上海民办师大实验中学七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典题(答案解析)

上海民办师大实验中学七年级数学下册第五章《相交线与平行线》经典题（答
案解析）
一、选择题
1．如图：//AB DE ，50B ∠=︒，110D ∠=︒，BCD ∠的度数为（ ）
A ．160︒
B ．115︒
C ．110︒
D ．120︒D
解析：D
【分析】 如图（见解析），利用平行线的判定与性质、角的和差即可得．
【详解】
如图，过点C 作//CF AB ，
//AB DE ，
////AB DE CF ∴，
,180BCF B DCF D ∴∠=∠∠+∠=︒，
50,110B D ∠=︒∠=︒，
50,18070BCF DCF D ∴∠=︒∠=︒-∠=︒，
120BCD BCF DCF ∴∠=∠+∠=︒，
故选：D ．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质、角的和差，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 2．下面的语句，不正确的是（ ）
A ．对顶角相等
B ．相等的角是对顶角
C ．两直线平行，内错角相等
D ．在同一平面内，经过一点，有且只有一条
直线与已知直线垂直B
解析：B
【分析】
根据对顶角的性质、平行线的性质和垂线的基本性质逐项进行分析，即可得出答案．
【详解】
A、根据对顶角的性质可知，对顶角相等，故本选项正确；
B、相等的角不一定是对顶角，故本选项错误；
C、两直线平行，内错角相等，故本选项正确；
D、根据垂线的基本性质可知在同一平面内，过直线上或直线外的一点，有且只有一条直线和已知直线垂直．故本选项正确．
故选：B．
【点睛】
本题主要考查了对顶角的性质、平行线的性质和垂线的基本性质等知识点，解题的关键是了解垂线的性质、对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．
3．关于平移后对应点所连的线段，下列说法正确的是（）
①对应点所连的线段一定平行，但不一定相等；
②对应点所连的线段一定相等，但不一定平行，有可能相交；
③对应点所连的线段平行且相等，也有可能在同一条直线上；
④有可能所有对应点的连线都在同一条直线上．
A．①③B．②③C．③④D．①②C
解析：C
【分析】
根据平移的性质，对应点所连的线段一定平行或在一条直线上，对应点所连的线段一定相等，分别求解即可．
【详解】
①的说法“对应点所连的线段一定相等，但不一定平行”错误；
②的说法“对应点所连的线段一定相等，但不一定平行，有可能相交”错误；
③的说法“对应点所连的线段平行且相等，也有可能在同一条直线上”正确；
④的说法“有可能所有对应点的连线都在同一条直线上”正确；
故正确的说法为③④．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平移的性质：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行或在一条直线上且相等．
4．在同一平面内，有3条直线a，b，c，其中直线a与直线b相交，直线a与直线c平行，那么b与c的位置关系是（）
A．平行B．相交C．平行或相交D．不能确定B
解析：B
【分析】
根据a∥c，a与b相交，可知c与b相交，如果c与b不相交，则c与b平行，故b与a 平行，与题目中的b与a相交矛盾，从而可以解答本题．
【详解】
解：假设b ∥c ，
∵a ∥c ，
∴a ∥b ，
而已知a 与b 相交于点O ，
故假设b ∥c 不成立，
故b 与c 相交，
故选：B ．
【点睛】
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答． 5．现有以下命题：①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等；②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；③在圆中，平分弦的直径垂直于弦；④平行于同一条直线的两直线互相平行．其中真命题的个数为（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个B
解析：B
【分析】
根据全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质一一判断即可．
【详解】
①斜边中线和一个锐角分别对应相等的两个直角三角形全等，是真命题；
②一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形，是假命题，比如等腰梯形； ③在圆中，平分弦的直径垂直于弦，是假命题（此弦非直径）；
④平行于同一条直线的两直线互相平行，是真命题；
故选B ．
【点睛】
本题考查命题与定理、全等三角形的判定、平行四边形的判定、垂径定理、平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
6．下列命题中，属于真命题的是（ ）
