高中数学第一章三角函数1.9三角函数的简单应用与基本关系教案北师大版必修4

三角函数的简单应用
整体设计
教学分析
我们已经知道周期现象是自然界中最常见的现象之一,三角函数是研究周期现象最重要的数学模型.在这一节,我们将通过实例,让同学们初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.
三角函数模型的简单应用的设置目的,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过例题及变式训练,循序渐进地从四个层次来介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的
应用.
通过引导学生解决有一定综合性和思考水平的问题,培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,包括建立有关数据的散点图,根据散点图进行函数拟合等.
三维目标
1.能正确分析收集到的数据,选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律,将实际问题抽象为三角函数有关的简单函数模型.
2.通过切身感受数学建模的全过程,体验数学在解决实际问题中的价值和作用,及数学与日常生活和其他学科的联系.认识数学知识在生产、生活实际中所发挥的作用.体会和感受数学思想的内涵及数学本质,逐步提高创新意识和实践能力.
3.通过实际问题的解决,提高数学建模能力.并在探究中激发学生的学习兴趣,培养锲而不舍的钻研精神,培养学生勇于探索、勤于思考的科学精神.
重点难点
教学重点:分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.
教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问
题.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路 1.(情境导入)既然大到宇宙天体的运动,小到质点的运动以及现实世界中具有周期性
变化的现象无处不在,那么究竟怎样用三角函数解决这些具有周期性变化的问题？它到底能发挥哪些作用呢？由此展开新课.
思路2.我们已经学习了三角函数的概念、图像与性质,特别研究了三角函数的周期性.在现实生活中,如果某种变化着的现象具有周期性,那么是否可以借助三角函数来描述呢？面临一个实际问题,应当如何选择恰当的函数模型来刻画它呢？以下通过几个具体例子来探究这种三角函数模型的简单应用.
推进新课
新知探究
提出问题
①回忆从前所学,指数函数、对数函数以及幂函数的模型都是常用来描述现实世界中的哪些规律的?又是怎样解决实际问题的?
②数学模型是什么,建立数学模型的方法是什么?
③上述的数学模型是怎样建立的?解决实际问题的一般程序是什么?
活动:师生互动,唤起回忆,充分复习前面学习过的建立数学模型的方法与过程,做好知识迁移的准备.对课前已经做好复习的学生给予表扬,并鼓励他们类比以前所学知识方法,继续探究新的数学模型.对还没有进入状态的学生,教师要帮助回忆并快速激起相应的知识方法.在教师的引导下,学生能够较好地回忆起解决实际问题的基本过程是:收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验→用函数模型解释实际问题.
这点很重要,学生只要有了这个认知基础,本节的简单应用便可迎刃而解.新课标下 的教学要求,不是教师给学生解决问题或带领学生解决问题,而是教师引领学生逐步登高,在合作探究中自己解决问题,探求新知.
讨论结果:①描述现实世界中不同增长规律的函数模型.解决的方法是首先建立数学模型. ②简单地说,数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括,再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时,所得出的关于实际问题的数学描述.数学模型的方法,是把实际问题加以抽象概括,建立相应的数学模型,利用这些模型来研究建立实际问题的一般数学方法. ③解决实际问题的一般程序是:
1°审题:逐字逐句的阅读题意,审清楚题目条件、要求,理解题目中的数量关系； 2°建模:分析题目变化趋势,选择适当函数模型；
3°求解:对所建立的数学模型进行分析研究得到数学结论；
4°还原:把数学结论还原为实际问题的解答.
提出问题
在自然界中,存在着大量的周期函数,两个周期函数合成后,是否还是周期函数呢?周期函数的类型是否发生了改变?比如:两个正弦电流i 1=3sin(100πt+3π
),i 2=4sin(100πt-6
π)合成后是否仍是正弦电流呢?类似地,两个声波和光波合成后又是怎样的?
