高中物理数学物理法技巧(很有用)及练习题及解析

高中物理数学物理法技巧(很有用)及练习题及解析
一、数学物理法
1．在地面上方某一点分别以和的初速度先后竖直向上抛出两个小球（可视为质点），第二个小球抛出后经过时间与第一个小球相遇，要求相遇地点在抛出点或抛出点以上，改变两球抛出的时间间隔，便可以改变值，试求
（1）若，的最大值
（2）若，的最大值
【答案】（1）（2）
22
21
2
v v
v
t
g
-∆=-
【解析】
试题分析：（1）若，取最大值时，应该在抛出点处相遇
，则最大值
（2）若，取最大值时，应该在第一个小球的上抛最高点相遇，
解得，分析可知，所以舍去
最大值
22
21
2
v v
v
t
g
-∆=
考点：考查了匀变速直线运动规律的应用
【名师点睛】本题的解题是判断并确定出△t取得最大的条件，也可以运用函数法求极值分析．
2．晓明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动，当球某次运动到最低点时，绳突然断掉。

球飞离水平距离d后落地，如图所示，已知握绳的手离地面高度为d，手与球之间的绳长为
3
4
d，重力加速度为g，忽略手的运动半径和空气阻力。

(1)求绳断时球的速度大小v1和球落地时的速度大小v2
(2)问绳能承受的最大拉力多大？
(3)改变绳长，使球重复上述运动。

若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大，绳长应为多少？最大水平距离为多少？
【答案】(1)v 12gd ，v 252gd
；(2)T =113mg ；(3)当l ＝2d 时，x 有极大值x max 23 【解析】 【分析】 【详解】
(1)设绳断后球飞行时间为t ，由平抛运动规律，竖直方向有：
21142
d gt = 水平方向有：
1d v t =
联立解得
12v gd =从小球飞出到落地，根据机械能守恒定律有：
2221113224mv mv mg d d ⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭ 解得
25
2
v gd =
(2)设绳能承受的最大拉力大小为F ，这也是球受到绳的最大拉力大小。

球做圆周运动的半径为3
4
R d =
，根据牛顿第二定律有： 2
1v F mg m R
-= 解得
113
F mg =
(3)设绳长为l ，绳断时球的速度大小为v 3，绳承受的最大拉力不变，根据牛顿第二定律
23
v F mg m l
-=
得
383
v gl =
绳断后球做平抛运动，竖直位移为d l -，水平位移为x ，时间为1t ，根据平抛运动规律，竖直方向有：
2112
d l gt -=
竖直方向有：
31x v t =
联立解得
()
4
3
l d l x -= 根据一元二次方程的特点，当2
d
l =
时，x 有极大值，为 x max ＝
23
d
3．质量为M 的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，质量为m 的木块刚好可以在木楔上表面上匀速下滑．现在用与木楔上表面成α角的力F 拉着木块匀速上滑，如图所示，求：
(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)拉力F 最小时，木楔对水平面的摩擦力． 【答案】(1)mg sin 2θ (2)1
2
mg sin 4θ 【解析】 【分析】
对物块进行受力分析，根据共点力平衡，利用正交分解，在沿斜面方向和垂直于斜面方向都平衡，进行求解采用整体法，对m 、M 构成的整体列平衡方程求解． 【详解】
(1)木块刚好可以沿木楔上表面匀速下滑时，mg sin θ＝μmg cos θ，则μ＝tan θ，用力F 拉着木块匀速上滑，受力分析如图甲所示，则有：F cos α＝mg sin θ＋F f ，F N ＋F sin α＝mg cos θ，
联立以上各式解得：(
)
sin 2cos mg F θ
θα=
-．
当α＝θ时，F 有最小值，F min ＝mg sin 2θ．
(2)对木块和木楔整体受力分析如图乙所示，由平衡条件得，F f ′＝F cos(θ＋α)，当拉力F 最小时，F f ′＝F min ·cos 2θ＝1
2
mg sin 4θ． 【点睛】
木块放在斜面上时正好匀速下滑隐含摩擦系数的数值恰好等于斜面倾角的正切值，当有外力作用在物体上时，列平行于斜面方向的平衡方程，结合数学知识即可解题．
4．一定质量的理想气体，由状态A 沿直线变化到状态B ，如图所示．已知在状态A 时，温度为15℃，且1atm ≈105P a ，求：
①状态B 时的温度是多少开尔文? ②此过程中气体对外所做的功?
③此过程中气体的最高温度是多少开尔文? 【答案】①576B T K =②900J ③m T =588K 【解析】 【详解】 ①
A A
B B
A B
P V P V T T =， 解得：576B T K =
②气体外所做的功可由P —V 图的面积计算，()251
31042109002
W J J -=⨯⨯⨯+⨯= ③图中AB 的直线方程为21433P V =-+
，则2214
33
PV V V =-+，
由数学知识可知，当V=3.5L时，PV最大，对应的温度也最高，且()
24.5
3 m
PV atmL
=
根据理想气体状态方程可得:
()
m
A A
A m
PV
P V
T T
=，
解得m
T=588K
5．图示为直角三角形棱镜的截面，90︒
∠=
C，30
A︒
∠=，AB边长为20cm，D点到A点的距离为7cm，一束细单色光平行AC边从D点射入棱镜中，经AC边反射后从BC边上的F点射出，出射光线与BC边的夹角为30︒，求：
(1)棱镜的折射率；
(2)F点到C点的距离。

