最新-2021年高中数学人教A版必修三课件：2.2 222 用样本的数字特征估计总体的数字特征 精品
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第二章 统 计
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数 字特征
第二章 统 计
1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差． 2. 理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法． 3．会应用相关知识解决简单的统计实际问题．
1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：在一组数据中，出现_次__数__最多的数据(即频率分布最 大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数． 若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样， 则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样 多，则没有众数．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的 平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的 面积求和即可． 所 以 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.024×10) ＋ 95×(0.016×10)＝76.2.
1.样本数为 9 的四组数据，它们的平均数都是 5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是( )
A．第一组
B．第二组
C．第三组
D．第四组
解析：选 D.法一：第一组中，样本数据都为 5，标准差为 0；
第二组中，样本数据为 4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差
为 36；第三组中，样本数据为 3，3，4，4，5，6，6，7，7， 标准差为235；第四组中，样本数据为 2，2，2，2，5，8，8， 8，8，标准差为 2 2，故标准差最大的一组是第四组．
【解】 (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17
10 ＝15(岁)，
中位数为 15 岁，众数为 15 岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市
民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为 54＋3＋4＋4＋51＋06＋6＋6＋6＋56＝15(岁)， 中位数为 6 岁，众数为 6 岁． 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映
已知五个数据 3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________． 解析：因为－x ＝51×(3＋5＋7＋4＋6)＝5， 所以 s＝ 15×[（3－5）2＋…＋（6－5）2]＝ 2. 答案： 2
探究点 1 众数、中位数、平均数的计算及应用 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群
市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
判断正误．(对的打“√”，错的打“×”) (1)数据 5，4，4，3，5，2 的众数为 4.( × ) (2)数据 2，3，4，5 的标准差是数据 4，6，8，10 的标准差的 一半．( √ ) (3)方差与标准差具有相同的单位．( × ) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均 数改变，方差不变．( √ ) 解析：(1)中的众数应为 4 和 5；(2)正确；(3)二者单位不一致； (4)正确，平均数也应减去该常数，方差不变．
下列说法中正确的个数为( )
①数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定；
②数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定；
③数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定；
④数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C.由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们 都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之 无关，故②不正确，①③④正确．
【解】 (1) －x 甲＝61(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， －x 乙＝61(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100， s 2甲＝61 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (98 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝61 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (102 － 100)2 ＋ (99 － 100)2 ＋ (100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最__中__间___位置 的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数． (3)平均数：指样本数据的算术平均数．
即－x ＝__n1_(_x_1＋__x_2_＋__…__＋__x_n_)____．
2．标准差与方差 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般 用 s 表示，计算时通常用公式
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店经理，最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，那么
下列统计量中对你来说最重要的是( )
A．平均数
B．众数
C．中位数
D．方差
解析：选 B.鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即 数据的众数．由表可知，鞋号为 37 的鞋销量最大，共销售了 16 双，所以这组数据的众数为 37.
s2乙＝110[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－ 31)2] ＝110×1 288＝128.8(cm2)． 所以 s2甲＜s2乙.
即甲种玉米苗长得齐．
探究点 3 统计图中的数字特征 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下
的频率分布直方图．
从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测它 们的株高如下：(单位：cm) 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？
解：(1) －x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42) ＝110×300＝30(cm)， －x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40) ＝110×310＝31(cm)． 所以－x 甲＜－x 乙．
(1)频率分布直方图的数字特征 ①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值 来显示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边 中点的横坐标； ②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等； ③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积 的和．
(2)频率分布折线图、条形图中的数字特征 这两种图中的数字特征都与图的横纵坐标的统计意义有关． ①可根据图中的折点(或条形图中每条的横纵坐标)得出相应 的样本数据，然后按公式定义得出特征数据； ②也可根据图形的趋势大体估计出样本的数据特征．
3．平均数、方差的性质 若 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为－x ，方差为 s2 那么 ax1＋b， ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b 的平均数为－x ′＝a－x ＋b；方差 s′2 ＝a2s2.
