湖北省襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2014-2015学年高二数学上学期期中联

某某省襄阳市四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中）2014-2015
学年高二上学期期中联考数学文试题
第I 卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知a 、b 、c 是两两不等的实数，点(P b ，)b c +，点(Q a ，)c a +，则直线PQ 的倾斜角为（ ）
A .30
B .45
C .60
D .135
2．第三赛季甲、乙两名运动员每场比赛得分的茎叶图如右图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A .甲、乙两人单场得分的最高分都是9分；
B .甲、乙两人单场得分的中位数相同；
C .甲运动员的得分更集中，发挥更稳定；
D .乙运动员的得分更集中，发挥更稳定. 第2题
3.用“除k 取余法”将十进制数259转化为五进制数是（ ）
A ．(5)2012
B ．(5)2013
C ．(5)2014
D ．(5)2015
4.已知圆M 的一般方程为
22860x y x y +-+=，则下列说法中不正确的是（ ） A .圆M 的圆心为(4,3)-B .圆M 被x 轴截得的弦长为8 C .圆M 的半径为25D .圆M 被y 轴截得的弦长为6
5.
如图所示是四棱锥的三视图，则该几何的体积等于（ ）
A ．16
B ．5634+
C ．6
D ．5617+
6.已知变量x 与y 呈相关关系，且由观测数据得到的样本数据散点图如图所示，
则由该观测数据算得的回归方程可能是（ ）
甲 乙
8 0 4 6 3 1 2 5 3 6 8 2 5 4
3 8 9 3 1 6 1 6 7 9
4 4 9 1
5 0
A .ˆ 1.314 1.520y
x =-+B .ˆ 1.314 1.520y x =+ C .ˆ 1.314 1.520y
x =-D .ˆ 1.314 1.520y x =-- 7.下列说法中正确的是（ ）
A .若事件A 与事件
B 是互斥事件，则()()1P A P B +=； 第6题
B .若事件A 与事件B 满足条件：()()()1P A B P A P B ⋃=+=，则事件A 与事件B 是 对立事件；
C .一个人打靶时连续射击两次，则事件 “至少有一次中靶”与事件 “至多有一次中靶”是对立事件；
D .把红、橙、黄、绿4X 纸牌随机分给甲、乙、丙、丁 4人，每人分得1X ，则事件“甲分得红牌”与事
件“乙分得红牌”是互斥事件.
8.如果直线m 、n 与平面α、β、γ满足：n βγ=⋂，n ∥α，m α⊂和m γ⊥，那么必有（ ）
A .α∥β且αγ⊥
B .αγ⊥且m n ⊥
C .m ∥β且m n ⊥
D .αγ⊥且m ∥β
9.将一个棱长为4cm 的立方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1cm 的小正方体．从涂有红色面的小正方体中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于22
cm 的概率是（ ）
A .47
B .12
C .37
D .17
10.已知二次函数2()(f x x mx n m =++、)n R ∈的两个零点分别在(0,1)与(1,2)内，则
22
(1)(2)m n ++-的取值X 围是（ ）
A
．B
．C ．[2,5]D ．(2,5)
第II 卷
二、填空题:本大题共7小题，每小题5分，共35分.请将答案填写在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.
11.已知高一年级有学生450人，高二年级有学生750人，高三年级有学生600人.用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个容量为n 的样本，且每个学生被抽到的概率为0.02，则应从高二年级抽取的学生人数为 .
12.在空间直角坐标系Oxyz 中，y 轴上有一点M 到已知点(4,3,2)A 和点(2,5,4)B 的距离相等，则点M 的坐标是 .
13.点（a ，1）在直线240x y -+=的右下方，则a 的取值X 围是 .
14.某学生5天的生活费（单位:元）分别为：x ，y ，8，9，6．已知这组数据的平均数为8，方差为2，则||x y -= .
15.某校1000名学生的数学测试成绩分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为175人，则a 的估计值是________．
Y
开始 输入a 、b 、c
a=b
N a=c
输出a
第16题
a<b? a<c? Y
N
结束
16.如图所示的算法中，3
a e =，3
b π=，
c e π
=，其中π是圆周率， 2.71828e =…是自然对数的底数，则输出的结果是 ．
15题图 17.已知圆
1
C ：22
(cos )(sin )4x y αα+++=，圆2C ：22(5sin )(5cos )1x y ββ-+-=，
,[0,2)αβπ∈，过圆1C 上任意一点M 作圆2C 的一条切线MN ，切点为N ，则||MN 的取值X 围
是 .