【答案】(1)3；(2)3cm
【解析】
【详解】
(1)由几何知识可知，光束从D点入射的入射角60
i︒
=，做出光路图：
设对应折射角为r，则光束在AC边的入射角为
90(60)30
i r r
︒︒︒
'=--=+
在BC边上的入射角
90(30)60
i r r
︒︒︒
''=-+=-
在BC边上的折射角
903060
r︒︒︒
''=-=
由折射定律，可知在D点入射时
sin
sin
i
n
r
=
在F点入射时
sin60
sin(60)
n
r
︒
︒
=
-
解得
30r ︒=
折射率为
3n =
(2)由几何知识，可知
2cos3073cm AE AD ︒== 33cm CE AC AE =-=
3
tan 30CF CE =︒=
解得
3cm CF =
6．我校物理兴趣小组同学决定举行遥控赛车比赛，比赛路径如图所示。

可视为质点的赛车从起点A 出发，沿水平直线轨道运动L 后，由B 点进入半径为R 的光滑竖直半圆轨道，并通过半圆轨道的最高点C ，才算完成比赛。

B 是半圆轨道的最低点，水平直线轨道和半圆轨道相切于B 点。

已知赛车质量m ＝0.5kg ，通电后以额定功率P ＝2W 工作，进入竖直圆轨道前受到的阻力恒为F f ＝0.4N ，随后在运动中受到的阻力均可不计，L ＝10.00m ，R ＝0.32m ，（g 取10m/s 2）。

求：
（1）要使赛车完成比赛，赛车在半圆轨道的C 点速度至少多大？ （2）要使赛车完成比赛，赛车在半圆轨道B 点对轨道的压力至少多大？ （3）要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？
（4）若电动机工作时间为t 0＝5s ，当R 为多少时赛车既能完成比赛且飞出的水平距离又最大，水平距离最大是多少？
【答案】（1）5
m/s 5
（2）30N （3）2s （4）0.3m ；1.2m 【解析】 【分析】 【详解】
（1）当赛车恰好过C 点时，赛车在C 点有：
2C
v mg m R
=
解得：
C m/s 5
v ==
（2）对赛车从B 到C 由机械能守恒定律得：
22
B C 11222
mv mv mg R =+⋅ 赛车在B 处由牛顿第二定律得：
2B
N v F mg m R
-=
解得：
v B =4m/s ，F =30N
由牛顿第三定律可知，赛车在B 点对轨道的压力至少为
F ′=F =30N
（3）对赛车从A 到B 由动能定理得：
2
f B 102
Pt F L mv -=-
解得：
t =4s
（4）对赛车从A 到C 由动能定理得：
20f 0122
Pt F L mg R mv --⋅=
赛车飞出C 后有：
2
012,2
R gt x v t ''=
= 解得：
x =所以当
R =0.3m
时x 最大
x max =1.2m
7．质量为m 的物块，以同一大小的初速度0v 沿不同倾角的斜面向上滑动，物块与斜面间的动摩擦因数恒定，当斜面与水平面所夹倾角θ不同时，物块沿斜面上滑至速度为0时的位移x 也不同，其x θ-关系如图所示。

