数值计算方法第二章

a12 a22 (2) 0 0
a13 a23(2) a33(3) 0
a1n a2 n (2) (3) a3n A( n ) 0 ann ( n )
(2) (3) (k) ( n) 关键a11 , a22 , a33 ,, akk , ann 0 可用归纳法说明！ :
第一部分 直接解法 Gauss主元素消去法
矩阵的三角分解法
平方根法与改进6 12 x1 3x2 3x3 15 18 x 3 x x 15 1 2 3
解：
先消后两个方程的x1,得同解方程组
x1 x2 x3 6 15 x2 9 x3 57 21x2 17 x3 93
a2 n (2) ( k 1) ak 1,k ( k 1) ann a1n
det Ai( k 1) 0,(i 1, 2,, n 1) 且
由数学归纳法，存在初等方阵L1,L2,…,Ln-1, 使得
A( n)
a11 a12 a22 (2) Ln1 L2 L1 A 0 a13 ak ,k ( k ) a1n a2 n (2) ak ,n ( k ) (n) an ,n
选取 的
下面举例来说明高斯消 去法。
例1 用高斯消去法解方程组
1 2 3 x1 14 0 1 2 x 8 2 2 4 1 x3 13
解 对增广矩阵进行初等变 换
14 1 2 3 14 1 2 3 0 1 2 8 r0 1 2 ( 2 ) r 8 2 4 1 13 0 0 5 15
u12 u22

1 ln 2
u1n u2 n unn
说明
目的
a11 a 21 A a31 an1 a12 a22 a32 an 2 a13 a1n a11 0 a23 a2 n a33 a3 n 0 an 3 ann 0
3 1
得同解方程组
x1 2 x2 3 x3 14 x2 2 x3 8 5 x3 15
由此可以解得
x1 1, x2 2, x3 3
若采用高斯消去法的一 种修正，即消去 对角线下方和上方的元 素，就可以避免回代 过程，这种方法称为高 斯 — 若当消去法， 主对角线上的元素 akk 称为主元。
最后利用回代可得
x1 1 x2 1 x 2 3
直接三角法
高斯消去法矩阵形式
用矩阵形式表高斯消去法----是对方程组（2-1） 的增广矩阵[A,b] 进行一系列初等行初等变换，将系 数矩阵A化为上三角阵的过程，等价于初等矩阵去左 乘增广矩阵[A,b]。 如：第一次消元等价用初等矩阵 1 l 21 1 L1 l 31 1 l 1 n1
(k )
在这种按顺序消元的过 程中，可能会出 现以下两个问题：
(1)一旦遇到某个主元为 0，则消元过程 将无法进行；
（2）即使主元不为 0，但与该主元所在 列的对角线以下的各元 素比较，它的绝对值 很小（小主元），尽管 消去运算可以进行， 但用其做除数，其小小 的舍入误差，就会引 起计算结果的严重扩散 与失真。
因此，我们常采用另一 种方法： 列主元消去法。
例2
求解线性方程组
2 x1 5 2 1 5 1 1 x 8 2 1 3 4 x3 4
解： 方程组的增广矩阵为
2 5 2 1 5 1 1 8 1 3 4 4
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
第k步：(k=1,2,---,n)设第k-1次消元完成后得 方程组（2-1）同解方程组为
(二)主元素法
主元素法---通过交换方程的持续，选取绝 对值大的元素为主元所导出的方法。
列主元素法 用（2-1）的增广矩阵
1、
a11 a 21 [ A, b] a n1
a12 a 22 an2

a1n a2n a nn
b1 b2 bn
x3 3,
再消最后一个方程的，又得同解方程组
x1 x2 x3 6 15 x2 9 x3 57 22 66 x3 5 5
它是上三角方程组x2 ，易求得
x3 3,
x2 2,
x1 1.
（一）高斯消去法 1、高斯消去法—化线性方程组为等价 的上三角线性方程组。 一般求解n阶线性方程组
A xb
(k )
(k )
a
(k ) kk
0, lik a / a , (i k 1,, n)
(k ) ik (k ) kk
将（2-2）第i个方程减去第k个方程乘 lik ， 完成第k次消元, 同解方程组为
最后化成同解的上三角方程组
(1 (1 a11) x1 a12) x 2 a1(1) x k a1(1) x n b1(1) k n (2 ( ( a 22 ) x 2 a 22) x k a 22) x n b2( 2) k n (k (k a kk ) x k a kn ) x n bk( k ) (n a nn ) x n bn( n )
b (1) 1 ( 2) b 2 ( 2) b n
重复下去可的上三角形，最后回代求解。
全主元素法
1、步骤为：将矩阵（2-6）的中全体系数中 a
(k ) ij
(1 绝对值大的元素 a ij max a ij 为主元交换到 a11) 位置， 再进行一次消元，得增广矩阵 [ A( 2) , b ( 2) ] ，重复下去可的 上三角形，最后回代求解。
左乘上
[A
(1)
,b
(1)
1 (1 [ A, b],li1 ai(1 ) / a11) (i 2,3,, n) ]
( 2)
A
, b ( 2) L1 A(1) , b (1)



