初中数学 习题1：垂径定理

垂径定理
【例1】如图，⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于E ，若AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∠CEA ＝300，求： （1）CD 的长；
（2）C 点到AB 的距离与D 点到AB 的距离之比。

分析：有关弦、半径、弦心距的问题常常利用它们构造的直角三角形来研究，所以连半径、作弦心距是圆中的一种常见辅助线添法。

解：（1）过点O 作OF ⊥CD 于F ，连结DO ∵AE ＝2cm ，BE ＝6cm ，∴AB ＝8cm ∴⊙O 的半径为4 cm ∵∠CEA ＝300
，∴OF ＝1 cm ∴1522=-=OF OD DF cm 由垂径定理得：CD ＝2DF ＝152cm
（2）过C 作CG ⊥AB 于G ，过D 作DH ⊥AB 于H ，易求EF ＝cm ∴DE ＝)315(+cm ，CE ＝)315(-cm ∴
25
33
15315-=
+-==DE CE DH CG 【例2】如图，半径为2的圆内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，它们的交点E 到圆心O 的距离等于1，则2
2
CD AB +＝（ ）
A 、28
B 、26
C 、18
D 、35
分析：如图，连结OA 、OC ，过O 分别作AB 、CD 的垂线，垂足分别为M 、N ，则AM ＝MB ，CN ＝ND 。

∵OM ⊥MN ，ME ⊥EN ，CN ＝ND ∴222OE ON OM =+
从而22222OE CN OC AM OA =-+-
即22
222
1)2
(2)2(2=-+-CD AB ∴2822=+CD AB 故选A 。

【例3】如图，等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，AB ＝AC ，tanB ＝3
1。

求：
•
例1图
H
E
F
G
O
D
C
B
A •例2图
M
N E
O D C
B
A
•
例2图
M
N E O D
C B
A
（1）BC 的长； （2）AB 边上高的长。

分析：（1）已知AB ＝AC ，可得⋂
⋂
=AC AB ，则A 为的中点。

已知弧的中点往往连结这点和圆心，从而可应用垂径定理；（2）求一边上的高（或垂线段）可考虑用面积法来求解。

解：（1）连结AO 交BC 于D ，连结BO 由AB ＝AC 得⋂
⋂
=AC AB ，又O 为圆心 由垂径定理可得AO 垂直平分BC
∵tanB ＝3
1
，设AD ＝cm ，则BD ＝cm
∴OD ＝)5(x -cm
在Rt △BOD 中，222)5()3(5x x -=+，解得11=x ，02=x （舍去） ∴BD ＝3 cm ，BC ＝6 cm 。

（2）设AB 边上的高为，由（1）得：AD ＝1 cm ，AB ＝cm
∵h AB AD BC S ABC ⋅=⋅=∆2
1
21 ∴5
10
3=⋅=
AB AD BC h
【问题一】不过圆心的直线交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥于E ，BF ⊥于F 。

（1）如图，在下面三个圆中分别补画出满足上述条件的具有不同位置关系的图形；
（2）请你观察（1）中所画的图形，写出一个各图都具有的两条线段相等的结论（不再标注其它字母，找结论的过程中所连辅助线不能出现在结论中，不写推理过程）；
（3）请你选择（1）中的一个图形，证明（2）所得出的结论。

•①
•② •
③
分析：这是一道开放性试题，首先要根据直线与AB 的不同位置关系画出不同的图形（如下图），①
直线与AB 平行；②直线与AB 相交；③直线与AB 或BA 的延长线相交。

其次根据图形写出一个两条线段相等的正确结论，结论也是开放的，这也是近几年中考命题的热点。

解（1）如下图所示。

•
例3图
O
D C
B
A
l
•
问题一图1 O
H
F
E D C
B
A l •
问题一图2
O H F E D
C B
A
l •
问题一图3
O
H F
E D C B
A
（2）EC ＝FD 或ED ＝FC
（3）以①图为例来证明。

过O 作OH ⊥于H ∵AE ⊥，BF ⊥，∴AE ∥OH ∥BF
又∵OA ＝OB ，∴EH ＝HF ，再由垂径定理可得CH ＝DH ∴EH －CH ＝FH －DH ，即EC ＝FD
【问题二】如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 任作一直线与⊙O 1交于M ，与⊙O 2交于N ，问什么时候MN 最长？为什么？
解析：任作两条过A 的线段EF 、MN ，比较MN 与EF 的大小，不好比较，根
据垂径定理，分别过O 1、O 2作弦心距，易知CD ＝21EF ，PQ ＝2
1
MN ，比较PQ 与
CD 的大小即可（PQ ＝O 1O 2）。

