新课程理理念下高中数学例题变式教学法初探
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变式二：已知△ ABC 中，三个内角成等差数列，求证其 三边 a,b,c 满足
显然以上例题及两道变式题都是考察三角形的余弦定理， 只是难易程度不同而已，而在例题讲解之后按以上顺序给出 变式，并及时展示学生的解答过程，进行对比、剖析和鼓励。 同时对基础较差的学生进行适当的引导将逐步完善他们的知 识体系，使他们最终掌握余弦定理，并形成良好的解题信心， 不断进步。
变式二：按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每
期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随存期
x 变化的函数式。若存入本金 1000 元，每期利率 2.25%，试
计算 5 期后的本利和是多少？（说明：复利即第一年的利息
计入第二年的本金）
如此让学生在不同的实际背景下体会指数增长，感受“指
一、循序渐进的难度变式 , 培养学生的解题信心 在掌握好数学的基础知识（包括数学概念、定理、法则、 公式等）的基础上，要练好基本技能（如运算技能、画图技能、 数学语言技能、推理论证技能等），这要讲究循序渐进，不 能急于求成，这才能掌握好数学思维方法。华罗庚先生指出： “循序渐进决不意味着在原有水平上兜圈子，而是要一步一 步前进，而且是要尽快地一步一步前进”。所以在给出较为 基础的例题的前提下，循序渐进地给出一些变式对学生数学 思维方法的掌握和解题信心的培养能起到事半功倍的作用。 例如高中数学人教 A 版必修 5 第一章解三角形中《1.1.2 余弦定理》例：已知△ ABC 中，∠ B=60°，求证三角形三边 a,b,c 满足 ac=a2+c2-b2； 变式一：已知△ ABC 中∠ B=60°，求证三角形三边 a,b,c 满足；
四、已知条件的循环变式 , 培养学生思维的慎密性 要解决一个数学问题往往要借助几个相关的要素进行推 理、计算。但一些学生往往容易在解题时形成思维定势，稍
- 156 -
第 12 期 2010 年 12 月
现代阅读
MODERN READING
利用注意规律 提高历史课堂效益
金群彩 （浙江省宁波市鄞洲区姜山中学）
的长。这是一道普通的圆锥曲线与直线相结合的计算题，而
以下几种变式可以让我们体会到这道题无穷的生命力。
变式一：（选择题）设 O 是坐标原点，F 为抛物线 y2=2px
（P>0）的焦点 ,A 是抛物线上一点 , 与 x 轴正方向的夹角为
60 , 则 为 (
)
A.
B.
C.
D.
变 式 二：（ 证 明 题） 过 抛 物 线 y2=2px(P 0) 焦 点 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 两 点 A、B 的 纵 坐 标 为 y1,y2， 求 证： y1y2=-p2
一、什么是注意 注意是心理活动对一定对象的指向和集中。如学生上课 时专心致志的听讲；聚精会神地思考着老师提出来的问题。 这里的“专心致志”和“聚精会神”都是学生上课时的注意现象。 二、注意的种类 根据引起和保持注意时有无目的性和意志努力的程度的 不同，可以把注意分为无意注意、有意注意和有意后注意三种。 无意注意也称不随意注意，是事先没有预定的目的，也 不需要做意志努力的注意。有意注意也称随意注意，是有预 定目的的，在必要时还需作一定意志努力的注意。有意后注 意也称随意后注意，是有自觉目的但无意志努力的注意。 三、如何利用注意规律提高历史课堂效益 1、充分利用无意注意的规律，用“情”渲染历史课堂。 无意注意通常是由刺激物本身的特点引起的，刺激物本 身的特点既可以成为顺利完成教学的因素，也可能造成学生 学习上的分心。在中学历史课堂，教师的语言魅力就会成为调 动学生无意注意的法宝，所以在平时教学中，教师要注意自 己的语言修炼，情境的创设，用“情”来渲染课堂气氛。如 在讲到中国古代伟大的思想家孔子时，为表达对孔子的崇敬
