 C-xyz。设底面三角形的边长为a，侧棱长为b, 则
A(
故
3 a, 1 a,0)
2 23
B(0,a,0) 1
C1(0,0,b)
B1(0,a,b) D(
3 4
AB1 (
2
a,
a,b) 2
BC 1 (0,a,b)
设面 C1BD 的一个法向量为 m(x, y, z) 同法一，可求 B(0,1,0)
D( 3 , 1 ,0) 44
C1 (0,0,
2) 2
∴
C1D(
3,1, 44
2) 2
DB( 3,3,0) z 44
由 C1Dm,DBm得
C1
B1
uuuur ur 3 1 2 C1Dm4x4y2z0,
DBm 3x3y0 44
PPT学习交流
3
3
表示方法：
B
∠AOB
O
二面角－AB－
A
A
C
B
l
B
A
二面角－ l－
D
二面角C－AB－ D
PPT学习交流
4
5
度量：以二面角的棱上任意一点为端点，在
两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这
两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
二面角的∠A1O1B1
u u u ru u u r u u u ru u u u r
所 以 B 1 O M A ， B 1 O M C
即 B 1 O M A ， B 1 O M C 。 又 M A IM C C
所 以 B 1 O 平 面 M A C
PPT学习交流
34
u u u r
② 且 由 u ① B u 1 u O 知 r B ( 1 O 1 ， 1 平 ， 面 2 )M A C所 以 B 1 O 是 平 面 M A C 的 z 一 个 法 向 量
其中 A B l,A B ,C D l,C D
B
CA l
D
coscosuAuB ur,C uuD ur uuA uuuB rurC uuuuD uurr
ABCD
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28
例、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD=2 1 7 cm，求二面角的度数