专题05 空间几何体的直观图及其表面积体积(专题测试)--解析版

专题05 空间几何体的直观图及其表面积体积（专题测试）
【基础题】
1．（2020·广东惠州市·高一期末）正四棱锥的底面边长和高都等于2，则该四棱锥的体积为（ ）
A B C ．83 D ．8
【答案】C
【分析】利用正四棱锥的体积公式直接求解.
【详解】∵正四棱锥的底面边长和高都等于2， ∴该四棱锥的体积211822333
V Sh ==⨯⨯=.故选：C . 【点睛】本题主要考查棱锥的体积的求法，属于基础题.
2．（2020·广东高三月考）《孙子算经》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有圆窖周五丈四尺，深一丈八尺，问受粟几何？”其意思为：“有圆柱形容器，底面圆周长五丈四尺，高一丈八尺，求此容器能放多少斛米”（古制1丈10=尺，1斛 1.62=立方尺，圆周率3π=），则该圆柱形容器能放米（ ）
A ．900斛
B ．2700斛
C ．3600斛
D ．10800斛 【答案】B
【分析】计算出圆柱形容器的底面圆半径，由此计算出圆柱形容器的体积，由此可得出结果.
【详解】设圆柱形容器的底面圆半径为r ，则5454926
r π===（尺）， 所以，该圆柱形容器的体积为221839184374V r π=⨯=⨯⨯=（立方尺）， 因此，该圆柱形容器能放米437427001.62
=（斛）.故选：B. 【点睛】本题考查立体几何中的新文化，考查柱体体积的计算，考查计算能力，属于基础题. 3．（2020·阳东广雅学校高一期末）圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（ ） A ．π
B ．3π
C ．2π
D ．4π
【答案】D
【分析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可.
【详解】因为圆柱的底面半径为1,高为1,
所以圆柱的表面积221214S πππ=⨯+⨯⨯=.故选:D .
【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.
4．（2019·广东高二期末）如图，一个圆柱的底面半径为3，高为2，若它的两个底面圆周均在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）
A ．323π
B ．16π
C ．8π
D ．4π
【答案】B
【分析】采用数形结合，根据勾股定理可得球的半径，然后利用球的表面积公式，可得结果.
【详解】根据题意，画图如下：
则OA R =，3O A r '==，12
h OO '==， 故在Rt OO A '∆中，22132OA OO O A ''=+=+=，
2R ∴=，2244216S R πππ∴==⋅=球.故选：B
【点睛】本题主要考查球的表面积，属基础题.
5．（2018·广东揭阳市·揭阳三中高一单元测试）棱长为1的正四面体的表面积为（ ）
A ．3
B ．23
C ．33
D ．43
【答案】A
【分析】采用数形结合，根据边长，结合正四面体的概念，计算出正三角形的面积，可得结果.
【详解】如图
由正四面体的概念可知，其四个面均是全等的等边三角形，由其棱长为1，
所以13sin 6024ABC S AB AC =⋅⋅=，所以可知：正四面体的表面积为4ABC S = A
【点睛】本题考查正四面体的表面积，属于基础题.
6．（2020·广东广州市·执信中学高二期中）在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为3的等边三角形，△SAB 是以AB 为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ）
A ．32π
B ．16π .
C ．24π
D ．12π 【答案】D
【分析】先根据题意确定三棱锥外接球的球心为△ABC 外接圆圆心，再根据正弦定理求得求半径，最后根据球表面积公式得结果.
【详解】由题意，△SAB 是以AB 斜边的直角三角形，以三角形SAB 所在平面截球所得的小圆面圆心在AB 中点，又因为平面SAB ⊥平面ABC ，所以平面ABC 截球所得平面即为大圆.因为△ABC 是边长为3的正
三角形，其外接圆半径33R =⨯
=R =24π12πS R ==， 故选：D
【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，考查空间想象能力，属基础题.
7．（2020·广东）在长方体1111ABCD A BC D -中，22AB BC ==，若此长方体的八个顶点都在体积为92π的球面上，则此长方体的表面积为（ ）
A ．16
B ．18
C ．20
D ．22 【答案】A
【分析】根据题意，先得到长方体外接球直径等于长方体体对角线的长，由此求出长方体的侧棱长，再由表面积公式，即可得出结果.
【详解】根据长方体的结构特征可得，长方体外接球直径等于长方体体对角线的长，
因为长方体外接球的体积为
92π，设外接球半径为R ， 则33924
R ππ=，解得32
R =，
因此2R =
22AB BC ==，
所以3=12BB =，
因此长方体的表面积为：1122248416S AB BC AB BB BC BB =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=.故选：A.
