2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学二模试卷(学生版+解析版)

2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学二模试卷
一、选择题（共10题，每小题3分，计30分）
1．（3分）9的值是( )
A ．3
B ．5-
C ．3
D ．3±
2．（3分）2020年，面对严峻复杂的国内外环境特别是新冠肺炎疫情的严重冲击，我国统筹推进疫情防控和经济社会发展工作，经济运行稳定恢复，就业民生保障有力，经济社会发展主要目标任务完成，情况均好于预期．国内生产总值达到了1016000亿元人民币，将数字1016000用科学记数法表示为( )
A ．61.01610⨯
B ．51.01610⨯
C ．610.1610⨯
D ．510.1610⨯
3．（3分）正比例函数2y x =的图象经过点(3,)A m ，(2,)B n -，则m 与n 的大小关系是( )
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．无法确定
4．（3分）如图，直线//m n ，直线AB 分别与直线m ，n 交于A ，B 两点，BAD ∠的平分线交直线n 于点C ，若156∠=︒，则2∠的度数是( )
A ．108︒
B ．112︒
C ．118︒
D ．124︒
5．（3分）下列运算正确的是( )
A ．235a a a +=
B ．222()2a b a ab b --=++
C ．23()3a b ab ab -÷=-
D ．236()b b -=
6．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，2AD =，5CE =，则(CD = )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．23 7．（3分）将一次函数24y x =+的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8．（3分）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，若4AE =，2DE =，25AB =，则AC 的长为( )
A ．32
B ．42
C ．52
D ．522
9．（3分）如图，BD 是O 的直径，点A ，C 在O 上，AB AD =，AC 交BD 于点G ．若126COD ∠=︒，则AGB ∠的度数为( )
A ．99︒
B ．108︒
C ．110︒
D ．117︒
10．（3分）抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230(x bx t t ++-=为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是( )
A ．211t <
B ．2t
C ．611t <<
D ．26t <
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小：32 4．
12．（3分）如图，在正六边形ABCDEF 中，连接AC ，AD ，则CAD ∠的度数是 ．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线
4
(0) y x
x
=>
与矩形OABC的AB边交于点E，且:1:2
AE EB=，则矩形OABC的面积为．
14．（3分）如图，正方形ABCD中，423
AD=+，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将ADE
∆沿DE对折，点A的对应点为P，当PA PB
=时，则线段AE=．
三、解答题（共11小题，计78分）
15．（5分）解不等式组：
10
2
1
32
x
x x
-
⎧
⎪
+
⎨
-<
⎪⎩
．
16．（5分）先化简，再求值：
2
2
(1)
121
x x
x
x x x
--÷
+++
，其中3
x=．
17．（5分）如图，已知ABC
∆，P为AB上一点，请用尺规作图的方法在AC上找一点Q，使得AQ PQ AC
+=（保留作图痕迹，不写作法）．
18．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，且B AEB
∠=∠．求证：AC DE
=．
19．（7分）为了进一步提高中学生的交通安全意识、文明意识，为“创建文明城市”工作的开展营造浓厚的宣传氛围，某区创新宣传方式，组织学生利用“参观体验+知识竞赛”新模式开展安全宣传活动，并取得了良好的效果．赛后区团委随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理后按分数分组如下：.6070A x <，.7080B x <，.8090C x <，.90100D x ，并绘制出不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；
