利息理论复习(2011)

等价关系
1+i= (1 i(m) )m m
i= (1 i(m) )m 1 m
1
i(m)= m[(1 i)m 1]
(1-15A) (1-15B) (1-15C)
名义贴现率
– 用符号d(m)记每一度量期付m次利息的名义贴 现 率 。 所 谓 名 义 贴 现 率 d(m) ， 是 指 每 1/m 个 度 量期支付利息一次，而在每1/m个度量期上的 实质贴现率为d(m)/m。
– 如d是对每个度量期初支付的利息的度量一样， 名义贴现率d(m)是一种对1/m个度量期初支付 的利息的度量。
等价关系
1-d = (1 d (m) )m m
d =1 (1 d (m) )m m
1
1
d(m)= m[1 (1 d )m ] = m(1 vm )
(1-16A) (1-16B) (1-16C)
a = lim a = lim 1 vn =1/d （i>0） (2-15C) d n n n
1．付款频率小于计息频率的情 况
（1）期末付年金
1
1
1
1
1
0 1 2 …k-1 k … 2k …
n-2k …
n-k …
n
图（2-10A） 年金支付图
假设每个计息期的实质利率为 i，则该年金的现值为：
=1 ia
k
(2-33)
或
现值=S a
a =
na
k
(2-34)
（1）期末付年金
• 设每个计息期内付款m次，n为年金总的计 息期数，i为每个计息期的实质利率，假设 m、n均为正整数，显然总的付款次数为mn。
• 考虑在年金的每个付款期期末付款1/m的情 况，因为每个计息期内付款m次，所以每个 计息期内全部付款总量为m×1/m =1，而年 金总共有n个计息期，因此，年金总的付款 量为n。
等价 关系式
i=d/(1-d) i-id=d
d(1+i)=i
d=i/(1+i)
d=iv d= i/(1+i)=1-1/(1+i) =1-v v=1-d d =iv=i(1-d) =i-id i-d=id
(1-12A) (1-12B) (1-12C) (1-12D) (1-12E) (1-12F) (1-12G) (1-12H) (1-12I)
统一关系式
[1 i( m) ]m =1+i= v 1 (1 d ) 1 =[1 d ( n) ] n =eδ
m
n
wk.baidu.com
2-1 期末付年金
1 1 1…
1 1 1 (付款额)
0 1 2 3…
n-2 n-1 n（时间）
图（2-1） n 期延付年金的付款情况图
a
s
ni
ni
a =v +v2+…+vn = 1 vn
a n
s
n
1=i a
a =1/i
（i>0）
(2-14A)
a =v+v2+…= 1
i
（i>0）
(2-14B)
a = lim a = lim 1 vn =1/i （i>0） (2-14C) i n n n
1=d a
a =1/d
a =1+v+v2+…=1/d
（i>0）
(2-15A) (2-15B)
1.4.4．名义利率与名义贴现率之间的关系
i 考虑 ( m ) 与 d ( p)
1i[1i(m)]m[1d(P)]p
m
p
如果m=p,则
1i(m) [1d(m) ]1
m
m
(1.4.1) (1.4.2)
将(1.4.2)式两端同乘以（1-d(m)/m)得
i(m) d(m) i(m) d(m) m m mm
1-6 利息强度
t
A(tt)A(t) lim
t0 A(t)t
t
A'(t) A(t)
a'(t) a(t)
可用δt描述A(t)或a(t)。
e0trdrA(t)a(t)a(t)
A(0) a(0)
或
| n
n
0A (t)td tA (t)0A (n)A (0 )
(1.5.2) (1.5.3)
EX 求单利的利息效力。
j)mn j
1 1 vn = i(m)
(1.4.3)
它表明每一利息转换时期内利息与贴现的差额是因为 期初本金相差d(m)/m产生的。金额d(m)/m依利率 i(m)/m在该利息转换时期末的利息就是 (iE(mX)1/.m确)定(d季(m度)/m转)换。的名义利率使它等价于月度转 换6%的名义贴现率。答 ： i4 6.06%
EX2.证明i(m)=d(m)(1+i)1/m,并按字面解释之。
a(m) =
1
1
[v m
2
vm
nm
n 1
vm
vn ]
1 vn = i(m)
s(m) = a(m) (1+i)n
n
n
(1 i)n 1
=
i(m)
(2-35A) (2-36A)
a(m) = n
1 m
a= mn j
1 m
1 ×
vmj n
j
1 vn = i(m)
s(m) = 1 nm
1 (1 s =× mn j m
vk+
v2k+…+
v
n k
k
=
vk 1
vnk vk
a =n
s k
相应的年金积累值为：
(1 i)nk (1 i)n2k
1
=
(1 (1
i)n i)k
1 1
(2-27)
s
=n
(2-28)
s
k
SSSS S
SS
SS
0
…k
… 2k …
图（2-11B）等价支付图
SSS
n-k
…
SS n
S= 1 a
k
现值为 S a
a =n
na
k
终值为 S s
s n
na
k
(2-29) (2-30)
（3）其他的付款频率小于计息频率的情况
整个计息期是无限的，则这种期末付永续年金现值为：
vk+
v2k+…=
1
v
k
v
k
=1 is
k
(2-31)
或
现值=R a
a =
s
k
(2-32)
相应的期初付永续年金为
1+vk+
v2k+…=
1
1 vk
n
i
s =1+(1+i)+ (1+i)2 +…+(1+i)n-1 = (1 i)n 1
n
i
s = a (1+i)n
n
n
a = s vn nn
1 = 1 +i
as
n
n
(2-6)
(2-2B)
(2-4B) (2-5A)
(2-5B)
2-2 期初付年金
1111
11
付款额
0 12 3
n-2 n-1 n 时间
图（2-3）初付年金付款情况图
1-5 名义利率和名义贴现率
• 用i(m)记每一时期付m次利息的名义利率。 • 所谓名义利率i(m)，是指每1/m个度量期支付
利息一次，而在每1/m个度量期上的实质利 率为i(m)/m。也就是说，某度量期上的名义 利率为i(m)的意思是每1/m个度量期上的实质 利率为i(m) /m。 • 例如：若一年为一个度量期，i(4)=8%的名 义利率指的是每季度的实质利率为2%，称 作每年计息4次的年名义利率8%或季度转换 名义利率8%。