众数、中位数、平均数、方差(标准差)特征数的含义：它们都 是描述一组数据集中趋势的量． (1)众数：体现了样本数据最大集中点，当一组数据中部分数据 多次重复出现时，众数往往更能反映问题． (2)中位数：它与样本数据的排列位置有关，不受样本中某些极 端值的影响，它可能在所给的样本数据中，也可能不在其中． (3)平均数：它与样本中每一个数据都有关系，它反映数据的平 均值，但极易受极端值的影响． (4)方差(标准差)：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小， 方差(标准差)越大(小)，则样本数据的离散程度越大(小)．
(2017·高考全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田．这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，…， xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程 度的是( ) A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差 C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 解析：选 B.标准差能反映一组数据的稳定程度．故选 B.
s＝ ___n1_[_（__x_1_－__－x__）__2＋__（__x_2_－__－x__）__2＋ ___…__＋__（__x_n－__－_x_）__2_]___． 显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据 的离散程度越小． (2)方差：标准差 s 的平方 s2，即 s2＝
_n1_[_(_x_1－__－_x__)2_＋__(x__2－__－_x_)_2＋__…__＋ ___(x_n_－__－x__)_2]______________ 叫 做 这组数据的方差，同标准差一样，方差也是用来测量样本数据 的分散程度的特征数．
探究点 2 标准差、方差的计算及应用 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验
质量，从中抽取 6 件测量数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
法二：从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、 三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较 大，利用标准差的意义可以直观得到答案．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩．
【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在 直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体 现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就 是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩 形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 所对应的成绩即为所求．
乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
Hale Waihona Puke 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先 将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的 定义计算． [注意] 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较 大的极端值．
某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表： 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41
因为 0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， 所以前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0.03×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5， 所以中位数应位于第四个小矩形内． 设其底边为 x，高为 0.03，所以令 0.03x＝0.2，得 x≈6.7， 故中位数应约为 70＋6.7＝76.7.
(2)由(1)知－x 甲＝－x 乙，比较它们的方差，因为 s2甲＞s2乙，故乙机
床加工零件的质量更稳定．
用样本的标准差、方差估计总体的方法 (1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均 数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等 时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况． (2)标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)． (3)因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏 差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度 上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
即乙种玉米苗长得高．
(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－ 30)2＋ (14－30)2＋ (19－30)2＋ (39－30)2＋ (21－ 30)2＋ (42－ 30)2] ＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110 ×1 042 ＝104.2(cm2)，
2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数 字特征
第二章 统 计
1.会求样本的众数、中位数、平均数、标准差、方差． 2. 理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法． 3．会应用相关知识解决简单的统计实际问题．
1．众数、中位数、平均数的概念 (1)众数：在一组数据中，出现_次__数__最多的数据(即频率分布最 大值所对应的样本数据)叫这组数据的众数． 若有两个或两个以上的数据出现得最多，且出现的次数一样， 则这些数据都叫众数；若一组数据中每个数据出现的次数一样 多，则没有众数．
(2)样本平均值应是频率分布直方图的“重心”，即所有数据的 平均值，即每个小矩形底边的中点的横坐标乘以每个小矩形的 面积求和即可． 所 以 平 均 成 绩 为 45×(0.004×10) ＋ 55×(0.006×10) ＋ 65×(0.02×10) ＋ 75×(0.03×10) ＋ 85×(0.024×10) ＋ 95×(0.016×10)＝76.2.