A ．相等的角是对顶角
B ．一个角的补角大于这个角
C ．绝对值最小的数是0
D ．如果a b =，那么a=b C 解析：C
【分析】
根据对顶角、补角、绝对值的定义与性质逐项判断即可得．
【详解】
A 、相等的角不一定是对顶角，此项是假命题；
B 、一个角的补角不一定大于这个角，如这个角为130︒，其补角为50︒，小于这个角，此项是假命题；
C 、由绝对值的非负性得：绝对值最小的数是0，此项是真命题；
D 、如果a b =，那么a b =或=-a b ，此项是假命题；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了对顶角、补角、绝对值、真命题与假命题，熟练掌握各定义与性质是解题关键．
7．下列说法中不正确的个数为（）．
①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直．
②有且只有一条直线垂直于已知直线．
③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离．
⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行．
A．2个B．3个C．4个D．5个C
解析：C
【分析】
根据在同一平面内，根据两条直线的位置关系、垂直的性质、平行线平行公理及推论、点到直线的距离等逐一进行判断即可．
【详解】
∵在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确；
∵过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确；
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确；
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确；过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确；
∴不正确的有①②④⑤四个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直线的知识；解题的关键是熟练掌握直线相交、直线垂直、直线平行以及垂线的性质，从而完成求解．
8．如图，△ABC经平移得到△EFB，则下列说法正确的有（）
①线段AC的对应线段是线段EB；
②点C的对应点是点B；
③AC∥EB；
④平移的距离等于线段BF的长度．
A．1 B．2 C．3 D．4D
解析：D
【分析】
根据平移的特点分别判断各选项即可．
【详解】
∵△ABC 经平移得到△EFB
∴点A 、B 、C 的对应点分别为E 、F 、B ，②正确
∴BE 是AC 的对应线段，①正确
∴AC ∥EB ，③正确
平移距离为对应点连线的长度，即BF 的长度，④正确
故选：D
【点睛】
本题考查平移的特点，注意，在平移过程中，一定要把握住对应点，仅对应点的连线之间才有平行、相等的一些关系．
9．下列选项中，不是运用“垂线段最短”这一性质的是（ ）
A ．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离
B ．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠
C ．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程
D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比
斜边短C
解析：C
【分析】
垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．据此逐个分析即可.
【详解】
解：A ．立定跳远时测量落点后端到起跳线的距离，运用“垂线段最短”这一性质； B ．从一个村庄向一条河引一条最短的水渠，运用“垂线段最短”这一性质；
C ．把弯曲的公路改成直道可以缩短路程，运用“两点之间，线段最短”这一性质；
D ．直角三角形中任意一条直角边的长度都比斜边短，运用“垂线段最短”这一性质； 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了垂线段最短，实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”这两个中去选择．
10．如图是一块长方形ABCD 的场地，长102AB m =，宽51AD m =，从A 、B 两处入口的中路宽都为1m ，两小路汇合处路宽为2m ，其余部分种植草坪，则草坪面积为（ ）
A ．5050m 2
B ．5000m 2
C ．4900m 2
D ．4998m 2B
解析：B
【详解】
解：由图可知：矩形ABCD 中去掉小路后，草坪正好可以拼成一个新的矩形，且它的长为：（102-2）米，宽为（51-1）米．
所以草坪的面积应该是长×宽=（102-2）（51-1）=5000（米2）．
故选B ．
二、填空题