活动:函数y=A 1sin(ω1x+θ),y=A 2sin(ω2x+φ)叠加后,即函数y=A 1sin(ω1x+θ)+A 2sin(ω2x+φ)是否仍是正弦型函数呢?若不是,需满足怎样的条件? 讨论结果:一,利用图形计算器或其他绘图工具绘制一些函数,如:y=sinx+3cosx,y=3sin2x+cosx,y=sinx+cosx,y=3sinx+4cosx,y=3sinx+cos3x,观察这些函数的图像,得出y=asin ω1x+bcos ω2x 仍是正弦型函数的条件.
二,下面用图形计算器或其他绘制函数工具研究函数y=asinx+bcosx 与化简后的正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的振幅,周期,初相与a,b 的联系.
三,通过实验验证你的猜想.可从具体函数入手,例如:先依据你猜测的函数类型,借助图形计算器或软件中测量等工具猜测出函数y=sinx+3cosx 解析式的化简形式.绘制它的图像,验证它是否与y=sinx+3cosx 的图像完全吻合.
四,请在上面实验或进一步猜测实验的基础上,尝试确定该类型函数中参量与y=asinx+bcosx 中a,b 的关系,得出三角式asinx+bcosx 的化简公式,这个公式在正弦电流,声波和光波的合成中经常用到.
五,请尝试证明你得出的化简公式,指出与其相关联的三角变换公式并说明两者间的联系. 六,试求前面提到的两正弦电流合成后的电流的振幅,周期,初相.
应用示例
例1 如图1,某地一天从6—14时的温度变化曲线近似满足函数y=sin(ωx+φ)+b.
图1
(1)求这一天的最大温差;
(2)写出这段曲线的函数解析式.
活动:这道例题是2002年全国卷的一道高考题,探究时教师与学生一起讨论.本例是研究温度随时间呈周期性变化的问题.教师可引导学生思考,本例给出模型了吗？给出的模型函数是什么？要解决的问题是什么？怎样解决？然后完全放给学生自己讨论解决.
题目已经给出了某个时间段的温度变化曲线这个模型.其中第(1)小题实际上就是求函数图像的解析式,然后再求函数的最值差.教师应引导学生观察思考:“求这一天的最大温差”实际指的是“求6时到14时这段时间的最大温差”,可根据前面所学的三角函数图像直接写出而不必再求解析式.让学生体会不同的函数模型在解决具体问题时的不同作用.第(2)小题只要用待定系数法求出解析式中的未知参数,即可确定其解析式.其中求ω是利用半周期(14-6),通过建立方程得解.
解:(1)由图可知,这段时间的最大温差是20 ℃.
(2)从图中可以看出,从6—14时的图像是函数y=Asin(ωx+φ)+b 的半个周期的图像, ∴A=
21(30-10)=10,b=21(30+10)=20. ∵21·ω
π2=14-6, ∴ω=8π
.将x=6,y=10代入上式,解得φ=4
3π. 综上,所求解析式为y=10sin(8πx+
4
3π)+20,x∈[6,14]. 点评:本例中所给出的一段图像实际上只取6—14即可,这恰好是半个周期,提醒学生注意抓关键.本例所求出的函数模型只能近似刻画这天某个时段的温度变化情况,因此应当特别注意自变量的变化范围,这点往往被学生忽略掉.
例2 (2007全国高考)函数y=|sinx|的一个单调增区间是( ) A.(-
4π,4π) B.(4π,43π) C.(π,23π) D.(2
3π,2π) 答案:C
例3 水车问题.
水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具,图2是一个水车工作的示意图,它的直径
为3 m,其中心(即圆心)O 距水面1.2m,如果水车逆时针匀速旋转,旋转一圈的时间是3
4min.在水车轮边缘上取一点P,点P 距水面的高度为h(m).
图2
(1)求h 与时间t 的函数解析式,并作出这个函数的简图.
