2020高考真题汇编6：三角函数及解三角形(文)
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方案二：选条件②．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ， ， ．
由② ，所以 ．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ．
方案三：选条件③．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由③ ，与 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
19．解析：（1）在 中，因为 ，
由余弦定理 ，得 ，
所以 .
在 中，由正弦定理 ，
得 ，
所以
（2）在 中，因为 ,所以 为钝角，
而 ,所以 为锐角.
故 则 .
因为 ，
所以 ， .
从而
20．解析：方案一：选条件①．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由① ，解得 ．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ．
三、解答题
14．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
A. B.
C. D.
6．【2020年高考天津】已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是()
A．①B．①③C．②③D．①②③
7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】(多选)下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= ( )
A． B．2 C．4 D．8
4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f(x)=sinx+ ，则()
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线 对称D．f(x)的图像关于直线 对称
5．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是()
20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1．答案：C
解析：由图可得：函数图象过点 ，
2020高考真题汇编6：三角函数及解三角形
一、选择题
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数 在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为()
A． B．
C． D．
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=( )
将它代入函数 可得： ，
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得 .
所以函数 最小正周期为
故选C.
2．答案：B
解析：由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
3．答案：C
解析：设
故选：C
4．答案：D
解析： 可以为负，所以A错；关于原点对称； Nhomakorabea故B错；
关于直线 对称，故C错，D对
故③正确.
故选：B.
7．答案：BC
解析：由函数图象可知： ，则 ，所以不选A,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
8．答案：
解析： .
故答案 .
9．答案：
解析：
故答案为：
10．答案：
解析：
当 时 .
故答案为：
11．答案： （ 均可）
解析：因为 ，
所以 ，解得 ，
故可取 .
故答案为： （ 均可）.
解得 （舍去）， ，从而 .
的面积为 ．
（2）在 中， ，所以
，
故 .
而 ，所以 ，故 .
15．解析：（1）由已知得 ，即 ．
所以 ， ．由于 ，故 ．
（2）由正弦定理及已知条件可得 ．
由（1）知 ，所以 ．
即 ， ．
由于 ，故 ．从而 是直角三角形．
16．解析：选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
16．【2020年高考北京】在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17．【2020年高考天津】在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
A． B． C． D．
二、填空题
8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若 ，则 __________．
9．【2020年高考江苏】已知 = ，则 的值是___________．
10．【2020年高考江苏】将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____________．
12．答案： ；
解析： ，
，
故答案为：
13．答案：
解析：设 ，
由题意 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于 点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
14．解析：（1）由题设及余弦定理得 ，
故选：D
5．答案：A
解析：单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆周角为 ，
每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故选：A.
6．答案：B
解析：因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
（Ⅲ）求 的值．
18．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
19．【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
17．解析：（Ⅰ）在 中，由余弦定理及 ，
有 ．又因为 ，所以 ．
（Ⅱ）在 中，由正弦定理及 ，
可得 ．
（Ⅲ）由 及 ，可得 ，
进而 ．
所以， ．
18．解析：（Ⅰ）由正弦定理得 ，故 ，
由题意得 .
（Ⅱ）由 得 ，
由 是锐角三角形得 .
由 得
.
故 的取值范围是 .
11．【2020年高考北京】若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为________．
12．【2020年高考浙江】已知 ，则 _______， _______．
13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ， ， ．
由② ，所以 ．
因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时 ．
方案三：选条件③．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由③ ，与 矛盾．
因此，选条件③时问题中的三角形不存在．
19．解析：（1）在 中，因为 ，
由余弦定理 ，得 ，
所以 .
在 中，由正弦定理 ，
得 ，
所以
（2）在 中，因为 ,所以 为钝角，
而 ,所以 为锐角.
故 则 .
因为 ，
所以 ， .
从而
20．解析：方案一：选条件①．
由 和余弦定理得 ．
由 及正弦定理得 ．
于是 ，由此可得 ．
由① ，解得 ．
因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时 ．
三、解答题
14．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.
（1）若a= c，b=2 ，求 的面积；
（2）若sinA+ sinC= ，求C.