11．如图，两直线交于点O ，134∠=︒，则2∠的度数为_____________；3∠的度数为_________．
【分析】根据平角的性质及对顶角的性质求解即可【详
解】解：∵∴=180°-∠1=180°-34°=146°；∵∠1与∠3互为对顶角∴∠3=∠1=故答案为：146°；【点睛】本题主要考查了角的运算解题的
解析：146︒ 34︒
【分析】
根据平角的性质及对顶角的性质求解即可．
【详解】
解：∵134∠=︒
∴2∠=180°-∠1=180°-34°=146°；
∵∠1与∠3互为对顶角
∴∠3=∠1=34︒
故答案为：146°；34︒．
【点睛】
本题主要考查了角的运算，解题的关键是熟练运用平角的性质及对顶角的性质． 12．已知A ∠与B （A ∠，B 都是大于0°且小于180°的角）的两边一边平行，另一边垂直，且227A B ∠-∠=︒，则A ∠的度数为_________．或【分析】分两种情况：①如图1作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B=∠BEF ∠A=∠AEF 根据∠A+∠B=求出∠A=；②如图2作EF ∥BD 由BD ∥AC 推出EF ∥AC 得到∠B+∠BEF=∠A 解析：39︒或99︒．
【分析】
分两种情况：①如图1，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B=∠BEF ，∠A=∠AEF ，根据∠A+∠B=90︒，227A B ∠-∠=︒，求出∠A=39︒；②如图2，作EF ∥BD ，由BD ∥AC 推出EF ∥AC ，得到∠B+∠BEF=180︒，∠A+∠AEF=180︒，根据∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，227A B ∠-∠=︒，计算得出答案．
【详解】
分两种情况：
①如图1，作EF ∥BD ，
∴∠B=∠BEF ，
∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，
∴EF ∥AC ，
∴∠A=∠AEF ，
∴∠A+∠B=∠AEF+∠BEF=90︒，
∵227A B ∠-∠=︒，
∴∠A=39︒；
②如图2，作EF ∥BD ，
∴∠B+∠BEF=180︒，
∵EF ∥BD ，BD ∥AC ，
∴EF ∥AC ，
∴∠A+∠AEF=180︒，
∴∠A+∠AEB+∠B=360︒，
∵∠AEB=∠AEF+∠BEF=90︒，
∴∠A+∠B=270︒，
∵227A B ∠-∠=︒，
∴∠A=99︒；
故答案为：39︒或99︒．
．
【点睛】
此题考查平行线的性质，平行公理的推论，根据题意作出图形，引出恰当的辅助线解决问题是解题的关键．
13．如图，//AB CD ，点M 为CD 上一点，MF 平分∠CME ．若∠1＝57°，则∠EMD 的大小为_____度．
【分析】根据AB∥CD求得∠CMF=∠1＝
57°利用MF平分∠CME求得∠CME=2∠CMF＝114°根据∠EMD=180°-∠CME求出结果【详解】∵AB∥CD∴∠CMF=∠1＝57°∵MF平分∠
解析：66
【分析】
根据AB∥CD，求得∠CMF=∠1＝57°，利用MF平分∠CME，求得∠CME=2∠CMF＝114°，根据∠EMD=180°-∠CME求出结果.
【详解】
∵AB∥CD，
∴∠CMF=∠1＝57°，
∵MF平分∠CME，
∴∠CME=2∠CMF＝114°，
∴∠EMD=180°-∠CME＝66°，
故答案为：66.
【点睛】
此题考查平行线的性质，角平分线的有关计算，理解图形中角之间的和差关系是解题的关键.
14．如图，长8米宽6米的草坪上有一条弯折的小路（小路进出口的宽度相等，且每段小路均为平行四边形），小路进出口的宽度均为1米，则绿地的面积为__平方米．
42【分析】利用平移表示出草坪的长和宽然后根据长方形的
面积公式列式计算即可得解【详解】解：由平移的性质得:草坪的长为8﹣1＝7（米）宽为6米草坪的面积＝7×6＝42（平方米）故答案为：42【点睛】本
解析：42
【分析】
利用平移表示出草坪的长和宽，然后根据长方形的面积公式列式计算即可得解．
【详解】
解：由平移的性质，得:
草坪的长为8﹣1＝7（米），宽为6米，
草坪的面积＝7×6＝42（平方米）．
故答案为：42．
【点睛】
本题考查了平移的性质，熟记性质并理解求出与草坪的面积相当的长方形的长和宽是解题的关键．
15．在平面内，若OA⊥OC，且∠AOC∶∠AOB＝2∶3，则∠BOC的度数为
_______________；45°或135°【分析】根据垂直关系可得∠AOC=90°再由∠AOC：∠AOB=2：3可得∠AOB然后再分两种情况进行计算即可【详解】解：如图
∠AOC的位置有两种：一种是∠AOC在∠AOB内一种是在
解析：45°或135°
【分析】
根据垂直关系可得∠AOC=90°，再由∠AOC：∠AOB=2：3，可得∠AOB，然后再分两种情况进行计算即可．
【详解】
解：如图，∠AOC的位置有两种：一种是∠AOC在∠AOB内，一种是在∠AOB外．
∵OA⊥OC，
∴∠AOC=90°，
①当∠AOC在∠AOB内，如图1，
∵∠AOC：∠AOB=2：3，