变式三：（探索题）经过抛物线 y2=2px 的焦点的弦与抛 物线相交于两点 A、B，以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线 有何关系？
如此让学生通过对变式的认识，既巩固了抛物线的定义， 又复习了圆与直线的知识，还复习了向量的相关知识点等等， 从而达到促进学生联想、转化、发散思维能力的提高的目的， 并且帮助学生从点到面进一步掌握基础知识，提高数学解题 能力。
【关键词】变式教学 例题 思维能力 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1673—8497（2010）12—0156-02
目前，高中数学的学习依然面临着严峻的高考，这要求 学生基础知识扎实，而又要顺应《高中数学课程标准》提出 的进行创新教育发展学生的数学应用能力。在教学实践中， 我体会到例题的变式教学不失为实现这一标准的有效途径。 而“变式教学”是按照题目的内在联系和思维规律作有序的 编排，用变式的方法将习题配置成一系列题组，题组中每道 题各起不同的作用，但又存在一定的联系，形成合理的递进 关系，从而达到更好地巩固知识、掌握技能的作目的。 本文 就围绕数学课堂中例题变式教学的实施谈些粗浅体会，不当 之处还望大家指正。
数爆炸”的含义，领略知识的无穷力量，并归纳出指数增长
模型的关系式（当原有量为 N，平均增长率为 p 时，经过时间
x 后的总量 y 可表示为 y=N(1+p)x）。
三、问题内容和形式的变式，让学生形成完整的知识系
统
在一个有着变式潜能的问题中，可以多角度、全方位地
折射出该问题所在学科部分或全部的内涵 , 这些潜能有待我
y=13（1+1%）x。继而向学生提问：在日常生活中还有哪些问
题是涉及到增长率的？调动学生积极性的同时把他们的目光
ห้องสมุดไป่ตู้
引到现实中来，联系生活实际。在学生讨论并发表意见后可
给出如下变式。
变式一：已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76%, 设
质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y, 求 x、y 间的函数关系？
参考文献： [1] 周伟勇 . 点击高中新课程 . 首都师范大学出版社，2004. [2] 陈英 . 利用“变式”教学培养学生良好的思维品质 . 云南 师范大学出版社，1997(2).
变式一：已知曲线方程为 y=x2, 其中一条切线的方程为 4x-y-4=0，求切点的坐标？
变式二：已知过抛物线 y=ax2+bx+c(a ≠ 0) 上一点（2，4） 的切线方程为 4x-y-4=0，求抛物线的方程？
变式三：过点（-1，0）作抛物线 y= x2+x+1 的切线，求 切线的方程？
显然，例题和前两个变式中的点均在曲线上，即为切点。 通过训练可引导学生总结出知识点 ------ 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数表示曲线 y=f(x) 在点 (x0,f(x0)) 处的切线的斜 率 f’(x0)，切线方程为 y-f(x 0)=f’(x0)(x- x0)，即导数 的几何意义，形成一定的思维模式，在以后遇到类型题能够 快速解决。但变式三中的点是在曲线外的而非切点，峰回路 转提醒学生解题前应先判断点是否在曲线上，不能莽下定论， 造成错解。如此既总结了知识点又培养了学生思维的慎密性， 还避免了思维定势。
之情，你可以让学生齐读法国现实主义作家罗曼 • 罗兰的话“大 师是心灵的伟人，是一支震撼灵魂的歌，是一道破窗而入的阳 光，是死水中的一股波涛，是市侩侏儒中的一个巨人。”在 讲到俄国 1861 年农奴制改革时，为让同学们深刻地领会十二 月党人妻子们那“风雪中坚守的美丽”，我向他们介绍：“她 们大多出身于贵族名门，是养在深闺的金丝雀，是知识女性， 她们主动请缨要随丈夫流放西伯利亚，然而沙皇却规定她们 不得携带子女，不得再返还家乡城市，并永久取消贵族特权。 这就意味着：这些端庄、雍容、高贵的女性将永久离开金碧辉 煌的宫殿，离开襁褓中的孩子和亲人，告别昔日的富足和优裕。 然而她们却为争取流放机会不断地斗争着，终于有一位斗争 成功了，当她在前往西伯利亚的路上途径莫斯科时，人们为 他举行了盛大的远行宴会。她叫特鲁列茨卡娅，她在后来回 忆中这样描述她和丈夫在西伯利亚大荒原相会时的情景：“谢 尔盖向我扑来，他衣衫褴褛，蓬头垢面，一阵脚镣的叮当响 声使我惊呆了！他那双高贵的脚竟然上了镣铐！这种严酷的 监禁使我立刻理解了他的痛苦、屈辱的程度。当时谢尔盖的 镣铐如此激动了我，以至我先跪下来吻他的镣铐，而后才吻 他的……”同学们沉浸在我设计的情境中，他们对十二月党