三、解答题：本大题共5小题，共计65分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
18．（本小题满分12分）已知直线l 经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点． ⑴若直线l 平行于直线3240x y -+=，求直线l 的方程； ⑵若直线l 垂直于直线4370x y --=，求直线l 的方程．
19.（本小题满分13分）如图是学校从走读生中随机调查200名走读生早上上学所需时间（单位：分钟）样本的频率分布直方图．
⑴学校所有走读生早上上学所需要的平均时间约是多少分钟？ ⑵根据调查，距离学校500米以内的走读生上学时间不超过10分钟，距离学校1000米以内的走读生上学时间不超过20分钟．那么，距离学校500米以内的走读生和距离学校1000米以上的走读生所占全校走读生的百分率各是多少？
第19题
20.（本小题满分13分）图2中的实线围成的部分是长方体(图1)的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是1
4 .
（1）从正方形ABCD 的四条边及两条对角线共6条线段中任取2条线段（每条线段被取到的可能性相等），求其中一条线段长度是另一条线段长度的2倍的概率；
曾都一中 枣阳一中 襄州一中 宜城一中
A
E
B
C D
M
H
（2求此长方体的体积.
第20题
21．（本小题满分13分）已知平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是矩形，2AD AE BE ===，M 、
ABCD 时，左
H 分别是DE 、AB 的中点，主（正）视图方向垂直平面2．
⑴求证：MH ∥平面BCE ； ⑵求证：平面ADE ⊥平面BCE ．
第21题
22．（本小题满分14分）已知圆M 经过第一象限，与y 轴相切于点(0,0)O ，且圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，过点(0,1)P -作直线l ． ⑴求圆M 的标准方程；
⑵当直线l 与圆M 相切时，求直线l 的方程；
⑶当直线l 与圆M 相交于A 、B 两点，且满足向量PA PB λ=，[2,)λ∈+∞时，求||AB 的取值X 围．
2014－2015学年上学期高二期中考试数学（文科）参考答案 1－10：B D C C A B D B A D
11.15 12. (0,4,0)M 13.(2,)-+∞ 14. 3 15.135 16.3π
17.
18.⑴由280210x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得3
2x y =⎧⎨=⎩
即直线280x y +-=和210x y -+=的交于点(3,2)， 所以直线l 经过点(3,2)，…………4分
因为直线l 平行于直线3240x y -+=，可设直线l 的方程为320x y m -+=，则有
33220m ⨯-⨯+=得5m =-，
所以直线l 的方程为3250x y --=．…………8分
⑵因为直线l 垂直于直线4370x y --=，可设直线l 的方程为340x y n ++=，则有
33420n ⨯+⨯+=得17n =-，
所以直线l 的方程为34170x y +-=．…………………12分 19.解：⑴
40.02480.084120.094160.034200.03411.52x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，
所以，走读生早上上学所需要的平均时间约为11.52分钟．………………6分 ⑵
10.0240.0840.4040
P =⨯+⨯==﹪，
20.03420.066
P =⨯÷==﹪，………12分
所以距离学校500米以内的走读生占全校走读生的40﹪，距离学校1000米以上的走读生占全校走读生的6
﹪．………………………………13分
20.解：（1）记事件M ：从6条线段中任取2条线段，其中一条线段长度是另一条线段长度的2倍.从6条线段中任取2条线段，有15种等可能的取法：AB 和BC ，AB 和AC ，AB 和CD ，AB 和AD ，AB 和BD ，BC 和CD ，BC 和BD ，BC 和AC ，BC 和AD ，CD 和AC ，CD 和AD ，CD 和BD ，AD 和AC ，AD 和BD ，AC 和BD …3分
其中事件M 包含8种结果：AB 和AC ，AB 和BD ，BC 和AC ，BC 和BD ，CD 和AC ，CD 和BD ，
AD 和AC ，AD 和BD ……………………………………… 4分 8()15P M =
，因此，所求事件的概率为8