∠AOC=45°，
∴∠BOC=1
2
②当∠AOC在∠AOB外，如图2，
∵∠AOC：∠AOB=2：3，
∠AOC=135°，
∴∠AOB=3
2
∴∠BOC=360°-∠AOB-∠AOC=135°．
故答案为：45°或135°．
【点睛】
此题主要考查了垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直．同时做这类题时一定要结合图形．
16．命题“相等的角是对顶角”是______（填“真命题”或“假命题”）．假命题【分析】对
顶角相等但相等的角不一定是对顶角从而可得出答案【详解】解：对顶角相等但相等的角不一定是对顶角从而可得命题相等的角是对顶角是假命题故答案为：假命题【点睛】此题考查了命题与定理的知识属于
解析：假命题
【分析】
对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，从而可得出答案．
【详解】
解：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，
从而可得命题“相等的角是对顶角”是假命题．
故答案为：假命题．
【点睛】
此题考查了命题与定理的知识，属于基础题，在判断的时候要仔细思考．
17．小明用一副三角板自制对顶角的“小仪器”，第一步固定直角三角板ABC ，并将边AC 延长至点P ，第二步将另一块三角板CDE 的直角顶点与三角板ABC 的直角顶点C 重合，摆放成如图所示，延长DC 至点F ，PCD ∠与ACF ∠就是一组对顶角，若
30ACF ∠=，则PCD ∠=__________，若重叠所成的(090)BCE n n ∠=<<，则PCF ∠的度数__________．
30°180°－n°【分析】（1）根据对顶角相等可得答案；（2）
根据角的和差可得答案【详解】解：（1）若∠ACF=30°则∠PCD=30°理由是对顶角相等（2）由角的和差得∠ACD+∠BCE=∠AC
解析：30° 180°－n°
【分析】
（1）根据对顶角相等，可得答案；
（2）根据角的和差，可得答案．
【详解】
解：（1）若∠ACF=30°，则∠PCD=30°，理由是对顶角相等．
（2）由角的和差，得∠ACD+∠BCE=∠ACB+∠BCD+∠BCE=∠ACB+∠DCE=180°， ∴∠ACD=180°-∠BCE=180°-n°．
故答案为：30°，180°－n°．
【点睛】
本题考查了对顶角的性质、角的和差，由图形得到各角之间的数量关系是解答本题的关键．
18．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠AOC ，OF ⊥OE 于点O ，若∠AOD ＝70°，则∠AOF ＝______度．
145【分析】由已知角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和
∠EOF 的大小从而得到∠AOF 的值【详解】解：∵∵OE 平分∠AOC ∴∵OF ⊥OE 于点O ∴∠EOF ＝90°∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55
解析：145
【分析】
由已知、角平分线和垂直的定义可以得到∠AOE 和∠EOF 的大小，从而得到∠AOF 的值．
【详解】
解：∵70180110AOD AOC AOD ∠=︒∴∠=︒-∠=︒，,
∵OE 平分∠AOC ，∴1552
AOE AOC ∠=∠=︒, ∵OF ⊥OE 于点O ，∴∠EOF ＝90°，∴∠AOF ＝∠AOE+∠EOF ＝55°+90°=145°，
故答案为145．
【点睛】
本题考查邻补角、角平分线和垂直以及角度的运算等知识，根据有关性质和定义灵活计算是解题关键．
19．如图是某公园里一处矩形风景欣赏区ABCD ，长AB=50米，宽BC=30米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为1米，那么小明沿着小路的中间出口A 到出口B 所走的路线（图中虚线）长为______米．
98【解析】∵利用已知可以得出此图形可以分为
横向与纵向分析水平距离等于AB 铅直距离等于（AD-1）×2又∵长AB=50米宽BC=25米∴小明沿着小路的中间出口A 到出口B 所走的路线（图中虚线）长为50
解析：98
【解析】
∵利用已知可以得出此图形可以分为横向与纵向分析，水平距离等于AB ，铅直距离等于（AD -1）×2，
又∵长AB =50米，宽BC =25米，
∴小明沿着小路的中间出口A 到出口B 所走的路线（图中虚线）长为50+（25-1）×2=98米，
故答案为98．
20．如图，直线////a b c ，直角三角板的直角顶点落在直线b 上，若135∠=︒，则2∠等
于_______．
【分析】如图利用平行线的性质得出∠3=35°然后进一
步得出∠4的度数从而再次利用平行线性质得出答案即可【详解】如图所示∵∴∴∠4=90°−∠3=55°∵∴∠2=∠4=55°故答案为：55°【点睛】本
解析：55︒
【分析】
如图，利用平行线的性质得出∠3=35°，然后进一步得出∠4的度数，从而再次利用平行线性质得出答案即可.