（2）这次竞赛成绩的中位数落在 组（填写字母）；
（3）某区共有2万名中学生，若竞赛成绩在80分以上（包括80分）为“优”，请你估计该区竞赛成绩为“优”的学生有多少人？
20．（7分）如图1，是一把躺椅的实物图，图2是躺椅支架的侧面放大示意图，BAC ∠是一个可调节的角，小何通过调节BAC ∠的角度使人躺着更舒适，经测量：当58ABC ∠=︒，32ACB ∠=︒时，BAC ∠达到最佳角度，为了固定此时BAC ∠的度数，需要在BAC ∠内部加一支架DE ，且12AD BD =，12
AE CE =，已知20AD cm =，求支架DE 的长（结果精确到1)cm ．（参考数据：sin580.85︒≈；cos580.53︒≈；tan58 1.06︒≈；sin320.53︒≈；cos320.85︒≈；tan320.62)︒≈
21．（7分）为了更新学校教学设备，某校计划购买A 、B 两种型号的电脑共21台．已知A 型电脑每台4500元，B 型电脑每台3500元．设购买B 型电脑x 台，购买两种型号的电脑共需要费用y 元．
（1）求y 与x 之间的函数关系式
（2）若购买B 型电脑的数量少于A 型电脑的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
22．（7分）大明宫国家遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，其地处长安城（今西安）北部的龙首原上，始建于唐太宗贞观八年(634年）．小东周末乘坐公交车到遗址公园游玩，他从地图上查找路线时发现必须要换乘一次．在出发站点可供选择的有一辆空调车和两辆普通车，空调车用A 表示，普通车分别用a 、b 表示，换乘站点可供选择的也有一辆空调车和两辆普通车，空调车用B 表示，普通车分别用c 、d 表示．并且每辆车被选择的可能性相同．空调车投币2元，普通车投币1元（假设小东坐公交车时都选择投币）．
（1）小东在出发站点乘坐普通车的概率为 ．
（2）请你用列表或画树状图的方法，求小东到达遗址公园恰好投币3元的概率．
23．（8分）如图，ABD ∆内接于O ，过点A 的切线交BD 的延长线于点C ，E 是O 上一点，且DE DA =，连接AE 交BD 于点F ．
（1）求证：AD 平分EAC ∠；
（2）若8AE =，3tan 4
E =，求BD 的长．
24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线21:6C y ax bx =+-经过点(3,0)A -和
点(1,0)-，顶点为D ．
（1）求抛物线1C 的函数表达式及点D 的坐标；
（2）将抛物线1C 绕坐标轴上一点P 旋转180︒得到抛物线2C ，点A 、D 的对应点分别为A '、
D '，是否存在以AD 为边，且以A 、D 、A '、D '为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出抛物线2C 的函数表达式，若不存在，请说明理由．
25．（12分）问题探究
（1）如图①，在四边形ABCD 中，//AD BC ，4AB AC ==，90BAC ∠=︒，则BCD ∆的面积为 ．
（2）如图②，在矩形ABCD 中，30AB =，40BC =，点P 在矩形内部，若PBC ∆的面积是矩形ABCD 面积的16
，求PB PC +的最小值． （3）如图③，四边形ABCD 为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P ，连接AP 、CP ，使得AP 、CP 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着AP 、CP 修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望AP CP +最小．以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：(2,4)A ，(6,0)C ，(5,3)D ，请探究是否存在满足要求的点P ，若存在，请在图中作出点P ，并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
2021年陕西省西安市雁塔区高新一中中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10题，每小题3分，计30分）
1．（3分）9的值是( )
A ．3
B ．5-
C ．3
D ．3±
【解答】解：2933==．
故选：A ．
2．（3分）2020年，面对严峻复杂的国内外环境特别是新冠肺炎疫情的严重冲击，我国统筹推进疫情防控和经济社会发展工作，经济运行稳定恢复，就业民生保障有力，经济社会发展主要目标任务完成，情况均好于预期．国内生产总值达到了1016000亿元人民币，将数字1016000用科学记数法表示为( )