【点睛】本题主要考查长方体外接球的相关计算，以及长方体表面积的计算，属于常考题型.
8．（2020·深圳市第二高级中学高一月考）已知圆柱的轴截面为正方形，且圆柱的体积为54π，则该圆柱的侧面积为________.
【答案】36π
【分析】设圆柱的底面半径为r ，可知该圆柱的高为2r ，计算出圆柱的体积，可求得r 的值，进而可求得圆柱的侧面积.
【详解】设圆柱的底面半径为r ，由于该圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱的高为2r ，
所以，圆柱的体积为232254V r r r πππ=⨯==，解得3r =.
因此，该圆柱的侧面积为222244336S r r r ππππ=⨯==⨯=.故答案为：36π.
【点睛】本题考查圆柱侧面积的计算，同时也考查了圆柱的体积的计算，考查计算能力，属于基础题. 9．（2020·汕头市潮南区陈店实验学校高二月考）如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．
【答案】32
. 【分析】设球的半径为R ，可知圆柱高为2R ；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.
【详解】设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R
∴圆柱的表面积2212226S R R R R πππ=+⋅=；球的表面积224S R π=
∴圆柱的表面积与球的表面积之比为21226342
S R S R ππ==，本题正确结果：32 【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.
10．（2020·广东佛山市·南海中学高二月考）在四面体S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2SA AC ==，1AB =，则该四面体的外接球的表面积为______． 【答案】403
π 【分析】由正余弦定理求BC ，进而求△ABC 外接圆半径为r ，由SA ⊥平面ABC ，设外接球半径为R ，则222(
)2
SA R r =+求R ，即可求外接球的表面积. 【详解】
在△ABC 中，由余弦定理：2222cos 7BC AC AB AC AB BAC =+-⋅⋅∠=，即7BC =， 由正弦定理知：若外接圆半径为r ，则2212sin 3BC r BAC ==∠，即213r ， ∵SA ⊥平面ABC ，设四面体S ABC -外接球半径为R ，则222()2
SA R r =+， ∴303
R =，即四面体的外接球的表面积24043S R ππ==.故答案为：403π. 11．（2021·广东高三二模）若在母线长为5，高为4的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值为______________．
【答案】152
π． 【分析】球是圆锥的内切球时，剩余部分体积最小．求出球的半径即可得．
【详解】如图是圆锥的轴截面，它的内切圆是圆锥的内切球的大圆．设半径为R ，
易知母线长为5，高为4时，底面半径为r =22543-=，
因此1164(556)22R ⨯⨯=++，32
R =， 所以剩余部分体积的最小值为3
232141431534333322V r h R πππππ⎛⎫=-=⨯⨯-⨯= ⎪⎝⎭．故答案为：152π．
12．（2020·广东深圳市·深圳外国语学校高三月考）已知圆锥的表面积等于212cm π，其侧面展开图是一个
半圆，则该圆锥的体积为______3cm .
【分析】根据侧面展开图是一个半圆，求得母线长与底面半径的关系，利用表面积求得半径的值，进而得到母线长，求得圆锥的高，进而得到体积.
【详解】设圆锥的底面半径为r ,母线长为l ,底面周长为2πr ，
侧面展开图为半圆，∴2πr =πl ,即l =2r ,
∴222=23122S r rl r r r r r ππππππ+=+⋅==⇒=表,
4,l ∴=∴
圆锥的高h =,
则()2313V r h cm π==3cm . 【点睛】本题考查圆锥的表面积和体积的计算，属基础题，关键是根据表面积求出底面半径.
【提升题】
13．（2020·2π，P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，A ，B 在底面圆周上，∠AOB ＝60°，则三棱锥P ﹣AOB 的体积为_____． 【答案】14
【分析】由题意设圆锥底面半径为r ，由圆锥侧面积公式可得2r ππ=即1r =，再由三棱锥的体积公式即可得解.
【详解】设圆锥底面半径为r ，
2π，
∴2r ππ=，解得1r =，
∵P 为圆锥的顶点，O 为圆锥底面圆的圆心，A ，B 在底面圆周上，∠AOB ＝60°，
∴三棱锥P ﹣AOB 的体积：
1111
11sin 6033324AOB V S ==⨯⨯⨯⨯⨯=△．故答案为：14
． 【点睛】本题考查了圆锥结构特征、侧面积公式的应用及棱锥体积的求解，考查了运算求解能力及空间思维能力，属于中档题.