【详解】
如图所示，
∵//a b ，135∠=︒，
∴335∠=︒，
∴∠4=90°−∠3=55°，
∵////a b c ，
∴∠2=∠4=55°.
故答案为：55°.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握相关概念是解题关键.
三、解答题
21．完成下面推理过程，在括号内的横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：//AB EF ,EP EQ ⊥，90EQC APE ∠+∠=︒，求证：//AB CD
证明：
//AB EF
APE ∴∠=__________（__________）
EP EQ ⊥
PEQ ∴∠=_________（___________）
即90QEF PEF ∠+∠=︒
90APE QEF ∴∠+∠=︒
90EQC APE ∠+∠=︒
EQC ∠=________
//EF ∴_______（__________________）
//AB CD ∴（________________）
解析：∠PEF ；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠QEF ；CD ；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【分析】
根据平行线的性质得到∠APE=∠PEF ，根据余角的性质得到∠EQC=∠QEF 根据平行线的判定定理即可得到结论．
【详解】
证明：∵AB ∥EF
∴∠APE=∠PEF （两直线平行，内错角相等）
∵EP ⊥EQ
∴∠PEQ=90°（垂直的定义）
即∠QEF+∠PEF=90°
∴∠APE+∠QEF=90°
∵∠EQC+∠APE=90°
∴∠EQC=∠QEF
∴EF ∥CD （内错角相等，两直线平行）
∴AB ∥CD （同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行），
故答案为：∠PEF ；两直线平行，内错角相等；90°；垂直的定义；∠QEF ；CD ；内错角相等，两直线平行；同一平面内，平行于同一条直线的两条直线互相平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键．
22．如图，已知直线AB ，CD 相交于点O ，AOE ∠与AOC ∠互余．
（1）若32BOD ∠=︒，求AOE ∠的度数；
（2）若:05:1AOD A C ∠∠=，求∠BOE 的度数．
解析：（1）58°；（2）120°
【分析】
（1）先根据对顶角的性质证得32AOC BOD ∠=∠=︒，根据AOE ∠与AOC ∠互余计算即可得到答案；
（2）根据:5:1AOD AOC ∠∠=，180AOC AOD ∠+∠=︒，求得30AOC ∠=︒，得到30BOD AOC ∠=∠=︒，由90COE DOE ∠=∠=︒即可求出结果．
【详解】
解（1）因为AOC ∠与BOD ∠是对顶角，
所以32AOC BOD ∠=∠=︒，
因为AOE ∠与AOC ∠互余，
所以90AOE AOC ∠+∠=︒，
所以90AOE AOC ∠=︒-∠
9032=︒-︒
58=︒；
（2）因为:5:1AOD AOC ∠∠=，
所以5AOD AOC ∠=∠，
因为180AOC AOD ∠+∠=︒，
所以6180AOC ∠=︒，
30AOC ∠=︒，
又30BOD AOC ∠=∠=︒，
90COE DOE ∠=∠=︒，
所以BOE DOE BOD ∠=∠+∠
9030=︒+︒
120=︒．
【点睛】
此题考查几何图形中角度计算，余角的定义及求一个角的余角，邻补角的定义及求一个角的邻补角的度数，对顶角的性质，掌握图形中各角度的位置关系是解题的关键． 23．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OA 平分∠EOC ．
（1）∠AOC 的对顶角为______，∠AOC 的邻补角为______；
（2）若∠EOC ＝70°，求∠BOD 的度数；
（3）若∠EOC ：∠EOD ＝2：3，求∠BOD 的度数．
解析：（1）∠BOD ，∠BOC 或∠AOD ；（2）∠BOD ＝35°；（3）∠BOD ＝36°．
【分析】
（1）根据对顶角、邻补角的意义，结合图形即可得出答案；
（2）根据角平分线的意义和对顶角的性质，即可得出答案；
（3）根据平角、按比例分配，角平分线的意义、对顶角性质可得答案．
【详解】
（1）根据对顶角、邻补角的意义得：
∠AOC 的对顶角为∠BOD ，
∠AOC 的邻补角为∠BOC 或∠AOD ，
故答案为：∠BOD ，∠BOC 或∠AOD
（2）∵OA 平分∠EOC.∠EOC ＝70°，
∴∠AOE ＝∠AOC 12=∠EOC ＝35°， ∵∠AOC ＝∠BOD ，
∴∠BOD ＝35°，