1.样本数为 9 的四组数据，它们的平均数都是 5，条形图如图所示，则标准差最大的一组是( )
A．第一组
B．第二组
C．第三组
D．第四组
解析：选 D.法一：第一组中，样本数据都为 5，标准差为 0；
第二组中，样本数据为 4，4，4，5，5，5，6，6，6，标准差
为 36；第三组中，样本数据为 3，3，4，4，5，6，6，7，7， 标准差为235；第四组中，样本数据为 2，2，2，2，5，8，8， 8，8，标准差为 2 2，故标准差最大的一组是第四组．
【解】 (1)甲群市民年龄的平均数为 13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17
10 ＝15(岁)，
中位数为 15 岁，众数为 15 岁．
平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市
民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为 54＋3＋4＋4＋51＋06＋6＋6＋6＋56＝15(岁)， 中位数为 6 岁，众数为 6 岁． 由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映
已知五个数据 3，5，7，4，6，则该样本的标准差为________． 解析：因为－x ＝51×(3＋5＋7＋4＋6)＝5， 所以 s＝ 15×[（3－5）2＋…＋（6－5）2]＝ 2. 答案： 2
探究点 1 众数、中位数、平均数的计算及应用 某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群
市民的年龄如下(单位：岁)： 甲群：13，13，14，15，15，15，15，16，17，17； 乙群：54，3，4，4，5，6，6，6，6，56. (1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？ (2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？其中哪 个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
判断正误．(对的打“√”，错的打“×”) (1)数据 5，4，4，3，5，2 的众数为 4.( × ) (2)数据 2，3，4，5 的标准差是数据 4，6，8，10 的标准差的 一半．( √ ) (3)方差与标准差具有相同的单位．( × ) (4)如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这组数的平均 数改变，方差不变．( √ ) 解析：(1)中的众数应为 4 和 5；(2)正确；(3)二者单位不一致； (4)正确，平均数也应减去该常数，方差不变．
下列说法中正确的个数为( )
①数据的极差越小，样本数据分布越集中、稳定；
②数据的平均数越小，样本数据分布越集中、稳定；
③数据的标准差越小，样本数据分布越集中、稳定；
④数据的方差越小，样本数据分布越集中、稳定．
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：选 C.由数据的极差、标准差、方差的定义可知，它们 都可以影响样本数据的分布和稳定性，而数据的平均数则与之 无关，故②不正确，①③④正确．
【解】 (1) －x 甲＝61(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100， －x 乙＝61(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100， s 2甲＝61 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (98 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (100－100)2＋(103－100)2]＝73， s 2乙＝61 [(99 － 100)2 ＋ (100 － 100)2 ＋ (102 － 100)2 ＋ (99 － 100)2 ＋ (100－100)2＋(100－100)2]＝1.
(2)中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最__中__间___位置 的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫这组数据的中位数． (3)平均数：指样本数据的算术平均数．
即－x ＝__n1_(_x_1＋__x_2_＋__…__＋__x_n_)____．
2．标准差与方差 (1)标准差：标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般 用 s 表示，计算时通常用公式
数量/双 2 5 9 16 9 5 3 2
如果你是鞋店经理，最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，那么
下列统计量中对你来说最重要的是( )
A．平均数
B．众数
C．中位数
D．方差
解析：选 B.鞋店经理最关心的是哪种鞋号的鞋销量最大，即 数据的众数．由表可知，鞋号为 37 的鞋销量最大，共销售了 16 双，所以这组数据的众数为 37.
s2乙＝110[2×(27－31)2＋3×(16－31)2＋2×(44－31)2＋3×(40－ 31)2] ＝110×1 288＝128.8(cm2)． 所以 s2甲＜s2乙.
即甲种玉米苗长得齐．
探究点 3 统计图中的数字特征 从高三抽出 50 名学生参加数学竞赛，由成绩得到如下
的频率分布直方图．
从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测它 们的株高如下：(单位：cm) 甲：25 41 40 37 22 14 19 39 21 42 乙：27 16 44 27 44 16 40 40 16 40 问：(1)哪种玉米苗长得高？ (2)哪种玉米苗长得齐？
解：(1) －x 甲＝110(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42) ＝110×300＝30(cm)， －x 乙＝110(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40) ＝110×310＝31(cm)． 所以－x 甲＜－x 乙．
(1)频率分布直方图的数字特征 ①众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值 来显示，即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边 中点的横坐标； ②中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图 的面积应该相等； ③平均数：平均数在频率分布表中等于组中值与对应频率之积 的和．
(2)频率分布折线图、条形图中的数字特征 这两种图中的数字特征都与图的横纵坐标的统计意义有关． ①可根据图中的折点(或条形图中每条的横纵坐标)得出相应 的样本数据，然后按公式定义得出特征数据； ②也可根据图形的趋势大体估计出样本的数据特征．
3．平均数、方差的性质 若 x1，x2，x3，…，xn 的平均数为－x ，方差为 s2 那么 ax1＋b， ax2＋b，ax3＋b，…，axn＋b 的平均数为－x ′＝a－x ＋b；方差 s′2 ＝a2s2.