们去挖掘与利用。所以我们在备课过程中要以发展和联系的
眼光看待每一道例题，去发现它们的闪光点，能以“一斑”
窥“全豹”。
例如高中数学人教 A 版选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程
中《2.3.2 抛物线的简单几何性质》例：斜率为 1 的直线经过
抛物线 y2=4x 的焦点，与抛物线相交于两点 A、B，求线段 AB
NO.12 December.2010
【摘要】在历史课堂教学中，唤起学生的有意注意；而在课中则要注意语言的流畅，情绪的渲染，保持学生的无意注意。 对于有意后注意，则要向学生讲明学习的利害关系，对它产生了兴趣，乐于学习而不需要作意志努力也能集中这种学习。
【关键词】历史课堂教学 注意 提高 效益 【中图分类号】G623.41 【文献标识码】A 【文章编号】1673—8497（2010）12—0157-02
第 12 期 2010 年 12 月
现代阅读
MODERN READING
NO.12 December.2010
新课程理理念下高中数学例题变式教学法初探
张远强 （河源市紫金县古竹中学）
【摘要】数学教学不应局限于狭窄的课本知识领域里，而应在理解课本的内容知识的基础上对知识载体 ---- 例题进行多 层次多方位地进行变式，调动学生学习的积极性和主动性，使学生学会独立自主地去探索和研究数学科学领域。
五、鼓励学生参与设计变式，培养学生组织知识点的能力 让学生参与到例题变式的设计，让他们站在一个题目设 计者的高度来认识与组织知识点，能让他们自觉地探索知识 点的内在联系，使他们明白复杂问题都是从简单问题转变而 来的，消除了学生学习数学的畏难情绪，同时也提高了学生 的数学研究和创新能力，使学生真正成为课堂教学的主体。 例如高中数学人教 A 版必修 5 第二章数列中《2.3 等差数 列的前 n 项和》例：已知数列 {an} 的通项公式为 an =-2n+16， 求其前 n 项和 sn 的最大值及此时的 n 值。 鼓励并引导学生给出以下变式： 变式一：已知数列 {an} 的通项公式为 an=2n-16，求其前 n 项和 的最小值及此时的 n 值。 变式二：已知数列 {an} 的通项公式为 an=-2n+16，求数 列 {|an|} 的前 n 项和 Tn。 变式三：已知数列 {an} 的通项公式为 an=2n-16，求数列 {|an|} 的前 n 项和 Tn。 …… 巧妙多变的变式让学生感到课堂的丰富多彩，增强了课 堂的趣味性。让学生在这种热烈氛围中 , 从知识点的“冰山 一角”看到“整座冰山”，进而集全体师生之力将“冰山”融化。
微变换一下已知条件就觉得无从下手了。如果在例题讲解过 程中多加对已知条件进行循环变式并加强训练，那么学生对 解题就能够形成严密的思维能力，灵活应用已知条件，进而 形成一定的思维模式。
例如高中数学人教 A 版选修 1-1 第三章导数及其应用中 《3.2 导数的计算》例：已知曲线的方程为 , 求过点 (2,4) 且与曲线相切的直线的方程 ? 这是一道考察曲线、切线、切 点之间关系的问题，通过这几个条件的内在联系即可解决问 题。当然，要学生达到得心应手，一些变式训练是必不可少的， 可给出以下变式。