（3）∵∠EOC ：∠EOD ＝2：3，∠EOC+∠EOD ＝180°，
∴∠EOC ＝180°×
25=72°，∠EOD ＝180°×35
=108°， ∵OA 平分∠EOC ， ∴∠AOE ＝∠AOC 12
=∠EOC ＝36°， 又∵∠AOC ＝∠BOD ，
∴∠BOD ＝36°．
【点睛】
本题考查对顶角、邻补角、角平分线、平角的意义和性质，通过图形具体理解这些角的意义是正确计算的前提．
24．如图，已知O 为直线AD 上一点，OB 是AOC ∠内部一条射线且满足AOB ∠与AOC ∠互补，OM ，ON 分别为AOC ∠，AOB ∠的平分线．
（1）COD ∠与AOB ∠相等吗？请说明理由；
（2）若30AOB ∠=︒，试求MON ∠的度数；
（3）若MON α∠=，请直接写出AOC ∠的度数．（用含α的式子表示）
解析：（1）相等，理由见解析；（2）60°；（3）90AOC α∠=︒+．
【分析】
（1）根据题意和邻补角的性质即可求解．
（2）结合题意和角平分线的性质即可求出MON ∠．
（3）结合图形和角平分线的性质与（1）的结论即可求出AOC ∠的大小．
【详解】
（1）∵AOC ∠与AOB ∠互补，∴180AOC AOB ∠+∠=︒，
∵180AOC DOC ∠+∠=︒，∴COD AOB ∠=∠
（2）∵AOB ∠与AOC ∠互补，30AOB ∠=︒，
∴18030150AOC ∠=︒-︒=︒，
∵OM 为AOC ∠的平分线，∴75AOM ∠=︒，
∵ON 为AOB ∠的平分线，∴15AON ∠=︒，
∴751560MON ∠=︒-︒=︒
（3）∵AOC AOB BOC ∠=∠+∠，180AOB AOC ∠=︒-∠，
∴180AOC AOC BOC ∠=︒-∠+∠．
∵BOC BOM COM ∠=∠+∠，
∴180AOC AOC BOM COM ∠=︒-∠+∠+∠，
∵BOM MON BON ∠=∠-∠，12COM AOC ∠=∠， ∴11802AOC AOC MON BON AOC ∠=︒-∠+∠-∠+
∠， 又∵MON α∠=，12
BON AOB ∠=∠， ∴11180(180)22AOC AOC AOC AOC α∠=︒-∠+-
︒-∠+∠， ∴90AOC α∠=︒+．
【点睛】
本题考查邻补角和角平分线的性质．利用邻补角的性质求证COD AOB ∠=∠是解题的关键．
25．如图，在A 、B 两处之间要修一条笔直的公路，从A 地测得公路走向是北偏东46︒，公司要求A 、B 两地同时开工，并保证若干天后公路准确接通．
（1）B 地修公路的走向应该是 ；
（2）若公路AB 长12千米，另一条公路BC 长6千米，且BC 的走向是北偏西44︒，试求A 到公路BC 的距离？
解析：（1）B 地所修公路的走向是南偏西46︒；（2）12km
【分析】
（1）根据平行线的性质的性质可得到结论；
（2）求得∠ABC=90°即可得到结论．
【详解】
（1）由两地南北方向平行，根据内错角相等，可知B 地所修公路的走向是南偏西46︒． 故答案为：南偏西46︒．
（2）180180464490ABC ABG EBC ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，
AB BC ∴⊥，
A ∴地到公路BC 的距离是12A
B =千米．
【点睛】
此题考查了方向角问题，结合生活中的实际问题，将解三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
26．把一块含60°角的直角三角尺()0090,60EFG EFG EGF ∠=∠=放在两条平行线,AB CD 之间．
（1）如图1，若三角形的60°角的顶点G 放在CD 上，且221∠=∠，求1∠的度数； （2）如图2，若把三角尺的两个锐角的顶点,E G 分别放在AB 和CD 上，请你探索并说明AEF ∠与FGC ∠间的数量关系；
（3）如图3，若把三角尺的直角顶点F 放在CD 上，30°角的顶点E 落在AB 上，请直接写出AEG ∠与CFG ∠的数量关系．
解析：（1）40°；（2）∠AEF+∠FGC=90°；（3）AEG ∠+CFG ∠=300°
【分析】
（1）根据平行线的性质得：1=∠EGD ，结合∠2=2∠1和平角的定义，即可求解； （2）过点F 作FP ∥AB ，根据平行线的性质和直角的意义，即可求解；
（3）根据平行线的性质得∠AEF+∠CFE=180°，结合条件，即可求解．
【详解】
(1)∵AB ∥CD ，
∴∠1=∠EGD ，
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°，∠2=2∠1，
∴2∠1+60°+∠1=180°，解得∠1=40°；
(2)如图,过点F 作FP ∥AB ，
∵CD ∥AB ，
∴FP ∥AB ∥CD ，
∴∠AEF=∠EFP ，∠FGC=∠GFP .