A ．61.01610⨯
B ．51.01610⨯
C ．610.1610⨯
D ．510.1610⨯
【解答】解：61016000 1.01610=⨯．
故选：A ．
3．（3分）正比例函数2y x =的图象经过点(3,)A m ，(2,)B n -，则m 与n 的大小关系是( )
A ．m n >
B ．m n <
C ．m n =
D ．无法确定
【解答】解：正比例函数2y x =中的20k =>，
y ∴随x 的增大而增大，
图象经过点(3,)A m ，(2,)B n -，且32>-，
m n ∴>，
故选：A ．
4．（3分）如图，直线//m n ，直线AB 分别与直线m ，n 交于A ，B 两点，BAD ∠的平分线交直线n 于点C ，若156∠=︒，则2∠的度数是( )
A ．108︒
B ．112︒
C ．118︒
D ．124︒
【解答】解：//m n ，
132∴∠+∠=∠，
156∠=︒， 124BAD ∴∠=︒， AC 平分DAB ∠，
362∴∠=︒，
135662118∴∠+∠=︒+︒=︒，
2118∴∠=︒，
故选：C ．
5．（3分）下列运算正确的是( )
A ．235a a a +=
B ．222()2a b a ab b --=++
C ．23()3a b ab ab -÷=-
D ．236()b b -=
【解答】解：A 、23a a +，不是同类项，无法合并，故此选项错误； B 、222()2a b a ab b --=++，故此选项正确；
C 、23()3a b ab a -÷=-，故此选项错误；
D 、236()b b -=-，故此选项错误；
故选：B ．
6．（3分）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD 为AB 边上的高，CE 为AB 边上的中线，2AD =，5CE =，则(CD = )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．23 【解答】解：在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，C
E 为AB 边上的中线，5CE =， 5AE CE ∴==，
2AD =，
3DE ∴=，
CD 为AB 边上的高，
∴在Rt CDE ∆中，2222534CD CE DE =-=-=，
故选：C ．
7．（3分）将一次函数24y x =+的图象向右平移后所得直线与坐标轴围成的三角形面积是9，则平移距离是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【解答】解：设平移的距离为(0)k k >，则将一次函数24y x =+向右平移后所得直线解析式为：2()4224y x k x k =-+=-+．
易求得新直线与坐标轴的交点为(2,0)k -、(0,24)k -+
所以，新直线与坐标轴所围成的三角形的面积为：1(2)(24)92
k k ⋅-⋅-+=， 解得5k =或1-（舍去）．
故选：B ．
8．（3分）如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，过点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，若4AE =，2DE =，25AB =，则AC 的长为( )
A ．32
B ．42
C ．52
D 522
【解答】解：连接CE ，
四边形ABCD 是平行四边形，
AO CO ∴=，25CD AB ==，
OE AC ⊥， OE ∴垂直平分AC ，
4CE AE ∴==，
2DE =，
22222242(25)CE DE CD ∴+=+==，
90CED ∴∠=︒，
90AEC ∴∠=︒，
AEC ∴∆是等腰直角三角形，
242AC AE ∴==，
故选：B ．
9．（3分）如图，BD 是O 的直径，点A ，C 在O 上，AB AD =，AC 交BD 于点G ．若126COD ∠=︒，则AGB ∠的度数为( )
A ．99︒
B ．108︒
C ．110︒
D ．117︒
【解答】解：BD 是O 的直径，
90BAD ∴∠=︒，
AB AD =，
45B D ∴∠=∠=︒，
111266322
DAC COD ∠=∠=⨯︒=︒， 6345108AGB DAC D ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．
故选：B ．
10．（3分）抛物线23y x bx =++的对称轴为直线1x =．若关于x 的一元二次方程230(x bx t t ++-=为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是( )
A ．211t <
B ．2t
C ．611t <<
D ．26t < 【解答】解：
23y x bx =++的对称轴为直线1x =，
2b ∴=-， 223y x x ∴=-+，