众数、中位数、平均数、方差(标准差)特征数的含义：它们都 是描述一组数据集中趋势的量． (1)众数：体现了样本数据最大集中点，当一组数据中部分数据 多次重复出现时，众数往往更能反映问题． (2)中位数：它与样本数据的排列位置有关，不受样本中某些极 端值的影响，它可能在所给的样本数据中，也可能不在其中． (3)平均数：它与样本中每一个数据都有关系，它反映数据的平 均值，但极易受极端值的影响． (4)方差(标准差)：描述一组数据围绕平均数波动程度的大小， 方差(标准差)越大(小)，则样本数据的离散程度越大(小)．
(2017·高考全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了 n 块地作试验田．这 n 块地的亩产量(单位：kg)分别为 x1，x2，…， xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程 度的是( ) A．x1，x2，…，xn 的平均数 B．x1，x2，…，xn 的标准差 C．x1，x2，…，xn 的最大值 D．x1，x2，…，xn 的中位数 解析：选 B.标准差能反映一组数据的稳定程度．故选 B.
s＝ ___n1_[_（__x_1_－__－x__）__2＋__（__x_2_－__－x__）__2＋ ___…__＋__（__x_n－__－_x_）__2_]___． 显然，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据 的离散程度越小． (2)方差：标准差 s 的平方 s2，即 s2＝
_n1_[_(_x_1－__－_x__)2_＋__(x__2－__－_x_)_2＋__…__＋ ___(x_n_－__－x__)_2]______________ 叫 做 这组数据的方差，同标准差一样，方差也是用来测量样本数据 的分散程度的特征数．
探究点 2 标准差、方差的计算及应用 甲、乙两机床同时加工直径为 100 cm 的零件，为检验
质量，从中抽取 6 件测量数据为： 甲：99 100 98 100 100 103 乙：99 100 102 99 100 100 (1)分别计算两组数据的平均数及方差； (2)根据计算说明哪台机床加工零件的质量更稳定．
法二：从四个图形可以直观看出第一组数据没有波动性，第二、 三组数据的波动性都比较小，而第四组数据的波动性相对较 大，利用标准差的意义可以直观得到答案．
由于一些数据丢失，试利用频率分布直方图求： (1)这 50 名学生成绩的众数与中位数； (2)这 50 名学生的平均成绩．
【解】 (1)由众数的概念可知，众数是出现次数最多的数．在 直方图中高度最高的小长方形的底边中点的横坐标即为所求， 所以众数应为 75. 由于中位数是所有数据中的中间值，故在频率分布直方图中体 现的是中位数的左右两边频数应相等，即频率也相等，从而就 是小矩形的面积和相等．因此在频率分布直方图中将所有小矩 形的面积一分为二的垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标 所对应的成绩即为所求．
乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．
Hale Waihona Puke 平均数、众数、中位数的计算方法 平均数一般是根据公式来计算的；计算众数、中位数时，可先 将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的 定义计算． [注意] 如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较 大的极端值．
某鞋店试销一种新女鞋，销售情况如下表： 鞋号 34 35 36 37 38 39 40 41
因为 0.004×10＋0.006×10＋0.02×10 ＝0.04＋0.06＋0.2＝0.3， 所以前三个小矩形面积的和为 0.3.而第四个小矩形面积为 0.03×10＝0.3，0.3＋0.3＞0.5， 所以中位数应位于第四个小矩形内． 设其底边为 x，高为 0.03，所以令 0.03x＝0.2，得 x≈6.7， 故中位数应约为 70＋6.7＝76.7.
(2)由(1)知－x 甲＝－x 乙，比较它们的方差，因为 s2甲＞s2乙，故乙机
床加工零件的质量更稳定．
用样本的标准差、方差估计总体的方法 (1)用样本估计总体时，样本的平均数、标准差只是总体的平均 数、标准差的近似．实际应用中，当所得数据的平均数不相等 时，需先分析平均水平，再计算标准差(方差)分析稳定情况． (2)标准差、方差的取值范围是[0，＋∞)． (3)因为标准差与原始数据的单位相同，且平方后可能夸大了偏 差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的离散程度 上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．
即乙种玉米苗长得高．
(2)s2甲＝110[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－ 30)2＋ (14－30)2＋ (19－30)2＋ (39－30)2＋ (21－ 30)2＋ (42－ 30)2] ＝110(25＋121＋100＋49＋64＋256＋121＋81＋81＋144)＝110 ×1 042 ＝104.2(cm2)，