g 取210m/s ，求： (1)物块运动初速度0v 的大小；
(2)物块与斜面间的动摩擦因数及最小上滑位移对应的斜面倾角0θ（可用反三角函数表示）。

【答案】(1)5m/s ；3
390-o
【解析】 【详解】
(1)物块沿斜面向上滑动时，由牛顿第二定律得
sin mg f ma θ+=
垂直斜面方向，由平衡条件得
N cos F mg θ=
又
N f F μ=
三式联立解得物块的加速度大小为
sin cos a g g θμθ=+
由
2
02()0a x v -=-
解得
2
2sin 2cos v x g g θμθ
=+
设
tan αμ=
则
20
221sin()
x g μθα=
++
当
90θα︒+=
时，x 有最小值，且
20
min 2
21x g μ=
+
由x θ-关系图象可知
0θθ=时
min 5
3m 8
x =
则
20
2
5
3m 8
21g μ=
+ 当0θ=时
2053m 24
v x g μ==
二式联立解得物块与斜面间的动摩擦因数
33
μ=
同时解得物块初速度0v 的大小为
05m/s v =
(2)当
90θα︒+=时
0θθ=
且
3arctan arctan
αμ== 则最小上滑位移对应的斜面倾角为
039090arctan
3
θα︒︒=-=-
8．质量为M 的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m 的木块放在木楔斜面上时，它正好匀速下滑．如果用与木楔斜面成α角的力F 拉着木块匀速上升，如图所示(已知木楔在整个过程中始终静止)．
(1)当α＝θ时，拉力F 有最小值，求此最小值； (2)当α＝θ时，木楔对水平面的摩擦力是多大？
【答案】(1)mg sin 2θ (2)1
2
mg sin 4θ 【解析】 【分析】
【详解】
木块在木楔斜面上匀速向下运动时，有
mg sinθ＝μmg cosθ即μ＝tanθ.
(1)木块在力F作用下沿斜面向上匀速运动，有
F cosα＝mg sinθ＋F f
F sinα＋F N＝mg cosθ
F f＝μF N
解得
F＝
2sin
cos sin
θ
αμα
+
mg
＝
2sin cos
cos cos sin sin
θθ
θαθ
+
mg
a
＝
sin2
cos()
θ
θα
-
mg
则当α＝θ时，F有最小值，为
F min＝mg sin2θ.
(2)因为木块及木楔均处于平衡状态，整体受到地面的摩擦力等于F的水平分力，即
F f＝F cos(α＋θ)
当α＝θ时，F取最小值mg sin 2θ，
F fm＝F min cos2θ＝mg·sin 2θcos2θ＝1
2
mg sin4θ.
9．如图，一玻璃砖截面为矩形ABCD，固定在水面上，其下表面BC刚好跟水接触。

现有一单色平行光束与水平方向夹角为θ（θ>0），从AB面射入玻璃砖。

若要求不论θ取多少，此光束从AB面进入后，到达BC界面上的部分都能在BC面上发生全反射，则该玻璃
砖的折射率最小为多少？已知水的折射率为4
3。

【答案】5 3
【解析】
【分析】
【详解】
随着θ的增大，当θ为90º时，α最大，β最小，此时若在BC上发生全反射，则对任意θ都能发生全反射。

由折射定律 sin 90sin n α
=o
由全反射有
4
3
sin n
β= 由几何关系有 22sin sin 1αβ+=
由以上各式解得
53
n =
10．如图所示，一质量为M ，半径为R 的半圆圈，竖直放置于水平面上（假定圆圈不倒下，也不能沿水平面滑动）．一质量为m 的小圆环套在大圆圈上，并置于顶端．现在小圆环以近于0的初速度沿大圆圈向右端无摩擦地滑下．问：小圆环滑至什么位置（用角度表示）可使得半圆圈右端A 点与水平面间的压力为零？并讨论此题若有解，需满足什么条件？（结果可用三角函数表达）
【答案】小圆环下滑至与竖直成θ角，在3m M ≥的条件下有解，
13cos 113M m
θ⎛=+- ⎝． 【解析】
【分析】
【详解】 设小圆环下滑至与竖直成θ角时，半圆圈右端A 点与水平面间的压力为零，由机械能守恒定律可得
21cos 2
mgR mgR mv θ=+． 由牛顿第二定律可得
2
cos mv mg N R θ
+=． 由此得
11cos cos 22
mgR mgR mgR NR θθ=++， 即(23cos )N mg θ=-．
对半圆圈有cos MgR NR θ=，
由此解得3221cos M m m m θ±-
=．
显然，在3m M ≥的条件下有解，考虑到余弦函数的特点，其大小为
13cos 113M m
θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
． 11．生活中常用一根水平绳拉着悬吊重物的绳索来改变或固定悬吊物的位置。