∴一元二次方程230x bx t ++-=的实数根可以看做223y x x =-+与函数y t =的图象有交点，
方程在14x -<<的范围内有实数根，
当1x =-时，6y =；
当4x =时，11y =；
函数223y x x =-+在1x =时有最小值2；
211t ∴<．
故选：A ．
二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）
11．（3分）比较大小： 4．
【解答】解：=4
，
4∴>．
故答案为：>．
12．（3分）如图，在正六边形ABCDEF 中，连接AC ，AD ，则CAD ∠的度数是 30︒ ．
【解答】解：如图，
正六边形的每个内角为：(62)1801206-⨯︒=︒， 180120302
BAC ︒-︒∴∠==︒， 六边形是轴对称图形，
120602
BAD ︒∴∠==︒， 30CAD BAD BAC ∴∠=∠-∠=︒．
故答案为：30︒．
13．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线4(0)y x x
=>与矩形OABC 的AB 边交于点E ，且:1:2AE EB =，则矩形OABC 的面积为 12 ．
【解答】解：四边形OABC 是矩形，
90OAB ∴∠=︒，
设E 点的坐标是(,)a b ，
双曲线4(0)y x x
=>与矩形OABC 的AB 边交于点E ，且:1:2AE EB =， 4ab ∴=，AE a =，2BE a =，
OA b ∴=，3AB a =，
∴矩形OABC 的面积是333412AO AB b a ab ⨯===⨯=，
故答案为：12．
14．（3分）如图，正方形ABCD 中，423AD =+，已知点E 是边AB 上的一动点（不与A 、B 重合）将ADE ∆沿DE 对折，点A 的对应点为P ，当PA PB =时，则线段AE = 2 ．
【解答】解：如图，过点P 作MN AB ⊥于N ，交CD 于M ，
四边形ABCD 是正方形，
423AB CD AD ∴===+//CD AB ，
MN AB ⊥，
MN CD ∴⊥，
∴四边形ADMN 是矩形，
423MN AD ∴==+
由折叠可知：423AD DP ==+AE PE =，
PA PB =，
MN ∴是AB 的垂直平分线，
23DM CM ∴==23AN NB ==
2222(423)(23)233MP DP DM ∴=-=+-+，
1PN ∴=，
222
PE PN EN
=+，
22
1(23) AE AE
∴=++-，
2
AE
∴=，
故答案为2．
三、解答题（共11
小题，计78分）
15．（5分）解不等式组：
10
2
1
32
x
x x
-
⎧
⎪
+
⎨
-<
⎪⎩
．
【解答】解：解不等式10
x-，得：1
x，
解不等式
2
1
32
x x
+
-<，得：2
x>-，
则不等式组的解集为21
x
-<．
16．（5分）先化简，再求值：
2
2
(1)
121
x x
x
x x x
--÷
+++
，其中3
x=．
【解答】解：
2
2
(1)
121
x x
x
x x x
--÷
+++
22
(1)(1)(1)
[]
11
x x x x
x x x
-++
=-⋅
++
222
1(1)
1
x x x
x x
--+
=⋅
+
1
x
x
+
=-，
当3
x=时，原式
314
33
+
=-=-．
17．（5分）如图，已知ABC
∆，P为AB上一点，请用尺规作图的方法在AC上找一点Q，使得AQ PQ AC
+=（保留作图痕迹，不写作法）．
【解答】解：如图，点Q即为所求．
18．（5分）如图，在平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，
且B AEB ∠=∠．求证：AC DE =．
【解答】证明：四边形ABCD 为平行四边形，
//AD BC ∴，AD BC =，
DAE AEB ∴∠=∠，
AEB B ∠=∠，
AB AE ∴=，
B DAE ∴∠=∠．
在ABC ∆和AED ∆中，
AB AE B DAE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
ABC EAD ∴∆≅∆，
AC DE ∴=．
19．（7分）为了进一步提高中学生的交通安全意识、文明意识，为“创建文明城市”工作的开展营造浓厚的宣传氛围，某区创新宣传方式，组织学生利用“参观体验+知识竞赛”新模式开展安全宣传活动，并取得了良好的效果．赛后区团委随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理后按分数分组如下：.6070A x <，.7080B x <，.8090C x <，.90100D x ，并绘制出不完整的统计图．请你根据以上提供的信息，解决下列问题：
（1）补全频数分布直方图和扇形统计图；
（2）这次竞赛成绩的中位数落在C组（填写字母）；
（3）某区共有2万名中学生，若竞赛成绩在80分以上（包括80分）为“优”，请你估计该区竞赛成绩为“优”的学生有多少人？
