高三大一轮复习讲义数学文课时作业38：综合法分析法反证法北师大 含解析

课时作业(三十八) 综合法、分析法、反证法
A 级
1．用分析法证明：欲使①A ＞B ，只需②C ＜D ，这里①是②的( )
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．设a ＝lg 2＋lg 5，b ＝e x (x ＜0)，则a 与b 大小关系为( )
A ．a ＞b
B ．a ＜b
C ．a ＝b
D ．a ≤b
3．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证明( )
A ．2ab －1－a 2b 2≤0
B ．a 2＋b 2－1－a 4＋b 42≤0 C.(a ＋b )22－1－a 2b 2≤0 D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0
4．若x ，y ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( )
A ．log 2(1＋2x 2)＞0
B ．x 2＋y 2≥2(x －y －1)
C ．x 2＋3xy ＞2y 2 D.x y ＜x ＋1y ＋1
5．设x 、y 、z ＞0，a ＝x ＋1y ，b ＝y ＋1z ，c ＝z ＋1x
，则a 、b 、c 三数( ) A ．至少有一个不大于2
B ．都小于2
C ．至少有一个不小于2
D ．都大于2
6．设a ＝3＋22，b ＝2＋7，则a ，b 的大小关系为________．
7．若a a ＋b b ＞a b ＋b a ，则a 、b 应满足的条件是____________．
8．用反证法证明命题“若实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ＝1，ac ＋bd ＞1，则a ，b ，c ，d 中至少有一个是非负数”时，第一步要假设结论的否定成立，那么结论的否定是________．
9．(2011·肇庆模拟)已知点A n (n ，a n )为函数y ＝x 2＋1图像上的点，B n (n ，b n )为函数y ＝x 图像上的点，其中n ∈N ＋，设c n ＝a n －b n ，则c n 与c n ＋1的大小关系为____________．
10．若a ＞b ＞c ＞d ＞0且a ＋d ＝b ＋c ， 求证：d ＋a ＜b ＋c .
11．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a，b，c三边的倒数成等差数列，求证：∠B＜90°.
B级
1．不相等的三个正数a，b，c成等差数列，并且x是a与b的等比中项，y是b与c的等比中项，则x2，b2，y2三数()
A．成等比数列而非等差数列
B．成等差数列而非等比数列
C．既成等差数列又成等比数列
D．既非等差数列又非等比数列
2．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是________．(填序号)
3．已知{a n}是正数组成的数列，a1＝1，且点(a n，a n＋1)(n∈N＋)在函数y＝x2＋1的图像上．
(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若数列{b n}满足b1＝1，b n＋1＝b n＋2a n，求证：b n·b n＋2＜b2n＋1.
答案
课时作业(三十八)
A 级
1．B 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件．
2．A ∵a ＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，而b ＝e x ＜e 0＝1，故a ＞b .
3．D 因为a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0⇔(a 2－1)(b 2－1)≥0.
4．B ∵1＋2x 2≥1，∴log 2(1＋2x 2)≥0，故A 不正确；
x 2＋y 2－2(x －y －1)＝(x －1)2＋(y ＋1)2≥0，故B 正确；
令x ＝0，y ＝1，则x 2＋3xy ＜2y 2，故C 不正确；
令x ＝3，y ＝2，则32＞3＋12＋1
，故D 不正确． 5．C 假设a 、b 、c 都小于2，则a ＋b ＋c ＜6.
而事实上a ＋b ＋c ＝x ＋1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z
≥2＋2＋2＝6与假设矛盾， ∴a 、b 、c 中至少有一个不小于2.
6．解析： a ＝3＋22，b ＝2＋7两式的两边分别平方，可得a 2＝11＋46，b 2＝11＋47，显然，6＜7.∴a ＜b .
答案： a ＜b
7．解析： ∵a a ＋b b ＞a b ＋b a ⇔(a －b )2(a ＋b )＞0⇔a ≥0，b ≥0且a ≠b . 答案： a ≥0，b ≥0且a ≠b
8．解析： “至少有一个”的否定是“一个也没有”，故结论的否定是“a ，b ，c ，d 中没有一个是非负数，即a ，b ，c ，d 全是负数”．
答案： a ，b ，c ，d 全是负数
9．解析： 由条件得c n ＝a n －b n ＝
n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，
∴c n 随n 的增大而减小．∴c n ＋1＜c n .
答案： c n ＋1＜c n 10．证明： 要证d ＋a ＜b ＋c ，只需证(d ＋a )2＜(b ＋c )2，
即a ＋d ＋2ad ＜b ＋c ＋2bc ，
因a ＋d ＝b ＋c ，只需证ad ＜bc .
即ad ＜bc ，设a ＋d ＝b ＋c ＝t ，
则ad －bc ＝(t －d )d －(t －c )c ＝(c －d )(c ＋d －t )＜0.
∴ad ＜bc 成立，从而d ＋a ＜b ＋c 成立．
11．证明： 假设∠B ＜90°不成立，即∠B ≥90°，从而∠B 是△ABC 的最大角，∴b 是△ABC 的最大边，即b ＞a ，b ＞c .
∴1a ＞1b ，1c ＞1b ，相加得1a ＋1c ＞1b ＋1b ＝2b
， 这与1a ＋1c ＝2b
矛盾．故∠B ≥90°不成立．因此∠B ＜90°. B 级
1．B 由已知条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋c ＝2b ， ①x 2＝ab ， ②
y 2＝bc . ③
由②③得⎩⎨⎧ a ＝x 2b ，c ＝y 2b .
代入①得x 2b ＋y 2b
＝2b ，即x 2＋y 2＝2b 2. 故x 2，b 2，y 2成等差数列．
2．解析： 若a ＝12，b ＝23
，则a ＋b ＞1， 但a ＜1，b ＜1，故①推不出；
若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；
若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2＞2，故④推不出；
若a ＝－2，b ＝－3，则ab ＞1，故⑤推不出；
对于③，即a ＋b ＞2，则a ，b 中至少有一个大于1，
反证法：假设a ≤1且b ≤1，
则a ＋b ≤2与a ＋b ＞2矛盾，
因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1. 答案： ③
3．解析： (1)由已知得a n ＋1＝a n ＋1，则a n ＋1－a n ＝1，又a 1＝1， 所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． 故a n ＝1＋(n －1)×1＝n .
(2)证明：由(1)知，a n ＝n ，从而b n ＋1－b n ＝2n . b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋2＋1＝1－2n
1－2
＝2n －1. 因为b n ·b n ＋2－b 2n ＋1＝(2n －1)(2
n ＋2－1)－(2n ＋1－1)2 ＝(22n ＋2－2n ＋2－2n ＋1)－(22n ＋2－2×2n ＋1＋1) ＝－5×2n ＋4×2n ＝－2n ＜0，
所以b n ·b n ＋2＜b 2n ＋1.。