如图，悬吊吊灯的细绳，其O 点被一水平绳BO 牵引，使悬绳AO 段和竖直方向成30θ=o 角。

若吊灯所受的重力为G ，求：
(1)悬绳AO 的拉力大小；
(2)水平绳BO 的拉力大小。

【答案】23G 3G 【解析】
【详解】 (1)对O 点进行受力分析如图，
由平衡条件可得，竖直方向：
cos 0A T G θ-=
解得 23cos303A G G T ===o 所以悬绳AO 的拉力大小为
23G ； (2)同理水平方向： sin 0A B T T θ-=
解得
2313sin302B A G G T T ==⨯=o 所以水平绳BO 的拉力为3G 。

12．在光滑的水平轨道上有两个半径都是r 的小球A 和B,质量分别为m 和2m,当两球心间的距离大于L 时,两球之间无相互作用力，当两球心间的距离等于或小于L 时,两球间存在相互作用的恒定斥力F.设A 球从远离B 球处以速度v 0沿两球连心线向原来静止的B 球运动,如图所示.欲使两球不发生接触, v 0必须满足什么条件?
【答案】03(2)F L r v m -<
【解析】
试题分析：要使A 、B 不发生接触，必须满足：当v A =v B 时 x A －x B <L －r
设A 、B 物体的加速度分别为a A 、a B
由牛顿第二定律有 F=ma A F=2ma B
由运动学公式 v A =v 0－a A t v B =a B t
x A =v 0t －12a A t 2x B =12
a B t 2
联立解得：v 0<3(2)F L r m
- 考点：牛顿第二定律 匀变速直线运动规律
13．民航客机一般都有紧急出口，发生意外情况的飞机紧急着陆后，打开紧急出口，狭长的气囊会自动充气，生成一条连接出口与地面的斜面，人员可沿斜面滑行到地上．若机舱口下沿距地面3.2m ，气囊所构成的斜面长度为4.0m ，一个质量为60kg 的人沿气囊滑下时所受的阻力是240N ．求：
（1）人下滑过程中的加速度为多大？
（2）人滑至气囊底端时速度有多大？
【答案】（1）人下滑过程中的加速度为4m/s 2
（2）人滑至气囊底端时速度有5.7m/s
【解析】
解：（1）人运动过程由受力分析可知，
由牛顿第二定律F=ma 可得：
沿斜面方向：mgsinθ﹣f=ma 由上式可得人在气囊上下滑的加速度为：
（2）由运动学公式
可得 人滑至气囊底端时速度为： 答：（1）人下滑过程中的加速度为4m/s 2（2）人滑至气囊底端时速度有5.7m/s
【点评】本题考查了牛顿第二定律和运动学公式的基本运用，知道加速度是联系力学和运动学的桥梁
14．图示为某种透明介质异型砖的竖直截面，AD 竖直，ABC 为等腰直角三角形，BD 是圆心为C 的四分之一圆弧，水平放置的光屏位于砖的下端且与AD 垂直。

现由蓝色和红色两种单色光组成的复色光垂直AB 射向C 点，在光屏上D 点的两侧形成间距为21cm 的蓝色和红色两个光点。

已知12cm AC BC ==，求该介质对红光的折射率。

【答案】
425
【解析】
【详解】
复色光经AB 面射入透明介质在AC 面的入射角均为45o ，由题可知，蓝光在AC 面发生全反射后打到M 点，红光折射后打到N 点。

作出蓝光和红光的折射光路如图。

由几何关系知
9cm DN =
15cm CN =
由图知
sin CD CN α= 则红光的折射率 sin 42sin 45n α==o
15．如图所示，质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子从A 点由静止释放，经电压为U 的加速电场加速后沿圆心为O 、半径为a 的圆弧（虚线）通过静电分析器，并从P 点垂直CF 进入矩形匀强磁场区域QDCF 。

静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，电场强度的方向均指向O 点。

QF a =， 1.6PF a =，磁场方向垂直纸面向里，粒子重力不计。

（1）求静电分析器通道内圆弧线所在处电场的电场强度的大小E ；
（2）若粒子能最终打在磁场区域（边界处有磁场）的左边界QF 上，求磁场的磁感应强度大小B 的取值范围。

【答案】（1）2U E a =
；（212524mU mU B a q a q
≤≤【解析】
【分析】
（1）粒子在加速电场中运动的过程中，根据动能定理有
212qU mv = 粒子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，有
2
v qE m a
= 联立以上两式解得
2U E a
= （2）粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
2
v qvB m r = 解得
12mU r B q
= 要使粒子能打在边界QF 上，则粒子既没有从边界DQ 射出也没有从边界CF 射出，可画出粒子运动径迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ所示
由几何关系可知，粒子能打在边界QF 上，必须满足的条件为
45
a r a ≤≤ 解得
12524mU mU B a q a q
≤≤。