待定系数法求特殊数列的通项公式 系数公式

系数公式待定系数法求特殊数列的通项公式靖州一中蒋利在高中数学教学中，经常碰到一些特殊数列求通项公式，而这些问题在高考和竞赛中也经常出现，是一类广泛而复杂的问题，历届高考常以这类问题作为一道重大的试题。

因此，在教学中，针对这类问题，提供一些特殊数列求通项公式范例，帮助同学们全面掌握这类问题及求解的一般方法。

求数列的通项公式，最为广泛的的办法是：把所给的递推关系变形，使之成为某个等差数列或等比数列的形式，于是就可以由此推得所给数列的通项公式。

求解的关健在于变形的技巧，而变形的技巧主要在于引进待定系数。

其基本原理是递推关系两边加上相同的数或相同性质的量，构造数列的每一项都加上相同的数或相同性质的量，使之成为等差或等比数列。

具体的求解过程详见示例。

第一类别：an=Aan-1+B 例1设x1=2,且xn=5xn?1+7.求数列的通项公式解：所给的递推公式可变形为 7m7m7?),令m=?.则m= 55554777于是xn+ =5(xn?1+)，{ xn+ }是等比数列，其首项为 444715715x1+=,公比为q=5.于是xn+＝?5n?1 4444157所以 xn＝?5n?1－ 44xn+m=5xn?1+7+m=5(xn?1+例2 设x1=1,且 xn=3xn?1（n=2，3，4，…） 2xn?1?5求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为：152?? xn3xn?13
23m15123m,则m=1 ?m?(??),令m=?55xn3xn?155于是1511?1?(?1)。

{?1}是等比数列，xn3xn?1xn51?1=2,公比是q= 3x1 其首项是5n-1 3n?11于是。

所求的xn=?1=2（）3xn2?5n?1?3n?1第二类别：an=Aan-1+Ban-2 例3设x1=1，x2=5,xn=13xn-1-22xn-2,（n=3,4,…）求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为 xn+mxn-1=（m+13）xn-1-22xn-2=（m+13）（xn-1-令m=-22，则m=－2,或m=－11 m?1322xn-2）m?13于是xn-2xn-1=11（xn-1-xn-2）,xn-11xn-1=2(xn-1-xn-2) ｛xn-2xn-1｝，｛xn-11xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2-2x1=3,q=11。

X2-11x1=-6,q=2。

于是xn-2xn-1＝3?11n-2，xn-11xn-1=-6?2n-2。

由此消去xn-1可得xn=(11n-1+2n)/3 例4：设x1=1,x2=2。

且xn=7xn-1+18xn-2（n=3,4,…）求数列｛xn｝的通项公式解：所给的递推公式可变为xn+mxn-1=(m+7)xn-1+18xn-2=(m+7)(xn-1+令m=18，则m=2,或m=-9 m?718xn-2) m?7xn+2xn-1=9(xn-1+2xn-2),xn-9xn-1=-2(xn-1-9xn-2) ｛xn+2xn-1｝与｛xn-9xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为x2+2x1=4，q=9。

X2-9x1=-7，q=-2 xn+2xn-1=4?9n-2，xn-9xn-1=-7(-2)n-2
由此消去xn-1可得xn=（4?9n-1+7?(-2)n-1）/11 第三类别：an=Aan-1+f(n) 例5设x1=1，且xn=3xn-1＋5n＋1（n=2,3,…）……（1）求数列｛xn｝的通项公式解：x2=14，于是（1）把n改成n-1得xn-1=3xn-2＋5(n-1)＋1 ………（2）两式相减得xn-xn-1=3(xn-1-xn-2)+5 xn-xn-1+m=3(xn-1-xn-2)+5+m=3(xn-1-xn-2+令m=5m?) 335m555?,则m=。