二、实际问题背景的变式，培养学生的实际应用能力 配置实际应用的各种环境，但保留知识点的本质因素， 能使学生掌握数学对象的本质属性。并最终使学生掌握那些 在变化过程中始终保持不变的因素，透过现象，看到本质， 从而达到触类旁通的效果。 例如高中数学人教 A 版必修 1 第二章基本初等函数及其 性质中《2.1.2 指数函数及其性质》例：截止 1999 年底，我 国人口约 13 亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%， 那么经过 20 年后，我国人口数量最多为多少（精确到亿）？ 这 是 一 道 指 数 增 长 模 型 应 用 题， 讲 解 时 主 要 是 引 导 学 生根据题意进行列举归纳最后得出经过 x 年后，我国人口数
显然以上例题及两道变式题都是考察三角形的余弦定理， 只是难易程度不同而已，而在例题讲解之后按以上顺序给出 变式，并及时展示学生的解答过程，进行对比、剖析和鼓励。 同时对基础较差的学生进行适当的引导将逐步完善他们的知 识体系，使他们最终掌握余弦定理，并形成良好的解题信心， 不断进步。
变式二：按复利计算利息的一种储蓄，本金为 a 元，每
期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随存期
x 变化的函数式。若存入本金 1000 元，每期利率 2.25%，试
计算 5 期后的本利和是多少？（说明：复利即第一年的利息
计入第二年的本金）
如此让学生在不同的实际背景下体会指数增长，感受“指
一、循序渐进的难度变式 , 培养学生的解题信心 在掌握好数学的基础知识（包括数学概念、定理、法则、 公式等）的基础上，要练好基本技能（如运算技能、画图技能、 数学语言技能、推理论证技能等），这要讲究循序渐进，不 能急于求成，这才能掌握好数学思维方法。华罗庚先生指出： “循序渐进决不意味着在原有水平上兜圈子，而是要一步一 步前进，而且是要尽快地一步一步前进”。所以在给出较为 基础的例题的前提下，循序渐进地给出一些变式对学生数学 思维方法的掌握和解题信心的培养能起到事半功倍的作用。 例如高中数学人教 A 版必修 5 第一章解三角形中《1.1.2 余弦定理》例：已知△ ABC 中，∠ B=60°，求证三角形三边 a,b,c 满足 ac=a2+c2-b2； 变式一：已知△ ABC 中∠ B=60°，求证三角形三边 a,b,c 满足；
四、已知条件的循环变式 , 培养学生思维的慎密性 要解决一个数学问题往往要借助几个相关的要素进行推 理、计算。但一些学生往往容易在解题时形成思维定势，稍
- 156 -
第 12 期 2010 年 12 月
现代阅读
MODERN READING
利用注意规律 提高历史课堂效益
金群彩 （浙江省宁波市鄞洲区姜山中学）
的长。这是一道普通的圆锥曲线与直线相结合的计算题，而
以下几种变式可以让我们体会到这道题无穷的生命力。
变式一：（选择题）设 O 是坐标原点，F 为抛物线 y2=2px
（P>0）的焦点 ,A 是抛物线上一点 , 与 x 轴正方向的夹角为
60 , 则 为 (
)
A.
B.
C.
D.
变 式 二：（ 证 明 题） 过 抛 物 线 y2=2px(P 0) 焦 点 的 直 线 与 抛 物 线 相 交 于 两 点 A、B 的 纵 坐 标 为 y1,y2， 求 证： y1y2=-p2
一、什么是注意 注意是心理活动对一定对象的指向和集中。如学生上课 时专心致志的听讲；聚精会神地思考着老师提出来的问题。 这里的“专心致志”和“聚精会神”都是学生上课时的注意现象。 二、注意的种类 根据引起和保持注意时有无目的性和意志努力的程度的 不同，可以把注意分为无意注意、有意注意和有意后注意三种。 无意注意也称不随意注意，是事先没有预定的目的，也 不需要做意志努力的注意。有意注意也称随意注意，是有预 定目的的，在必要时还需作一定意志努力的注意。有意后注 意也称随意后注意，是有自觉目的但无意志努力的注意。 三、如何利用注意规律提高历史课堂效益 1、充分利用无意注意的规律，用“情”渲染历史课堂。 无意注意通常是由刺激物本身的特点引起的，刺激物本 身的特点既可以成为顺利完成教学的因素，也可能造成学生 学习上的分心。在中学历史课堂，教师的语言魅力就会成为调 动学生无意注意的法宝，所以在平时教学中，教师要注意自 己的语言修炼，情境的创设，用“情”来渲染课堂气氛。如 在讲到中国古代伟大的思想家孔子时，为表达对孔子的崇敬
变式三：（探索题）经过抛物线 y2=2px 的焦点的弦与抛 物线相交于两点 A、B，以线段 AB 为直径的圆与抛物线的准线 有何关系？