(2)讨论如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少时,所求得的函数解析式中的参数将会发生哪些变化.若水车转速加快或减慢,函数解析式中的参数又会受到怎样的影响?
活动与解答:不妨设水面的高度为0,当P 点旋转到水面以下时,P 点距水面的高度为负值.显然,h 与t 的函数关系是周期函数的关系.
如图2,设水车的半径为R,R=1.5 m;水车中心到水面的距离为b,b=1.2 m;∠QOP 为α;水车旋转一圈所需的时间为T;由已知T=
34(min)=80(s),单位时间(s)旋转的角度(rad)为ω,ω=T π2=40
πrad/s. 为了方便,不妨从P 点位于水车轮与水面交点Q 时开始计时(t=0),在t 时刻水车转动的角度为α,如图2所示,∠QOP=α=ωt=40
π
t(rad). 过P 点向水面作垂线,交水面于M 点,PM 的长度为P 点的高度h.过水车中心O 作PM 的垂线,交PM 于N 点,∠QON 为φ.
从图中不难看出:
h=PM=PN+NM=Rsin(α-φ)+b.①
这是一个由三角函数确定的数学模型. 从图中可以看出:sin φ=
5
.12.1,所以φ≈53.1°≈0.295π rad. 把前面已经确定了的参数α,φ,R 和b 代入①式,我们就可以得到 h=1.5 sin(40
πt-0.295π)+1.2(m).② 这就是P 点距水面的高度h 关于时间t 的函数解析式.
因为当P 点旋转到53.1°时,P 点到水面的距离恰好是1.2(m),
此时t=
360801.53⨯≈11.8(s),故可列表,描点,画出函数在区间［11.8,91.8］上的简图(如图
如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少,将造成水车中心O 与水面距离的改变,而使函数解析式中所加参数b 发生变化.水面上涨时参数b 减小;水面回落时参数b 增大.如果水车轮转速加快,将使周期T 减小,转速减慢则使周期T 增大.
点评:面对实际问题建立数学模型,是一项重要的基本技能.这个过程并不神秘,就像这个例题,把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程是很自然的. 知能训练
1.发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数,I a =Isin ωt,I b =Isin(ωt+120°),I c =Isin(ωt+240°).则I a +I b +I c =___________. 答案:0
2.图4是一个单摆的振动图像,据图像回答下列问题:
图4
(1)单摆振幅多大;
(2)振动频率多高;
(3)摆球速度首次具有最大负值的时刻和位置;
(4)摆球运动的加速度首次具有最大负值的时刻和位置;
(5)若当g=9.86 m/s 2,求摆线长.
解:结合函数模型和图像:
(1)单摆振幅是1 cm;
(2)单摆的振动频率为1.25 Hz;
(3)单摆在0.6 s 通过平衡位置时,首次具有速度的最大负值;
(4)单摆在0.4 s 时在正向最大位移处,首次具有加速度的最大负值;
(5)由单摆振动的周期公式T=2πg L ,可得L=2
24πgT =0.16 m. 点评:解决实际问题的关键是要归纳出数学函数模型,然后按数学模型处理.同时要注意检验,使所求得的结论符合问题的实际意义.
课堂小结
1.本节课我们学习了三个层次的三角函数模型的应用,即根据图像建立解析式,根据解析式作出图像,将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型.你能概括出建立三角函数模型解决实际问题的基本步骤吗？
2.实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多学科的知识才能解决它.因此,在应用数学知识解决实际问题时,应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系,还要调动相关学科知识来帮助理解问题.
作业
图5表示的是电流I 与时间t 的函数关系I=Asin(ωx+φ)(ω＞0,|φ|＜
2π)在一个周期内
的图像.
图5
(1)根据图像写出I=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)为了使I=Asin(ωx+φ)中的t 在任意一段
1001s 的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值,那么正整数ω的最小值为多少?