【解答】解：（1）本次调查的学生有：36040%900
÷=（人)，
A组学生有：90027036018090
---=（人)，
B组所占的百分比为：270900100%30%
÷⨯=，
补全的补全频数分布直方图和扇形统计图如右图所示；
（2）由统计图可知，
这次竞赛成绩的中位数落在C组，
故答案为：C；
（3）20000(40%20%)12000
⨯+=（人)，
即估计该区竞赛成绩为“优”的学生有12000人．
20．（7分）如图1，是一把躺椅的实物图，图2是躺椅支架的侧面放大示意图，BAC
∠是一个可调节的角，小何通过调节BAC
∠的角度使人躺着更舒适，经测量：当58
ABC
∠=︒，32
ACB
∠=︒时，BAC
∠达到最佳角度，为了固定此时BAC
∠的度数，需要在BAC
∠内部加
一支架DE，且
1
2
AD BD
=，
1
2
AE CE
=，已知20
AD cm
=，求支架DE的长（结果精确到
1)
cm．（参考数据：sin580.85
︒≈；cos580.53
︒≈；tan58 1.06
︒≈；sin320.53
︒≈；cos320.85
︒≈；tan320.62)
︒≈
【解答】解：过D 作DM BC ⊥于M ，过E 作EN BC ⊥于N ，
则//DM EN ，90DMN ∠=︒， 12AD BD =，12
AE CE =， //DE BC ∴，13
DE BC =，240()BD AD cm ==， ∴四边形DMNE 是平行四边形，
∴四边形DMNE 是矩形，
DE MN ∴=，DM EN =，
在Rt BDM ∆中，
sin 40sin58400.8534()DM BD B cm =⋅∠=︒≈⨯=，cos58400.5321.2()BM BD cm =⋅≈⨯=， 34()EN cm ∴=，
在Rt BDM ∆中，
tan tan32EN C CN
∠=︒=， 即340.62CN
≈， 54.84CN ∴=， 13
DE BC =， 13
MN BC ∴=， 11()(21.254.84)33
MN BM CN MN MN ∴=++=++， 38()DE cm ∴≈，
答：支架DE 的长约为38cm ．
21．（7分）为了更新学校教学设备，某校计划购买A 、B 两种型号的电脑共21台．已知A 型电脑每台4500元，B 型电脑每台3500元．设购买B 型电脑x 台，购买两种型号的电脑共需要费用y 元．
（1）求y 与x 之间的函数关系式
（2）若购买B 型电脑的数量少于A 型电脑的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【解答】解：（1）由题意，得：4500(21)3500100094500y x x x =-+=-+，
（2）由题意，得：21x x <-，
解得10.5x <，
由100094500y x =-+，
10000-<，
y ∴随x 的增大而减小，
10.5x <且x 为整数，
∴当10x =时，y 有最小值，1000109450084500y =-⨯+=最小，
此时21211011x -=-=，
答：购买A 型电脑10台，B 型电脑11台，费用最省，所需费用为84500元．
22．（7分）大明宫国家遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，其地处长安城（今西安）北部的龙首原上，始建于唐太宗贞观八年(634年）．小东周末乘坐公交车到遗址公园游玩，他从地图上查找路线时发现必须要换乘一次．在出发站点可供选择的有一辆空调车和两辆普通车，空调车用A 表示，普通车分别用a 、b 表示，换乘站点可供选择的也有一辆空调车和两辆普通车，空调车用B 表示，普通车分别用c 、d 表示．并且每辆车被选择的可能性相同．空调车投币2元，普通车投币1元（假设小东坐公交车时都选择投币）．
（1）小东在出发站点乘坐普通车的概率为 23
．
（2）请你用列表或画树状图的方法，求小东到达遗址公园恰好投币3元的概率．
【解答】解：（1）小东在出发站点乘坐普通车的概率为2
3
，
故答案为：2
3
；
（2）画树状图如图：
共有9个等可能的结果，小东到达遗址公园恰好投币3元的结果有5个，
∴小东到达遗址公园恰好投币3元的概率为5
9
．
23．（8分）如图，ABD
∆内接于O，过点A的切线交BD的延长线于点C，E是O上一点，且DE DA
=，连接AE交BD于点F．
（1）求证：AD平分EAC
∠；
（2）若8
AE=，
3
tan
4
E=，求BD的长．
【解答】解：（1）证明：
AC是切线，AB是直径．
90
BDA BAC
∴∠=∠=︒．
90
BAD DBA
∴∠+∠=︒，90
BAD DAC
∠+∠=︒．B
∠、E
∠所对AD．
B E
∴∠=∠．
DE DA
=．
E EAD
∴∠=∠．
90
BAD EAD
∴∠+∠=︒．
EAD DAC
∴∠=∠．
AD
∴平分EAC
∠．
（2）作DH AE ⊥于点H ，如图：
DE DA =，8AE =．
4AH HE ∴==．
tan 3HD E HE =∠⋅=，
