【名校使用】2014高考(文)复习资料：5-4数列求和

过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的 聚
焦
形式，从而选择合适的方法求和．
考 向
透
析
◆注意事项
(1)裂项求和，把通项裂开后，注意总结正负抵消的规律．
(3)错位相减求和，注意错位的项及相减后的结果．
聚 焦 考 向 透 析
考向一 公式法求和
称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
2．常见的拆项公式
(1)nn1＋1＝n1－n＋1 1；
(2)nn1＋k＝1kn1－n＋1 k；
聚 焦 考
向
透
(3)2n－112n＋1＝122n1－1－2n1＋1；
析
(4)nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2；
透 析
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
所以 S2n＝b1＋b2＋…＋b2n＝2(1＋3＋…＋32n－1)＋[－1＋1－1
＋…＋(－1)2n](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n2n]ln 3＝
2×11－－332n＋nln 3＝32n＋nln 3－1.
聚 焦 考 向 透 析
＋b3＝2b2，解得 b1＝ 2，b2＝3 22，
∴数列{bn}是首项为 2，公差为 22的等差数列，
∴数列{bn}的通项公式为 bn＝ 2n2＋1(n∈N*)．
(2)由(1)得对任意 n∈N*，an＝bnbn＋1＝n＋12n＋2.
从而有a1n＝n＋12n＋2＝2n＋1 1－n＋1 2，
＋n)＝2n＋1－2＋nn2＋1.
考向三 裂项相消法求和
(2013·金丽衢十二校第二次联考)已知正项数列{an}，{bn}满足：
聚
a1＝3，a2＝6，{bn}是等差数列，且对任意正整数 n，都有 bn， an，
焦 考
向
bn＋1 成等比数列．
透 析
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)设 Sn＝a11＋a12＋…＋a1n，试比较 Sn 与 1 的大小．
聚 焦
考
(2012·高考湖北卷)已知等差数列{an}前三项的和为－3，前三
向 透 析
项的积为 8.
(1)求等差数列{an}的通项公式；
(2)若 a2，a3，a1 成等比数列，求数列{|an|}的前 n 项和．
【审题视点】 用方程组法求 a1 和 d，可求 an 借助等差数列求
和公式求{|an|}的和．
聚
焦
考
(1)p，q 的值；(2)数列{xn}前 n 项和 Sn 的公式．
向 透
析
解：(1)由 x1＝3，得 2p＋q＝3，又因为 x4＝24p＋4q，x5＝25p＋
5q，且 x1＋x5＝2x4，得 3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得 p＝1，q＝1.
(2)由(1)，知 xn＝2n＋n，所以 Sn＝(2＋22＋…＋2n)＋(1＋2＋…
D．185
聚
焦
答案：C
考 向
透
析
4．(教材改编)数列 1，1＋1 2，1＋12＋3，…的前 n 项和 Sn＝________.
答案：n2＋n1
5．数列{(－1)n·n}的前 2 012 项和 S2 012 为________． 答案：1 006,
◆求和思路
一般数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通
聚 焦 考 向 透 析
第4课时 数列求和
聚
焦
考
向
透
1．熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式．
析
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
【知识梳理】
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和
聚 焦
考
(1)等差数列的前 n 项和公式：
向 透
析
Sn＝na1＋ 2 an＝na1＋
当 n＝1 时，2a1＝a21＋a1，∵a1＞0，∴a1＝1.
当 n≥2 时，2Sn－1＝an2－1＋an－1②.
①－②得，2an＝a2n－a2n－1＋an－an－1，
∴(an－an－1)(an＋an－1)－(an＋an－1)＝0.
∵an＞0，∴an－an－1＝1，∴d＝1.
∴an＝1＋(n－1)×1＝n.
6．并项求和法
一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形
如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
【基础自测】
1．(教材改编)等比数列{an}的公比 q＝12，a8＝1，则 S8＝(
A．254
B．255
C．256
D．257
答案：B
聚
焦
考
)
向 透
析
2．如果数列{an}满足 a1，a2－a1，a3－a2，…，an－an－1，…是
③an＝bn±cn 或 an＝cbnn
n为奇数， n为偶数 ，数列{bn}，{cn}是等比数
列或等差数列，采用分组求和法求{an}的前 n 项和．
2．(2013·包头模拟)已知数列{xn}的首项 x1＝3，通项 xn＝2np＋
nq(n∈N*，p，q 为常数)，且 x1，x4，x5 成等差数列．求：
首项为 1，公比为 3 的等比数列，则 an 等于( )
聚 焦
考
3n＋1
3n＋3
向 透
A. 2
B. 2
析
3n－1 C. 2
3n－3 D. 2
答案：C
3．数列 a1＋2，…，ak＋2k，…，a10＋20 共有十项，且其和为
240，则 a1＋…＋ak＋…＋a10 的值为( )
A．31
B．120
C．130
聚 焦 考 向
透
∴Sn＝212－13＋13－14＋…＋n＋1 1－n＋1 2＝
析
1－n＋2 2，
∴Sn＜1.
【方法总结】 1.应用裂项相消法应注意的问题
聚 焦
考
向
使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，
透 析
保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对
【方法总结】 (1)分组转化求和的通法
数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对
通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前 n 项和的数
列求和．
聚
焦
考
(2)常见类型及方法
向 透
析
①an＝kn＋b，利用等差数列前 n 项和公式直接求解；
②an＝a·qn－1，利用等比数列前 n 项和公式直接求解；
(5)
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
3．(2013·黑龙江哈尔滨三模)已知数列{an}的各项均为正数，前 n
项和为 Sn，且 Sn＝ana2n＋1，n∈N*.