15………………………6分
（2）记事件N ：向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内．
设长方体的高为h ，则图2中虚线围成的矩形长为22h +，宽为12h +，面积为(22)(12)h h ++……………
A
E
B
C
D
F
H
A E
B C
D
M
H
P
N
9分
长方体的平面展开图的面积为24h +；……………10分
由几何概型的概率公式知
241
()(22)(12)4h P N h h +=
=
++，得3h =，…………12分
所以长方体的体积是1133V =⨯⨯=.……………13分 21.⑴证明：方法一、取CE 的中点N ，连接BN ， 因为CDE ∆中，M 、N 分别是DE 、CE 的中点，
所以MN ∥CD 且MN ＝1
2CD ；……………………1分
因为矩形ABCD 中，H 是AB 的中点，BH ∥CD 且BH ＝1
2CD ；
所以MN ∥BH 且MN ＝BH ，得平行四边形BHMN ，MH ∥BN ……2分 因为MH ⊄平面BCE ，BN ⊂平面BCE ，所以MH ∥平面BCE ；……4分 方法一、取AE 的中点P ，连接MP 、HP ，
因为ABE ∆中，P 、H 分别是AE 、AB 的中点，所以HP ∥BE ，
因为HP ⊄平面BCE ，BE ⊂平面BCE ，所以HP ∥平面BCE ；………1分 同理可证MP ∥平面BCE ；………………………………………………2分 因为MP ⋂HP ＝P ，所以平面MPH ∥平面BCE ；…………………3分 因为MH ⊂平面MPH ，所以MH ∥平面BCE ；……………………4分 ⑵证明：取CD 中点F ，连接EH 、EF 、FH ，
则矩形ABCD 中，FH AB ⊥，2FH AD ==，………………5分 因为ABE ∆中2AE BE ==，所以EH AB ⊥，
因为平面ABCD ⊥平面ABE ，交线为AB ，所以EH ⊥平面ABCD ，EH FH ⊥， 所以Rt EFH ∆
的面积等于几何体E ABCD -左（侧）视图的面积，得
11
222
EH FH EH ⨯=⨯=即EH =8分
所以ABE 中，2222222
2AH EH BH EH AE DE +=+===
，AH BH ==
AB =2228AE DE AB +==，AE BE ⊥；……………………10分
因为平面ABCD ⊥平面ABE ，四边形ABCD 是矩形，所以AD ⊥平面ABE ， 因为BE ⊂平面ABE ，所以AD BE ⊥；……………………11分 因为AD AE A ⋂=，所以BE ⊥平面ADE ；…………………12分
因为BE ⊂平面BCE ，所以平面ADE ⊥平面BCE ．……………………13分
22．解：⑴因为圆M 经过第一象限，与y 轴相切于点(0,0)O ，得知圆M 的圆心在x 的正半轴上；…………1分
由圆M 上的点到x 轴的最大距离为2，得知圆M 的圆心为(2，0)，半径为2．……2分
所以圆M 的标准方程为
22
(2)4x y -+=．………………4分 ⑵若直线l 的斜率存在，设l 的斜率为k ，则直线l 的方程为10kx y --=，
因为直线l 与圆M 相切，所以圆心M 到直线l
2
=，
解得
3
4k =-
，直线l 的方程：3440x y ++=；
若直线l 的斜率不存在，由直线l 与圆M 相切得直线l 的方程：0x =………………6分 所以，直线l 的方程为0x =或3440x y ++=．…………………8分
⑶由直线l 与圆M 相交于A 、B 两点知，直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，点11(,)A x y 、
22(,)
B x y ，
则直线l 的方程为10kx y --=，
由22(2)410x y kx y ⎧-+=⎨-+=⎩得
22
(1)(24)10k x k x +-++=， 16120k ∆=+>即
34k >-
，122241k x x k ++=+，122
1
1x x k ⋅=+，
由向量
1122(,1)(,1)PA PB x y x y λλ=⇒+=+，得12x x λ=，
由
122241k x x k ++=
+，12
211x x k ⋅=+，12x x λ=消去1x 、2x 得2222241()(1)
11k k k λλ+⋅=+++，
即2243(1)1944212k k λλλλ+++⋅==++≥+，[2,)λ∈+∞，化简得
243118k k +≥+．…11分
||2AB ==≥=且||24AB R ≤=
，即||[4]
2AB ∈．
………………………13分
所以||AB 的取值X
围是[
4]
2．…………………………14分。