重复下去可的上三角形,易求得
[ A , b ] [ A(1) , b(1) ] L11L22 L1n1[ A(1) , b(1) ]
[ A , b ] [ LA( n) , Lb( n) ]
2、杜利特尔（Doolittle)分解 定理1、设A为n阶方阵，若A的顺序主
子式Ai均不为零，则矩阵A存在唯一 的杜利特尔分解（LU分解）。
1 l21 A aij nn ln1 u11 1
设k-1成立, 使得
a11 a12 a22 (2) (k ) A LK 1 L2 L1 A 0 a13 ak ,k ( k ) an ,k ( k ) a1n a2 n (2) ak ,n ( k ) (k ) an ,n
表示且直接计算。
步骤为：将矩阵（2-6）的第一列中选取绝
对值大的元素为主元交换到第一行，得增 广矩阵，再进行一次消元，得矩阵
a (1)11 [ A ( 2) , b ( 2) ]
a (1)12 a ( 2 ) 22

a (1) 1n
a ( 2) 2 n
a ( 2 ) n 2 a ( 2 ) nn
在第二列中选 32 2.8做主元，交换二、三行 a
1 8 5 1 0 2.8 4.2 5.6 0 1.4 1.6 1.8
将第二行乘以0.5加到第三行
1 8 5 1 0 2.8 4.2 5.6 0 0 0.5 1
令： L L11L21 Ln11
A LA LU .
(n)
进一步用反证法易得唯一性。
用乘法公式易得： 1）计算U的第一行，L的第一列
u1 j a1 j , ( j 1,2,, n),li1 ai1 / u11 , (i 2,, n)
(1 (1 ( ( a11) x1 a12) x 2 a11) x k a11) x n b1(1) k n (2 ( ( ( a 22 ) x 2 a 22 ) x k a 22 ) x n b2 2 ) k n (k (k ( a kk ) x k a kn ) x n bk k ) (k (n ( a nk ) x k a nn ) x n bn n )
det Ai( k ) 0,(i 1, 2,, n 1)
det 因为 A det A 故存在初等方阵
(k ) k
( k 1) k 1
a
(k) kk
0a
(k) kk
0
a11 Lk
a12
a13 1 lk 1, k
0
ln ,k
回代过程：按变量的逆序逐步回代得（2-1）的解。
( n x n bn n ) / a nn n (k ) ( (k x k (bk a klk ) ) / a kk ) , (k n 1, n 2, ,1) l k 1
高斯消去法的计算量：
（在第k次消元时,作除法n-k次作乘法(n-k)(nk+1)次）运算重量，乘法n/[3(n2-1)]除法 n/[2(n-1)]，回代中乘除法n/[2(n+1)]，共计： (n3/3)+n2-(n/3)次。 如n=30,有共计9890次，远少于Camer法则求 解所需的次数.
作为主元大的元素在第一列中选绝对值最做主元交换二三行在第二列中选加到第三行将第二行乘以用矩阵形式表高斯消去法是对方程组21的增广矩阵ab进行一系列初等行初等变换将系数矩阵a化为上三角阵的过程等价于初等矩阵去左乘增广矩阵ab
第二章 线性方程组的直接解法
主要内容
（一） 高斯消去法 （二） 主元素法 （三） 直接三角法 （四） 平方根与改进平方根法 （五） 误差分析 （六） 超定方程组的最小二乘法
0 ( aikk ) , lik ( k ) (i k 1, , n) 1 akk 0 0 1
使得
( k 1)
A
a11 a12 a22 (2) (k ) LK A 0
a13 ak 1,k 1( k 1) an,k 1( k 1)
在第一列中选绝对值最 大的元素 a21 5作为主元， 将第 2行与第1行交换，可得
8 5 1 1 2 1 2 5 1 3 4 4
2 1 将第一行分别乘以 ， 加到第二、三行 5 5
1 8 5 1 0 1.4 1.6 1.8 0 2.8 4.2 5.6