如此让学生通过对变式的认识，既巩固了抛物线的定义， 又复习了圆与直线的知识，还复习了向量的相关知识点等等， 从而达到促进学生联想、转化、发散思维能力的提高的目的， 并且帮助学生从点到面进一步掌握基础知识，提高数学解题 能力。
【关键词】变式教学 例题 思维能力 【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1673—8497（2010）12—0156-02
目前，高中数学的学习依然面临着严峻的高考，这要求 学生基础知识扎实，而又要顺应《高中数学课程标准》提出 的进行创新教育发展学生的数学应用能力。在教学实践中， 我体会到例题的变式教学不失为实现这一标准的有效途径。 而“变式教学”是按照题目的内在联系和思维规律作有序的 编排，用变式的方法将习题配置成一系列题组，题组中每道 题各起不同的作用，但又存在一定的联系，形成合理的递进 关系，从而达到更好地巩固知识、掌握技能的作目的。 本文 就围绕数学课堂中例题变式教学的实施谈些粗浅体会，不当 之处还望大家指正。
数爆炸”的含义，领略知识的无穷力量，并归纳出指数增长
模型的关系式（当原有量为 N，平均增长率为 p 时，经过时间
x 后的总量 y 可表示为 y=N(1+p)x）。
三、问题内容和形式的变式，让学生形成完整的知识系
统
在一个有着变式潜能的问题中，可以多角度、全方位地
折射出该问题所在学科部分或全部的内涵 , 这些潜能有待我
y=13（1+1%）x。继而向学生提问：在日常生活中还有哪些问
题是涉及到增长率的？调动学生积极性的同时把他们的目光
ห้องสมุดไป่ตู้
引到现实中来，联系生活实际。在学生讨论并发表意见后可
给出如下变式。
变式一：已知镭经过 100 年剩留原来质量的 95.76%, 设
质量为 1 的镭经过 x 年后的剩留量为 y, 求 x、y 间的函数关系？
参考文献： [1] 周伟勇 . 点击高中新课程 . 首都师范大学出版社，2004. [2] 陈英 . 利用“变式”教学培养学生良好的思维品质 . 云南 师范大学出版社，1997(2).
变式一：已知曲线方程为 y=x2, 其中一条切线的方程为 4x-y-4=0，求切点的坐标？
变式二：已知过抛物线 y=ax2+bx+c(a ≠ 0) 上一点（2，4） 的切线方程为 4x-y-4=0，求抛物线的方程？
变式三：过点（-1，0）作抛物线 y= x2+x+1 的切线，求 切线的方程？
显然，例题和前两个变式中的点均在曲线上，即为切点。 通过训练可引导学生总结出知识点 ------ 函数 y=f(x) 在点 x0 处的导数表示曲线 y=f(x) 在点 (x0,f(x0)) 处的切线的斜 率 f’(x0)，切线方程为 y-f(x 0)=f’(x0)(x- x0)，即导数 的几何意义，形成一定的思维模式，在以后遇到类型题能够 快速解决。但变式三中的点是在曲线外的而非切点，峰回路 转提醒学生解题前应先判断点是否在曲线上，不能莽下定论， 造成错解。如此既总结了知识点又培养了学生思维的慎密性， 还避免了思维定势。
之情，你可以让学生齐读法国现实主义作家罗曼 • 罗兰的话“大 师是心灵的伟人，是一支震撼灵魂的歌，是一道破窗而入的阳 光，是死水中的一股波涛，是市侩侏儒中的一个巨人。”在 讲到俄国 1861 年农奴制改革时，为让同学们深刻地领会十二 月党人妻子们那“风雪中坚守的美丽”，我向他们介绍：“她 们大多出身于贵族名门，是养在深闺的金丝雀，是知识女性， 她们主动请缨要随丈夫流放西伯利亚，然而沙皇却规定她们 不得携带子女，不得再返还家乡城市，并永久取消贵族特权。 这就意味着：这些端庄、雍容、高贵的女性将永久离开金碧辉 煌的宫殿，离开襁褓中的孩子和亲人，告别昔日的富足和优裕。 然而她们却为争取流放机会不断地斗争着，终于有一位斗争 成功了，当她在前往西伯利亚的路上途径莫斯科时，人们为 他举行了盛大的远行宴会。她叫特鲁列茨卡娅，她在后来回 忆中这样描述她和丈夫在西伯利亚大荒原相会时的情景：“谢 尔盖向我扑来，他衣衫褴褛，蓬头垢面，一阵脚镣的叮当响 声使我惊呆了！他那双高贵的脚竟然上了镣铐！这种严酷的 监禁使我立刻理解了他的痛苦、屈辱的程度。当时谢尔盖的 镣铐如此激动了我，以至我先跪下来吻他的镣铐，而后才吻 他的……”同学们沉浸在我设计的情境中，他们对十二月党