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG ，
∵∠EFG=90°，
∴∠AEF+∠FGC=90°；
(3) AEG ∠+CFG ∠=300°，理由如下：
∵AB ∥CD ，
∴∠AEF+∠CFE=180°，
即AEG ∠−30°+CFG ∠−90°=180°，
整理得：AEG ∠+CFG ∠=300°．
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，构造相等的角，是解题的关键
27．已知，//BC OA ，108B A ∠=∠=°，试解答下列问题：
（1）如图①，则O ∠=__________，则OB 与AC 的位置关系为__________ （2）如图②，若点E 、F 在线段BC 上，且始终保持FOC AOC ∠=∠，
BOE FOE ∠=∠．则EOC ∠的度数等于__________；
（3）在第（2）题的条件下，若平行移动AC 到图③所示
①在AC 移动的过程中，OCB ∠与OFB ∠的数量关系是否发生改变，若不改变，求出它们之间的数量关系；若改变，请说明理由．
②当OCA OEB ∠=∠时，求OCA ∠的度数．
解析：（1）72°，平行；（2）36°；（3）①∠OCB=
12
∠OFB ；②∠OCA=54°． 【分析】
（1）根据平行线的性质得出∠B+∠O=180°，求出∠O=72°，求出∠O+∠A=180°，根据平行线的判定得出即可； （2）根据角平分线定义求出1362
EOC BOA ︒∠=
∠=，即可得出答案； （3）①不变，求出∠OFB=2∠OCB ，即可得出答案；
②设∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，求出∠OCA=∠BOC=2α+β，α=β=18°，即可得出答案．
【详解】
解：（1）∵BC ∥OA ，
∴∠B+∠O=180°，
∵∠B=108°，
∴∠O=72°，
∵∠A=108°，
∴∠O+∠A=180°，
∴OB ∥AC ，
故答案为：72°，平行；
（2）∵∠FOC=∠AOC ， BOE FOE ∠=∠，∠BOA=72°， ∴11136222EOC EOF FOC BOF FOA BOA ︒∠=∠+∠=
∠+∠=∠=， 故答案为：36°；
（3）①不变，
∵BC ∥OA ，
∴∠OCB=∠AOC ，
又∵∠FOC=∠AOC ，
∴∠FOC=∠OCB ，
又∵BC ∥OA ，
∴∠OFB=∠FOA=2∠FOC ，
∴∠OFB=2∠OCB ，
即∠OCB ：∠OFB=1：2．
即∠OCB=12
∠OFB ； ②由（1）知：OB ∥AC ，
∴∠OCA=∠BOC ，
由（2）可以设：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，
∴∠OCA=∠BOC=2α+β
由（1）知：BC ∥OA ，
∴∠OEB=∠EOA=α+β+β=α+2β
∵∠OEB=∠OCA
∴2α+β=α+2β
∴α=β
∵∠AOB=72°，
∴α=β=18°
∴∠OCA=2α+β=36°+18°=54°．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，与角平分线有关的证明．能灵活运用平行线的性质和判定进行
推理是解此题的关键．
28．如图，已知，AB//CD，EF交AB，CD于G、H，GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD．试说明GM//HN．
解析：证明见解析．
【分析】
首先根据平行线的性质可得∠BGF=∠DHE，再根据角平分线的性质可证明∠1=∠2，然后根据内错角相等，两直线平行可得HN∥GM．
【详解】
证明：∵AB∥CD，
∴∠AGF=∠DHE，
∵GM、HN分别平分∠AGF，∠EHD，
∴∠1=1
2∠AGF，∠2=1
2
∠DHE，
∴∠1=∠2，
∴GM∥HN．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定与性质，关键是掌握平行线的判定定理与性质定理．。