于是xn-xn-1+=3(xn-1-xn-2+) 332225｛xn-xn-1+｝是等比数列， 2531其首项为x2-x1+=,其公比q=3。

22531于是xn-xn-1+=?3n-2 ………（3） 22由（1）与（3）消去xn-1得xn=(31?3n-1-10n-17)/4 例6：设x1=4，且xn=5xn-1＋7n－3（n=2,3,……）……（1）求数列｛xn｝的通项公式方法1解：x2=31, 于是（1）把n改成n-1得 xn-1=5xn-2＋7(n-1)－3 ………（2）两式相减得xn-xn-1=5(xn-1-xn-2)＋7 xn-xn-1＋m=5(xn-1-xn-2)＋
7＋m=5(xn-1-xn-2＋7?m) 57?m777令m=,则m=。

xn-xn-1+=5(xn-1-xn-2＋) 444577115｛xn-xn-1+｝是等比数列，其首项为x2-x1+=, 4447115其公比q=5。

于是xn-xn-1+=?5n-2 ……（3） 44 由（1）与（3）消去xn-1得 xn=1(23?5n-28n-23) 16方法2：所给的递推公式可变为
An?B7n?3?) 55An?B7n?3?设A(n-1)＋B= 55A?7B?3比较系数得A=，-A+B= 55723由此求得A=，B=。

于是 41628n?2328(n?1)?23xn＋=5(xn-1＋)，于是 161628n?2351115｛xn＋｝是等比数
列，其首项为x1+=,16161628n?23115其公比q=5。

于是xn＋=?5n-1 16161所以
xn=(23?5n-28n-23) 16xn＋An＋B=5(xn-1＋例7，设x1=2,且xn=3xn-1＋2n2＋1，求数列｛xn｝
的通项公式解：所给的递推公式可变为An2?Bn?C2n2?1?xn＋An＋Bn＋C=3(xn-1＋) 332An2?Bn?C2n2?1?设A(n-1)＋B(n-1)＋C= 332A?2BC?1，-2A+B=，A-B+C=。

3337由此求得
A=1，B=3，C=。

于是2比较系数得：A=2n2?6n?72(n?1)2?6(n?1)?7xn＋=3(xn-1＋) 2215192n2?6n?7｛xn＋｝是等比数列，其首项为x1+=,其公比2222n2?6n?719q=3。

于是xn＋=?3n-1。

22所以 xn=1(19?3n-1－2n2－6n－7) 2例8：设x1=1，且xn=-xn-1+3?2n，（n=2,3,…）………（1）求数列｛xn｝的通项公式解：x2=-x1＋12=11。

于是（1）把n
改成n-1得
xn-1=-xn-2+3?2n-1，2xn-1=-2xn-2+3?2n ………………（2）（1）－（2）得
xn-2xn-1=-xn-1+2xn-2。

即xn=xn-1+2xn-2 22xn-2)。

令m=，则m=1,m=-2 m?1m?1 xn＋mxn-1=(m+1)(xn-1＋于是：xn+xn-1=2(xn-1+xn-2)；xn-2xn-1=-(xn-1-2xn-2) ｛xn+xn-1｝
与｛xn-2xn-1｝都是等比数列，其首项与公比分别为首项x2+x1=12，公比q=2。

首项 x2-2x1=9，公比q=-1。

于是 xn+xn-1=12?2n-2，xn-2xn-1=9(-1)n-2 由此消去xn-1得xn=2n+1+3(-1)n 练习： 1设x1=5，且xn=7xn-1+8n+3，（n=2,3,…）求数列｛xn｝的通项公式答案
xn=(151?7n-1-24n-37)/18 2设x1=1，且xn=2xn-1+3?7n-1，（n=2,3,…）求数列｛xn｝的通
项公式答案xn=(3?7n-2n+3)/5 3设x1=1，且xn=-3xn-1+5?2n，（n=2,3,…）求数列｛xn｝的通项公式答案 xn=2n+1+(-1)n3n
系数公式。