15．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求A；
（2）若 ，证明：△ABC是直角三角形．
A. B.
C. D.
6．【2020年高考天津】已知函数 ．给出下列结论：
① 的最小正周期为 ；
② 是 的最大值；
③把函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，可得到函数 的图象．
其中所有正确结论的序号是()
A．①B．①③C．②③D．①②③
7．【2020年新高考全国Ⅰ卷】(多选)下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= ( )
A． B．2 C．4 D．8
4．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知函数f(x)=sinx+ ，则()
A．f(x)的最小值为2B．f(x)的图像关于y轴对称
C．f(x)的图像关于直线 对称D．f(x)的图像关于直线 对称
5．【2020年高考北京】2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率 的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数 充分大时，计算单位圆的内接正 边形的周长和外切正 边形（各边均与圆相切的正 边形）的周长，将它们的算术平均数作为 的近似值．按照阿尔·卡西的方法， 的近似值的表达式是()
20．【2020年新高考全国Ⅰ卷】在① ，② ，③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在 ，它的内角 的对边分别为 ，且 ， ，________?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1．答案：C
解析：由图可得：函数图象过点 ，
2020高考真题汇编6：三角函数及解三角形
一、选择题
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设函数 在[−π，π]的图像大致如下图，则f（x）的最小正周期为()
A． B．
C． D．
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知 ，则 ( )
A． B． C． D．
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=( )
将它代入函数 可得： ，
又 是函数 图象与 轴负半轴的第一个交点，
所以 ，解得 .
所以函数 最小正周期为
故选C.
2．答案：B
解析：由题意可得： ，
则： ， ，
从而有： ，
即 .
故选：B.
3．答案：C
解析：设
故选：C
4．答案：D
解析： 可以为负，所以A错；关于原点对称； Nhomakorabea故B错；
关于直线 对称，故C错，D对
故③正确.
故选：B.
7．答案：BC
解析：由函数图象可知： ，则 ，所以不选A,
当 时， ，
解得： ，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
8．答案：
解析： .
故答案 .
9．答案：
解析：
故答案为：
10．答案：
解析：
当 时 .
故答案为：
11．答案： （ 均可）
解析：因为 ，
所以 ，解得 ，
故可取 .
故答案为： （ 均可）.
解得 （舍去）， ，从而 .
的面积为 ．
（2）在 中， ，所以
，
故 .
而 ，所以 ，故 .
15．解析：（1）由已知得 ，即 ．
所以 ， ．由于 ，故 ．
（2）由正弦定理及已知条件可得 ．
由（1）知 ，所以 ．
即 ， ．
由于 ，故 ．从而 是直角三角形．
16．解析：选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
16．【2020年高考北京】在 中， ，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ） 和 的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
17．【2020年高考天津】在 中，角 所对的边分别为 ．已知 ．
（Ⅰ）求角 的大小；
（Ⅱ）求 的值；
A． B． C． D．
二、填空题
8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若 ，则 __________．
9．【2020年高考江苏】已知 = ，则 的值是___________．
10．【2020年高考江苏】将函数 的图象向右平移 个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____________．
12．答案： ；
解析： ，
，
故答案为：
13．答案：
解析：设 ，
由题意 ， ，所以 ，
因为 ,所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 与圆弧 相切于 点，所以 ，
即 为等腰直角三角形；
在直角 中， ， ，
因为 ，所以 ，
解得 ；
等腰直角 的面积为 ；
扇形 的面积 ，
所以阴影部分的面积为 .
故答案为： .
14．解析：（1）由题设及余弦定理得 ，
故选：D
5．答案：A
解析：单位圆内接正 边形的每条边所对应的圆周角为 ，
每条边长为 ，
所以，单位圆的内接正 边形的周长为 ，
单位圆的外切正 边形的每条边长为 ，其周长为 ，
，
则 .
故选：A.
6．答案：B
解析：因为 ，所以周期 ，故①正确；
，故②不正确；
将函数 的图象上所有点向左平移 个单位长度，
得到 的图象，
（Ⅲ）求 的值．
18．【2020年高考浙江】在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知 ．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
19．【2020年高考江苏】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ．
（1）求 的值；
（2）在边BC上取一点D，使得 ，求 的值．
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
17．解析：（Ⅰ）在 中，由余弦定理及 ，
有 ．又因为 ，所以 ．
（Ⅱ）在 中，由正弦定理及 ，
可得 ．
（Ⅲ）由 及 ，可得 ，
进而 ．
所以， ．
18．解析：（Ⅰ）由正弦定理得 ，故 ，
由题意得 .
（Ⅱ）由 得 ，
由 是锐角三角形得 .
由 得
.
故 的取值范围是 .
11．【2020年高考北京】若函数 的最大值为2，则常数 的一个取值为________．
12．【2020年高考浙江】已知 ，则 _______， _______．
13．【2020年新高考全国Ⅰ卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC= ， ，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．