2020年湖南省衡阳市县上峰中学高三数学文上学期期末试题含解析

2020年湖南省衡阳市县上峰中学高三数学文上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合，，若，则为（）
A．B．C．D．
参考答案：
D
2. 已知全集, 集合,, 则集合可以表示为
A． B． C． D．
参考答案：
B
3. （5分）如图，某几何体的主视图与左视图都是边长为1的正方形，且其体积为．则该几何体的俯视图可以是（）
A． B． C． D．
参考答案：
D
【考点】：简单空间图形的三视图．
【分析】：根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，知底面积是，得到底面是一个半径为1的四分之一圆，在四个选项中，只有D合适．解：根据主视图与左视图的形状和几何体的体积是，
知底面积是，
∴底面是一个半径为1的四分之一圆，
故选D．
【点评】：本题考查空间图形的三视图，考查根据三视图还原几何体，考查根据几何体的体积想象几何体的形状，本题是一个基础题．
4. 定义：在区域内任取一点，则点满足
的概率为（）
A. B. C. D.
参考答案：
A
【分析】
利用几何概型计算公式，求出试验包含的全部事件对应的集合以及满足条件的事件A对应的面积，即可求得。

【详解】试验包含的全部事件对应的集合是，满足条件的事件
，如图所示，
，，所以，故选A 【点睛】本题主要考查简单线性规划中可行域的画法和几何概型的概率计算。

5. 已知sin2α=，α∈（π，），则sinα+cosα等于（）
A．﹣B．C．﹣D．
参考答案：
C
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】由（sinα+cosα）2=1+sin2α，求出sinα+cosα的值的平方，再讨论sinα+cosα的符号，然后开方求值
【解答】解：由题设（sinα+cosα）2=1+sin2α=1+=，
又α∈（π，），得sinα+cosα＜0，
故sinα+cosα=﹣．
故选：C．
【点评】本题考查二倍角的正弦，求解本题的关键是掌握住二倍角的正弦的变形，灵活选用形式解决问题是高中数学的项重要技能．
6. 如右图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边
长为1的正方形，则B，D两点间的距离是
A． B． C．1 D．
参考答案：
B
当α⊥β时，平面α内的直线不一定垂直于平面β.
7. 定义在（—，0）（0，+）上的函数，如果对于任意给定的等比数列{}，{）仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．现有定义在（—，0）（0，+）上的如下函数：①=：②；③；④．则其中是“保等比数列函数”的的序号为（）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
参考答案：
C
略
8. 若，，且当时，恒有1，则以为坐标的点所形成的平面区域的面积是
A． B． C．1 D．
参考答案：
C
略
9. 不等式组的解集用数轴表示为（）
参考答案：
B
10. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为（）．
A．B．C．
D．
参考答案：
A
由三视图可知，该几何体是三棱锥，其中底面是底边长为，高为的等腰三角形，棱锥高是，所以该几何体的表面积是：
．
故选．
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 不等式组表示的平面区域内的整点（横坐标、纵坐标均为整数）坐标
是 .
参考答案：
答案：
12. 下列命题中，错误命题的序号有．
（1）“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”是“直线l垂直平面α”的充分条件；
（3）若xy=0，则|x|+|y|=0；
（4）若p：?x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：?x∈R，x2+2x+2＞0．
参考答案：
（2）（3）
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）根据充分条件和必要条件的定义进行判断．
（2）根据线面垂直的定义进行判断．
（3）根据绝对值的性质进行判断．
（4）根据含有量词的命题的否定进行判断．
【解答】解：（1）若“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”，
则f（﹣x）=f（x），
即x2+|x+a+1|=x2+|﹣x+a+1|，
则|x+a+1|=|x﹣（a+1）|，
平方得x2+2（a+1）x+（a+1）2=x2﹣2（a+1）x+（a+1）2，
即2（a+1）x=﹣2（a+1）x，
则4（a+1）=0，即a=﹣1，
则“a=﹣1”是“函数f（x）=x2+|x+a+1|（x∈R）为偶函数”的必要条件；正确；
（2）“直线l垂直平面α内无数条直线”则“直线l垂直平面α”不一定成立，故（2）错误；（3）当x=0，y=1时，满足xy=0，但|x|+|y|=0不成立，故（3）错误；
（4）若p：?x∈R，x2+2x+2≤0，则￢p：?x∈R，x2+2x+2＞0正确．
故错误的是（2）（3），
故答案为：（2）（3）
13. 甲乙丙三人一起参加机动车驾驶证科目考三试后，与丁相聚，丁询问甲乙丙的考试结果，甲说：“我通过了．”，乙说：“我和甲都通过了．”，丙说：“我和乙都通过了．”甲乙丙三人有且只有一个人说的内容与考试结果不完全相同，甲乙丙中没有通过的是．
参考答案：
丙
【考点】F4：进行简单的合情推理．
【分析】分别假设甲和乙的说法考试结果不完全相同，得到矛盾，故可得丙的说法与考试结果不完全相同，再根据甲乙所说判断即可
【解答】解：假设甲说的内容与考试结果不完全相同，则甲没有通过，则乙的说法考试结果不完全相同，故甲说的是正确的，
假设乙说的内容与考试结果不完全相同，则甲和乙最多有1人通过，根据丙所说可知乙丙通过了，于是可得甲没有通过，则与甲的说法相矛盾，则乙的说法是正确，
故丙的说法与考试结果不完全相同，于是可得丙没有通过，
故答案为：丙．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．
14. 某算法的程序框如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系是_________。

