纳维柯西方程

纳维柯西方程
纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）是一组描述粘性流体运动的偏微分方程。

这些方程是由法国科学家克劳德-路易·纳维（Claude-Louis Navier）和英国物理学家乔治·斯托克斯（George Gabriel Stokes）分别在1822年和1845年提出的。

它们是流体力学中的基本方程，对于工程、气象学、地球科学以及许多其他领域都有着极其重要的应用。

纳维-斯托克斯方程表达了流体内部动量的变化率与压力、体积力（比如重力）以及粘性力之间的关系。

在数学上，这些方程通常写作：
ρ(∂u/∂t + (u · ∇)u) = -∇p + μΔu + F
其中：
- ρ 表示流体密度
- u 表示流体速度矢量场
- t 表示时间
- p 表示流体压力
- μ 表示流体的动力粘性系数
- Δ 表示拉普拉斯算子，即Δu = ∇²u
- F 表示单位体积上的体积力，例如重力
方程的左侧是流体动量的变化率，右侧的第一项是压
力梯度，它导致流体从高压区域流向低压区域；第二项是粘性力，它与流体速度的梯度成正比，并导致能量耗散；最后一项是体积力，它作用在流体上的外部力，如地球的重力。

纳维-斯托克斯方程是一个非线性方程组，其解析解在一般情况下是难以获得的，通常需要借助数值方法进行求解。

这些方程在不可压缩流体和可压缩流体的情形下都有相应的形式，且在处理不同的物理问题时可能还需要结合其他方程，如连续性方程（描述流体质量守恒的方程）和能量方程。

由于其复杂性，纳维-斯托克斯方程在数学上的完全理解仍然是一个开放的问题，被列为千禧年七大数学难题之一。

解决这个问题意味着能够证明或反驳在三维空间中对于任意光滑初始条件和外力，是否存在光滑的解，以及这些解是否总是存在有限时间内的爆破现象。