5AD ∴=．
在Rt ABD ∆中．tan tan B E ∠=∠． 20tan 3
AD BD B ∴==∠． 24．（10分）如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线21:6C y ax bx =+-经过点(3,0)A -和点(1,0)-，顶点为D ．
（1）求抛物线1C 的函数表达式及点D 的坐标；
（2）将抛物线1C 绕坐标轴上一点P 旋转180︒得到抛物线2C ，点A 、D 的对应点分别为A '、D '，是否存在以AD 为边，且以A 、D 、A '、D '为顶点的四边形是矩形？若存在，请求出抛物线2C 的函数表达式，若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）
26y ax bx =+-经过点(3,0)A -和点(1,0)-， ∴936060a b a b --=⎧⎨
--=⎩， 解得28a b =-⎧⎨=-⎩
， ∴抛物线1C 的解析式为2286y x x =---，顶点(2,2)D -．
（2）如图1中，当点P 在x 轴上时，设(,0)P m ．
当AP PD =时，四边形AD A D ''是矩形，
(3,0)A -，(2,2)D -， 223(2)2m m ∴+=++，
解得12
m =-， 1(2
P ∴-，0)， PD PD ='，
(1,2)D ∴'-，
∴旋转后抛物线2C 的解析式为22(1)2y x =--，即224y x x =-．
如图2中，当点P 在y 轴上时，设(0,)P n ．
当PA PD =时，四边形AD A D ''是矩形，
222232(2)n n ++-
解得14
n =-， 1(0,)4
P ∴-， PD PD ='，
5(2,)2D ∴'-， ∴旋转的抛物线2C 的解析式为252((2)2y x =--，即211282
y x x =-+， 综上所述，满足条件的抛物线的解析式为：224y x x =-或211282y x x =-+
． 25．（12分）问题探究
（1）如图①，在四边形ABCD 中，//AD BC ，4AB AC ==，90BAC ∠=︒，则BCD ∆的面积为 8 ．
（2）如图②，在矩形ABCD 中，30AB =，40BC =，点P 在矩形内部，若PBC ∆的面积是矩形ABCD 面积的16
，求PB PC +的最小值． （3）如图③，四边形ABCD 为公园中的一片花圃，现计划在四边形内找一点P ，连接AP 、CP ，使得AP 、CP 将四边形ABCD 分成面积相等的两部分，分别用于种植两种不同品种的花，同时沿着AP 、CP 修一条观赏的道路．为了降低成本，公园管理人员希望AP CP +最小．以B 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，建立如图③所示的平面直角坐标系，根据测量的数据可得：(2,4)A ，(6,0)C ，(5,3)D ，请探究是否存在满足要求的点P ，若存在，请在图中作出点P ，并求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）4AB AC ==，90BAC ∠=︒．
4428ABC S ∆∴=⨯÷=，
//AD BC ，
∴点A 和点D 到BC 的距离相等，
8BCD BCA S S ∆∆∴==．
故答案为：8．
（2）过点P 作//EF BC ，分别交AB 、CD 于点E 和H ，
ABCD 为矩形，30AB =，40BC =，
∴当16PBC ABCD S S ∆=矩形时，1126
BC EB AB BC ⨯=⨯， 10EB ∴=，
取AE 的中点F ，作//FG BC ，
则点E 、F 为AB 的三等分点，B 、F 关于EH 对称，
由对称可得：FP BP =，
BP CP FP PC ∴+=+，
当点F 、P 、C 三点在同一条直线上时值最小．
连接CF 交EH 于点P ，
此时BP CP +最小22224020205FP PC FC BC FB =+==+=+=．
（3）如图，连接AC 、BD ，取BD 的中点J ，连接AJ 、CJ ，作//JE AC ，作点C 关于直线JE 的对称点C '，连接AC '交直线JE 于点P ，连接CP ，则此时PA PC +的值最小，且折线AP ，PC 把四边形ACD 的面积分成相等的两部分，
点J 是BD 的中点， ∴53
(,)22
J ， 由(2,4)A 、(6,0)C 得到：直线AC 的解析式：6y x =-+， 设直线:JE y x m =-+，将点J 代入得： 3522
m =-+， 解得：4m =， ∴直线:4JE y x =-+， 点C 和C '关于直线JE 对称， ∴点C '坐标为：(4,2)-， 由A 、C '两点可得：直线AC '的解析式为：310y x =-+，
将直线AC '和JE 联立成方程组得：3104
y x y x =-+⎧⎨=-+⎩， 解得：31x y =⎧⎨=⎩
， ∴存在满足要求的点P ，坐标为：(3,1)．。