发现O 1O 2是直角梯形的斜腰，大于直角腰，如果MN 的一半正好是O 1O 2，则MN 最长。

答案：当MN ∥O 1O 2时，MN 最长。

跟踪训练 一、选择题：
1、下列命题中正确的是（ ）
A 、平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
B 、弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦；
C 、若两段弧的度数相等，则它们是等弧；
D 、弦的垂线平分弦所对的弧。

2、如图，⊙O 中，直径CD ＝15cm ，弦AB ⊥CD 于点M ，OM ∶MD ＝3∶2，则AB 的长是（ ）
3、已知⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12 cm ，CD ＝16 cm ，则AB 和CD 的距离是（ ） A 、2cm B 、14cm
C 、2cm 或14cm
D 、2cm 或12cm
4、若圆中一弦与弦高之和等于直径，弦高长为1，则圆的半径长为（ ）
问题二图
•选择第2题图
M
O
D
C
B
A
A 、1
B 、23
C 、2
D 、2
5 二、填空题：
1、在半径为5cm 的⊙O 中，有一点P 满足OP ＝3 cm ，则过P 的整数弦有 条。

2、如图，⊙O 中弦AB ⊥CD 于E ，AE ＝2，EB ＝6，ED ＝3，则⊙O 的半径为 。

3、等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝1200，BC ＝10 cm ，则△ABC 的外接圆半径为 。

4、圆内一弦与直径相交成300的角，且分直径为1 cm 和5 cm 两段，则此弦长为 。

5、如图，AB 为⊙O 的直径，AC 为弦，OD ⊥AC 于D ，BD 交OC 于E ，若AC ＝4，AB ＝5，则BE ＝ 。

•第2题图
E
O
D C
B
A
•
第5题图
E
O
D C
B
A
•
2
O 1O •
第6题图
P
D
C
B
A
6、如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，C 、A 、D 三点在一条直线上，CD 的延长线交O 1 O 2的延长线于P ，∠P ＝300，3221=O O ，则CD ＝ 。

三、计算或证明题：
1、如图，Rt △ABC 中，∠C ＝900，AC ＝3，BC ＝4，以点C 为圆心，CA 为半径的圆与AB 、BC 分别交于点D 、E ，求AB 、AD 的长。

•
第1题图
E
D
C
B
A
•
第2题图
G F
O
E
D
C
B A
•
第3题图 O
E
D
C
B
A
•
第4题图
G F
O
E D
C
B
A
2、如图，⊙O 的半径为10cm ，G 是直径AB 上一点，弦CD 经过点G ，CD ＝16cm ，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，求AE －BF 的值。

3、如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，∠BAC 的平分线交BC 于D ，交⊙O 于E ，且AC ＝6，AB ＝8，求CE 的长。

4、如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥BC 于E ，CF ⊥AB 于F ，交AD 于G ，BE ＝3，CE ＝2，且tan ∠OBC ＝1，求四边ABDC 的面积。

跟踪训练参考答案
一、选择题：BCCD 二、填空题： 1、4条；2、
265；3、3310cm ；4、cm ；5、3
132；6、6 三、计算或证明题： 1、AB ＝5，AD ＝
5
18
； 2、解：连结OC ，过点O 作OM ⊥CD 于M ，则CM ＝MD ∵CD ＝16，AB ＝8，在Rt △OMC 中，因OC ＝10 ∴OM ＝68102222=-=-CM OC ∵AE ⊥CD ，BF ⊥CD ，OM ⊥CD ，∴AE ∥OM ∥BF
∴
OG AG OM AE =，OG BG
OM BF =
∴22==-=-OG
OG
OG BG AG OM BF AE
∴AE －BF ＝2OM ＝12
3、提示：连结OE ，由⋂
⋂
=EC BE 得OE 垂直平分BC 于F ，AB 为直径，则∠ACB ＝900，BC ＝
7222=-AC AB 。

∴CF ＝，EC ＝221)7(22=+ 4、解：过点O 作OM ⊥BC 于M ，ON ⊥AD 于N ，连结AO ∵BE ＝3，CE ＝2，∴BC ＝5，BM ＝2
5 又∵tan ∠OBC ＝1，∴∠OBM ＝450
在Rt △OBM 中，OB ＝
225，∴ON ＝ME ＝2
1
在Rt △AON 中，AN ＝2
7
22=-AN OA
∵ON ⊥AD ，∴AN ＝ND ，∴AD ＝7 ∴2
35
212121=
⋅=⋅+⋅=
AD BC DE BC AE BC S ABDC。