聚
(1)求证：数列{an}是等差数列；
焦 考
向
(2)设 bn＝21Sn，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求 Tn.
透 析
解：(1)证明：∵2Sn＝a2n＋an.①
则 Sn＝(1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n)－2(1＋2＋3＋…＋n)，
记 Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，则 3Tn＝1×32＋2×33
聚 焦
考
＋3×34＋…＋n·3n＋1，
向 透
析
相减得－2Tn＝3＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1，
【审题视点】 根据等比中项及等差数列求 bn.用裂项法求 Sn.
【解】 (1)∵对任意正整数 n，都有 bn， an，bn＋1 成等比数列，
且{an}，{bn}均为正项数列，
∴an＝bnbn＋1.
由 a1＝3，a2＝6 得aa12＝ ＝bb12bb23＝ ＝36 ，又{bn}为等差数列，即有 b1
焦 考
向
透
第一列 第二列 第三列
析
第一行 3
2
10
第二行 6
4
14
第三行 9
8
18
(1)求数列{an}的通项公式；
聚 焦
考
(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列{bn}的前 2n 项
向 透 析
和 S2n.
审题视点】 观察出 a1，a2，a3 求 an，化简 bn 转化数列．
聚 焦
考
ak2，ak3，…，akn，……是等比数列，其中 k1＝1，k2＝7，k3＝25.
向 透
析
(1)求数列 ak1，ak2，ak3，…，akn，…的公比；
(2)求数列{n·kn}的前 n 项和 Sn.
【审题视点】 按等比数列的关系建立 a1 与 d 的方程求公比，
用错位相减法求和．
【解】 (1)由题意得 a2k2＝ak1·ak3，即 a27＝a1·a25，(a1＋6d)2＝
聚
焦
(2)∵bn＝21Sn＝ana1n＋1＝a1n－an＋1 1＝n1－n＋1 1，
考 向 透 析
∴Tn＝b1＋b2＋…＋b3
＝11－12＋21－13＋…＋n1－n＋1 1
＝1－n＋1 1＝n＋n 1.
考向四 错位相减法求和
(2013·南昌市二模)等差数列{an}中，公差 d≠0，已知数列 ak1，
【解】 (1)当 a1＝3 时，不合题意；
当 a1＝2 时，当且仅当 a2＝6，a3＝18 时，符合题意；
当 a1＝10 时，不合题意．
因此 a1＝2，a2＝6，a3＝18.所以公比 q＝3，故 an＝2·3n－1.
聚 焦 考
向
(2)因为 bn＝an＋(－1)nln an＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
；
(2)等比数列的前 n 项和公式：
Sn＝
2．倒序相加法
如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和
聚
相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相
焦 考
向
透
加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．
析
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应
考 向 透 析
当 n＝2 时，满足此式，
4，
n＝1，
综上，Sn＝32n2－121n＋10，n＞1.
聚
焦
考
【方法总结】
应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，
向 透
析
尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前 n 项和公式．
1．已知数列{an}是首项 a1＝4，公比 q≠1 的等比数列，Sn 是其
聚
a1·(a1＋24d)，所以 36d2＝12a1d，即 3d2＝a1d.
焦 考 向
透
因为公差 d≠0，所以 a1＝3d，所以 an＝(n＋2)d，
析
所以等比数列 ak1，ak2，ak3，…，akn，…的公比 q＝aa71＝93dd＝
3.
(2)由 akn＝(kn＋2)d＝3d·3n－1，得 kn＝3n－2.
＝－4＋3(n－1)＝3n－7.
故 an＝－3n＋5 或 an＝3n－7.
(2)当 an＝－3n＋5 时，a2，a3，a1 分别为－1，－4,2，不成等比 数列；
当 an＝3n－7 时，a2，a3，a1 分别为－1,2，－4，成等比数列，
聚
满足条件．
焦 考
向
透
故|an|＝|3n－7|＝
析
－3n＋7， 3n－7，
前 n 项和，且 4a1，a5，－2a3 成等差数列．
(1)求公比 q 的值；
聚
(2)求 Tn＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n 的值．
焦 考
向
透
解：(1)由题意得 2a5＝4a1－2a3.
析
∵{an}是等比数列且 a1＝4，公比 q≠1， ∴2a1q4＝4a1－2a1q2，∴q4＋q2－2＝0， 解得 q2＝－2(舍去)或 q2＝1，∴q＝－1.
项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比
数列的前 n 项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互
抵消，从而求得其和．
聚
焦
5．分组转化求和法
考 向
透
析
一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和
的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减．
n＝1，2， n≥3.
记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn. 当 n＝1 时，S1＝|a1|＝4；当 n＝2 时，S2＝|a1|＋|a2|＝5；
当 n≥3 时，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an|＝5＋(3×3－7)＋(3×4
－7)＋…＋(3n－7)
聚
焦
＝5＋n－2[2＋2 3n－7]＝32n2－121n＋10.
(2)∵a2，a4，a6，…，a2n，是首项为 a2＝4×(－1)＝－4，公比为 q2＝1 的等比数列，∴Tn＝na2＝－4n.
考向二 分组转化求和
(2011·高考山东卷)等比数列{an}中，a1，a2，a3 分别是下表第
一、二、三行中的某一个数，且 a1，a2，a3 中的任何两个数不在下表
聚
的同一列.
【解】 (1)设等差数列{an}的公差为 d，则 a2＝a1＋d，a3＝a1
＋2d，由题意得3aa11a＋1＋3dd＝a－1＋3，2d＝8，
聚 焦 考 向 透
析
解得ad1＝＝－2，3 或ad1＝＝3－. 4，
所以由等差数列通项公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5 或 an