13标量场的梯度.

u 1 6)( ) 2 (vu uv) v v
3.梯度的重要性质
u 0
7
例1
三维高度场的梯度 高度场的梯度与过该点的
等高线垂直； 数值等于该点位移的最大变 化率；
指向地势升高的方向。
图1
三维高度场的梯度
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例2
电位场的梯度
电位场的梯度与过该点的
等位线垂直；
数值等于该点的最大方向导数；
?
el
3
u u u u ( e x e y e z ) (cos e x cos e y cos e z ) l x y z
哈密顿算符
( ex ey ez ) x y z
既具有矢量性质， 又具有微分性质
x cos l
y cos l
z cos l
则方向导数的Biblioteka 算公式为u u u u cos cos cos l x y z
2
二、标量场的梯度
标量场在什么方向上变化率最大？其最大的变 化率是多少？ 梯度
1.梯度的概念 标量场u沿指定方向的变化率就是标量场在该方 向的方向导数 u u u u cos cos cos l x y z u u u ( e x e y e z ) (cos e x cos e y cos e z ) x y z
u u u u e x ey ez x y z u gradu
u gradu e l | gradu || el | cos l
标量场u的梯度， 用 gradu表示
| el | 1
u | gradu | cos l
梯度的定义：在空间某点的任意方向上，方向导数有无穷多个， 其中有一个值最大，这个方向导数的最大值定义为梯度。
R R R R e x ey ez x y z
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R | r r | ( x x) 2 ( y y) 2 ( z z ) 2
R x x x R
R y y y R
R
R z z z R
u (r )
l
1
2.方向导数的计算公式
设一个标量函数u(x,y,z)，若函数u在点P可微，则 u在点P沿任意方向l的方向导数为
u u x u y u z l x l y l z l
设 l 方向的方向余弦是 cos ,cos ,cos ，即
矢量——服从矢量运算的规则; 算子——代表一种微分运算，服从微分运算规则;
1) ▽本身无独立意义，只有作用于标量函数或矢量函数时 才代表一种运算。 u A A
2）只对它后边的量起运算作用。不能随便交换▽的位置。
4
u u u u ( e x e y e z ) (cos e x cos e y cos e z ) l x y z ( ex ey ez ) x y z
6
2.梯度的基本运算公式 1)C 0 (C为常数)
2)(Cu ) Cu 3)(u v) u v
4)(uv) uv vu
5)F (u ) F (u )u
F F 7)F (u, v) u v u v 式中： C 为常数；u , v为坐标变量函数；
1.3 标量场的梯度
一、方向导数
1.方向导数的定义
方向导数表征标量场空间中，某点处场值
沿特定方向变化的规律。 M u(M ) u(M 0 ) u lim M0 l M0 l 0 l l 方向导数的物理意义 u |M0 是标量场u( M )在点M 0处沿l 方向对距离的变化率 l u 1) |M0 >0，标量场u在点M 0沿l 方向是增加的； l u 2) |M0 <0，标量场u在点M 0沿l 方向是减小的； l u 3) |M0 =0，标量场u在点M 0沿l 方向无变化。 l 方向导数与选取的考察方向有关。
式中：el 是场量u变化率最大的方向上的单位矢量。
du gradu u dl
max el
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梯度的性质
标量场的梯度为矢量，且是坐标位置的函数
标量场梯度的幅度表示标量场的最大增加率 标量场梯度的方向垂直于等值面，为标量场 增加最快的方向 标量场在给定点沿任意方向的方向导数等于 梯度在该方向投影
源点
z
R
场点
r
o
r
y
表示对（x, y, z）运算,表示对（x, y, z）运算。
R | r r | ( x x )2 ( y y )2 ( z z )2
1 1 例3 求R, R, , , f ( R), f ( R) R R
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指向电位增加的方向。
图2
电位场的梯度
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产生场的场源所在的空间位置 点称为源点，记为 ( x, y, z)或r
场所在的空间位置点称为场点， 记为 ( x, y, z)或r 源点到场点的距离为 R | r r | 从源点指向场点的矢量为 R r r x
1 1 R r r 2 R 3 3 R R R | r r |
R R R
R R
1 R r r 3 R R | r r |3
df df R f ( R) f ( R)R R dR dR R df df R f ( R) f ( R)R R dR dR R
等温线分布
u u u ey ez 直角坐标系中 gradu u e x x y z u 1 u u gradu u e e ez 柱坐标系中 z u 1 u 1 u e e 球坐标系中 gradu u er r r r sin