14．（2021·广东广州市·高三三模）某校学生参加社会劳动实践活动，把一个半径为R 的球形钢材切削成一
个圆锥，当圆锥h 的体积最大时，高为h ，则h R =__________． 【答案】43． 【分析】作出圆锥的轴截面，其外接圆为球的大圆，由此可得,,R h r 的关系，由圆锥体积体式表示出体积后，由基本不等式得最大值，从而可得结论．
【详解】如图，作出圆锥的轴截面等腰三角形，其外接圆为球的大圆，由图可得222()R h R r =-+， 222r Rh h =-，
圆锥体积为32231114232(2)(42)3366381
R h h h V r h Rh h h R h h h R πππππ-++⎛⎫==-=-⨯⨯≤⨯= ⎪⎝⎭， 当且仅当42R h h -=，即43h R =时等号成立．故答案为：43
．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．
15．（2021·全国高一课时练习）已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为（ ）
A ．6
B ．8
C ．232+
D ．223+
【答案】B
【分析】由斜二测画法的规则，把直观图还原为原平面图形，再求原图形的周长．
【详解】由斜二测画法的规则知，与x '轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在y '轴上，可求得其长度为2，所以在平面图中其在y 轴上，且其长度变为原来的2倍，是22，其原来的图形如图所示；
所以原图形的周长是：222()2(1(22)1)8OA AB +=⨯++=．故选：B ．
【点睛】本题考查了平面图形的直观图应用问题，能够快速的在直观图和原图之间进行转化，是解题的关键，属于中档题．
16．（2020·全国高一课时练习）如图,一个盛满溶液的玻璃杯,其形状为一个倒置的圆锥,现放一个球状物体完全浸没于杯中,球面与圆锥侧面相切,且与玻璃杯口所在平面相切,则溢出溶液的体积为
A 8327π
B 4327π
C 16327π
D 32327
π 【答案】D
【分析】设球的半径为r ，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4的等边三角形，根据等边三角形的性质，求得球的半径，利用体积公式，求得球的体积，即可得到答案.
【详解】由题意，设球的半径为r ，作出球的组合体的轴截面，可得一个半径为r 的圆内切与一个边长为4的等边三角形，此时正三角形的高线为23h =，
根据中心（重心）的性质可得，球的半径为2433r h == 所以球的体积为334443323(33V r ππ==⨯=323，故选D. 【点睛】本题主要考查了有关球的组合体，及球的体积的计算问题，其中解答中根据作出组合体的轴截面，
利用正三角形的性质求得球的半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与计算能力，属于中档试题.
【拓展题】(选用) 17．（2021·全国高三专题练习）设A B C D ，
，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC -体积的最大值为
A ．123
B ．183
C ．243
D ．543
【答案】B
【详解】作图，D 为MO 与球的交点，点M 为三角形ABC 的中心，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，然后进行计算可得．
详解：如图所示，
点M 为三角形ABC 的中心，E 为AC 中点，
当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大
此时，OD OB R 4===
2393ABC S AB == AB 6∴=,
点M 为三角形ABC 的中心
2BM 233
BE ∴==Rt OMB ∴中，有22OM 2OB BM =-=
DM OD OM 426∴=+=+=
()max 19361833D ABC V -∴=⨯⨯=故选B. 【点睛】本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当DM ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大很关键，由M 为三角形ABC 的重心，计算得到2BM 233
BE ==，再由勾股定理得到OM ，进而得到结果，属于较难题型． 18.（2021·河南开封市·高三三模（文））农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，古称“角黍”.如图，是由六个边长为3的正三角形构成的平行四边形形状的纸片，某同学将其沿虚线折起来，制作了一个粽子形状的六面体模型，则该六面体的体积为________；若该六面体内有一球，则该球体积的最大值为_________.
【答案】922
； 8627π. 【分析】画出几何体的图形，取BC 的中点D ，连结SD ，AD ，作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上，然后求解该六面体的体积．当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O ，且该球与SD 相切，求出球的半径即可求解该球体积的最大值．
【详解】该六面体是由两个全等的正四面体组合而成，正四面体的棱长为3，
如图，在棱长为3的正四面体S ABC -中，
取BC 的中点D ，连结SD ，AD ，
作SO ⊥平面ABC ，垂足O 在AD 上，
则13AD SD OD AD SO ====，
所以该六面体的体积为1122332S ABC V V -==⨯⨯⨯=． 当该六面体内有一球，且该球的体积取最大值时，球心为O ，且该球与SD 相切， 过球心O 作OE SD ⊥，则OE 就是球的半径，
因为SO OD SD OE ⨯=⨯
，所以球的半径SO OD OE SD ⨯=
=，
该球体积的最大值为3
43V π=⨯=⎝⎭
．故答案为：2
． 【点睛】（1）解题关键是求出正四面体的高SO ；
（2）问解题的关键是利用截面将空间问题平面化，从而找到并求出球的半径OE .。