参考答案：
15. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．参考答案：
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【分析】先求出基本事件总数，再求出这2只球颜色不同，包含的基本事件个数，由此能求出这2只球颜色不同的概率．
【解答】解：袋中有形状、大小都相同的4只球，其中2只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，
基本事件总数n==6，
这2只球颜色不同，包含的基本事件个数m=C=4，
∴这2只球颜色不同的概率p==．
故答案为：．
16. 已知直线与垂直，则的值
是 .
参考答案：
1或4
17. 已知一个长方体的表面积为48（单位：cm2），12条棱长度之和为36（单位：cm），则这个长方体的体积的取值范围是（单位：cm3）．
参考答案：
[16，20]
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】求出体积关于c的函数，利用导数确定函数的单调性，即可得出结论．
【解答】解：设长方体的三条棱长分别为a，b，c，则a+b+c=9，ab+bc+ac=24，
化简可得V=abc=c（c2﹣9c+24），
∴V′=3（c﹣2）（c﹣4），
∴函数在（0，2），（4，9）上单调递增，（2，4）上单调递减，
c=2时，V=20，c=4时，V=16，
∴这个长方体的体积的取值范围是[16，20]．
故答案为：[16，20]．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本题14分）已知数列的等差数列，其前n项和为是首项
的等比数列，且
（1）求数列的通项公式。

（2）令，其中k=1，2，3，。

，求数列的前2n+1项和。

参考答案：
（1）设数列
则
（2）
，由（1），（2）得，，所以。

19. 某公司订购了一批树苗，为了检测这批树苗是否合格，从中随机抽测株树苗的高度，经数据处理得到如图的频率分布直方图，起中最高的株树苗高度的茎叶图如图所示，以这株树苗的高度的频率估计整批树苗高度的概率.
（1）求这批树苗的高度高于米的概率，并求图19-1中，，，的值；（2）若从这批树苗中随机选取株，记为高度在的树苗数列，求的分布列和数学期望.
（3）若变量满足且，则称变量满足近似于正态分布的概率分布.如果这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，则认为这批树苗是合格的，将顺利获得签收；否则，公司将拒绝签收.试问，该批树苗能否被签收？
参考答案：
（1）由图19-2可知，100株样本树苗中高度高于1.60的共有15株，
以样本的频率估计总体的概率，可得这批树苗的高度高于1.60的概率为0.15.
记为树苗的高度，结合图19-1可得：
，
，
，
又由于组距为0.1，所以．
（2）以样本的频率估计总体的概率，可得：从这批树苗中随机选取1株，高度在的概率
.
因为从这批树苗中随机选取3株，相当于三次重复独立试验，
所以随机变量服从二项分布，
故的分布列为：，8分
即：
（或）.
（3）由，取，，
由（Ⅱ）可知，，
又结合（Ⅰ），可得：
，
所以这批树苗的高度满足近似于正态分布的概率分布，应认为这批树苗是合格的，将顺利获得该公司签收．
20. 已知函数f（x）=|x+1|﹣|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若方程f（x）=x有三个不同的解，求实数a的取值范围．
参考答案：
【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．
【分析】（1）若a=0，求得函数f（x）的解析式，根据解析式分别求得f（x）≥0的解集；
（2）u（x）=|x+1|﹣|x|，做出y=u（x）和y=x的图象，方程f（x）=x恰有三个不同的实根，转化成y=u（x）与y=x的图象始终有3个交点，根据函数图象即可求得实数a的取值范围．
【解答】解：（1）当a=0时，，
所以当x＜﹣1时，f（x）=﹣1＜0，不合题意；
当﹣1≤x＜0时，f（x）=2x+1≥0，解得；
当x≥0时，f（x）=1＞0，符合题意．
综上可得，f（x）≥0的解集为．
（2）设u（x）=|x+1|﹣|x|，y=u（x）的图象和y=x的图象如图所示．
易知y=u（x）的图象向下平移1个单位以内（不包括1个单位），与y=x的图象始终有3个交点，从而﹣1＜a＜0．
所以实数a的取值范围为（﹣1，0）．21. 如图，在底面为菱形的四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC=60°，PA=AC=1，PB=PD=，点E在PD
上，且=2．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）在棱PC上是否存在点F使得BF∥平面EAC？若存在，指出F的位置；若不存在，请说明理由．
参考答案：
【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．
【分析】（I）证明PA⊥AB，PA⊥AD，AB、AD是平面ABCD内的两条相交直线，即可证明PA⊥平面ABCD；
（II）F是棱PC的中点，连接BM、BD，设BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，证明使BF∥平面AEC．
【解答】证明：（Ⅰ）∵因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，
所以AB=AD=AC=1，
在△PAB中，由PA2+AB2=2=PB2，知PA⊥AB．
同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD．…
（Ⅱ）取PE的中点M，PC的中点F，连接BD交AC于O，连接OE，BM，BF，则FM∥CE①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∵菱形ABCD，∴O是BD的中点
∵=2，∴E是PD的三等分点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
∴M是PE的中点，E是MD的中点，
∴BM∥OE．②
由①、②知，平面BFM∥平面AEC．
又BF?平面BFM，所以BF∥平面
AEC
22. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中的面积等于
，求
参考答案：。