解:(1)由图知A=300,第一个零点为(－
3001,0),第二个零点为(1501,0), ∴ω·(－300
1)+φ=0,ω·1501+φ=π. 解得ω=100π,φ=
3π.∴I=300sin(100πt+3π). (2)依题意有T≤1001,即ωπ2≤100
1, ∴ω≥200π.故ωmin =629.
设计感想
1.本教案设计指导思想是:充分唤起学生已有的知识方法,调动起学生相关学科的知识,尽量降低实例背景的相对难度,加大实际问题的鲜明、活跃程度,以引发学生探求问题的兴趣.
2.应用三角函数模型解决问题,首先要把实际问题抽象为数学问题,确定它的周期,从而建立起适当三角函数模型.如果学生选择了不同的函数模型,教师应组织学生进行交流,或让学生根据自己选择的模型进行求解,然后再根据所求结果与实际情况差异进行评价.
3.由于实际问题常常涉及一些复杂数据,因此要鼓励学生利用计算机或计算器处理数据,有条件的要用多媒体进行动态演示,以使学生有更多的时间用于对问题本质的理解.
备课资料
一、备用习题
1.图8是周期为2π的三角函数y=f(x)的图像,那么f(x)可写成( )
图8
A.sin(1+x)
B.sin(－1－x)
C.sin(x －1)
D.sin(1－x)
2.函数y ＝x+sin|x|,x∈[－π,π]的大致图像是图9中的( )
图9
3.一束光线与玻璃成45°角,穿过折射率为1.5,厚度为1 cm 的一块玻璃,那么光线在玻璃内的行程是多少?(折射率=β
αsin sin ,其中α为入射角,β为折射角) 参考答案:
1.D
2.C
3.解:如图10所示,α=45°, ∴1.5=β
sin 45sin
,得sin β=32,cos β=0.881 9. 而cos β=
AB
AB AD 1=, ∴AB=1.134(cm),
即光线在玻璃中的行程为1.134 cm.
图10
二、驾驭着波峰的数学
如果你是冲浪运动员,你知道有时难以预料何时浪会升起.有时浪在岸边完整地出现,但是当你进入水中时,它已经消失了,因此你就得等待完整波的到来,有时似乎要好几小时.在另外一些时候,完整波一个接一个地来到,可有许多个供你选择.不用说,波理论和波活动性是一个复杂的系统,许多因素影响着和创造着海浪.风、地震、船的尾波,当然还有月亮和太阳所产生的引起潮汐的万有引力,都扰动着海洋,使海浪在水面上行动.当有多重的扰动或因素互相作用时,这些波动形式多少有点随机性.19世纪初,对海浪在数学上开展了很多研究.在海上和受控制的实验室中所作的观测,帮助科学家们获得了有趣的结论.1802年在捷克斯洛伐克,弗朗兹·格特纳开始提出最早的波理论.在他的观测中,他记录着波中水粒是如何做圆周运动的.位于波峰(最高点)的水的运动方向与波相同,位于波谷(最低点)的水的运动方向则相反.在水面上,每一水粒都沿着圆形轨道运动,然后回到原位.圆的直径被发现等于波的高度.水的整个深度中水粒都在生成圆,但水粒愈深,它的圆愈小.事实上,人们发现在相当于波长(两个相邻峰之间的水平距离)的9
1的深度,圆形轨道的直径大约是水面上水粒的圆形轨道的直径的一半.
因为波浪与这些圆周运动的水粒有关,并且因为正弦曲线和摆线也与转动着的圆有关,
这些数学曲线和它们的方程被用来描述海洋波浪就不足为奇了.但是人们发现,波浪既不是严格的正弦曲线,也不是任何别的纯粹的数学曲线.水的深度、风的强度和潮汐只是在描述波浪时必须考察的变量中的几个而已.今天研究波浪时,用到了概率,统计学这些数学工具.人们考察了大量小波,并依据所收集到的数据提出预测.。