们去挖掘与利用。所以我们在备课过程中要以发展和联系的
眼光看待每一道例题，去发现它们的闪光点，能以“一斑”
窥“全豹”。
例如高中数学人教 A 版选修 1-1 第二章圆锥曲线与方程
中《2.3.2 抛物线的简单几何性质》例：斜率为 1 的直线经过
抛物线 y2=4x 的焦点，与抛物线相交于两点 A、B，求线段 AB
NO.12 December.2010
【摘要】在历史课堂教学中，唤起学生的有意注意；而在课中则要注意语言的流畅，情绪的渲染，保持学生的无意注意。 对于有意后注意，则要向学生讲明学习的利害关系，对它产生了兴趣，乐于学习而不需要作意志努力也能集中这种学习。
【关键词】历史课堂教学 注意 提高 效益 【中图分类号】G623.41 【文献标识码】A 【文章编号】1673—8497（2010）12—0157-02
第 12 期 2010 年 12 月
现代阅读
MODERN READING
NO.12 December.2010
新课程理理念下高中数学例题变式教学法初探
张远强 （河源市紫金县古竹中学）
【摘要】数学教学不应局限于狭窄的课本知识领域里，而应在理解课本的内容知识的基础上对知识载体 ---- 例题进行多 层次多方位地进行变式，调动学生学习的积极性和主动性，使学生学会独立自主地去探索和研究数学科学领域。
五、鼓励学生参与设计变式，培养学生组织知识点的能力 让学生参与到例题变式的设计，让他们站在一个题目设 计者的高度来认识与组织知识点，能让他们自觉地探索知识 点的内在联系，使他们明白复杂问题都是从简单问题转变而 来的，消除了学生学习数学的畏难情绪，同时也提高了学生 的数学研究和创新能力，使学生真正成为课堂教学的主体。 例如高中数学人教 A 版必修 5 第二章数列中《2.3 等差数 列的前 n 项和》例：已知数列 {an} 的通项公式为 an =-2n+16， 求其前 n 项和 sn 的最大值及此时的 n 值。 鼓励并引导学生给出以下变式： 变式一：已知数列 {an} 的通项公式为 an=2n-16，求其前 n 项和 的最小值及此时的 n 值。 变式二：已知数列 {an} 的通项公式为 an=-2n+16，求数 列 {|an|} 的前 n 项和 Tn。 变式三：已知数列 {an} 的通项公式为 an=2n-16，求数列 {|an|} 的前 n 项和 Tn。 …… 巧妙多变的变式让学生感到课堂的丰富多彩，增强了课 堂的趣味性。让学生在这种热烈氛围中 , 从知识点的“冰山 一角”看到“整座冰山”，进而集全体师生之力将“冰山”融化。
微变换一下已知条件就觉得无从下手了。如果在例题讲解过 程中多加对已知条件进行循环变式并加强训练，那么学生对 解题就能够形成严密的思维能力，灵活应用已知条件，进而 形成一定的思维模式。
例如高中数学人教 A 版选修 1-1 第三章导数及其应用中 《3.2 导数的计算》例：已知曲线的方程为 , 求过点 (2,4) 且与曲线相切的直线的方程 ? 这是一道考察曲线、切线、切 点之间关系的问题，通过这几个条件的内在联系即可解决问 题。当然，要学生达到得心应手，一些变式训练是必不可少的， 可给出以下变式。
二、实际问题背景的变式，培养学生的实际应用能力 配置实际应用的各种环境，但保留知识点的本质因素， 能使学生掌握数学对象的本质属性。并最终使学生掌握那些 在变化过程中始终保持不变的因素，透过现象，看到本质， 从而达到触类旁通的效果。 例如高中数学人教 A 版必修 1 第二章基本初等函数及其 性质中《2.1.2 指数函数及其性质》例：截止 1999 年底，我 国人口约 13 亿。如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%， 那么经过 20 年后，我国人口数量最多为多少（精确到亿）？ 这 是 一 道 指 数 增 长 模 型 应 用 题， 讲 解 时 主 要 是 引 导 学 生根据题意进行列举归纳最后得出经过 x 年后，我国人口数